經常有人問我：學數學要不要刷題？怎麼做題效率才能更高？

談論任何事情都得有個前提，我寫這篇文章的前提是：學數學是為了拿高分、進名校。所以，有兩種人可以不要看這篇文章。第一種人是投胎技能滿級，擁有一位神奇的爸爸，可以讓自己一路沒有升學壓力的就讀名校；第二種人是智商屬性超高，任何東西都是看一眼就能熟練掌握。如果您覺得自己不是這兩種人之一，咱們接著往下聊。

先回答第一個問題：刷題可以提高熟練度，讓自己在時間極其緊張的考試中拿到高分，所以刷題很有必要。對我輩普通人來說，如果有人膽敢鼓吹既不要專門刷題訓練計算能力，也不要做難題，只需要讀一讀科普書，看一看數學史，甚至在中學階段就提前學習高等數學，那麼這人不是蠢就是壞。碰見這類人，直接操起板磚拍丫的。

再回答第二個問題：刷題不能盲目刷，比較高效的方法是吃透一道題的來龍去脈，並且能舉一反三。這是我今天重點要講的內容，下面就以兩類數學題為例，介紹一種高效的刷題方法。

案例一 硬幣轉動問題

我曾經詳細講解過一道非常經典的題目：

有兩個相同大小的硬幣甲和乙，硬幣乙固定不動，硬幣甲圍著乙順時針繞圈回到原位，全程無滑動的，問硬幣甲自身轉動了幾圈？

這是一個很經典的問題，如果事先不知道答案，很多人都回答是1，他們的理由是:硬幣甲轉動的距離就是硬幣乙的周長，因此硬幣甲只轉動了1圈。這是錯誤的！

出錯的原因在於，硬幣甲轉動並不是直線。

在一條直線上，一個硬幣滾動它的1個周長的距離，硬幣自身確實只轉動1圈。但這個結論對於折線是不成立的。先看下面這個問題：

如上圖所示，MP和PN成150度角，AP為硬幣的直徑，有一個硬幣在P點與MP所在直線相切，當該硬幣無滑動的變化為在P點與PN所在直線相切時，A點轉動了多少角度？

這個問題比較簡單，因為最初AP與MO垂直，後來AP與PN垂直，因此兩條綠色線段所成的夾角就是180-150=30度。

注意，在上面這個例子中，硬幣轉過的角度是180-∠MPN。類似的可以得到：如果有一個硬幣從外側圍著正n邊形轉圈，在這n個頂點處，硬幣轉過的角度和就是這個n邊形的外角和，由於正n邊形的外角和是360度，所以這個硬幣比轉直線時要多轉1圈。

圓是可以由內接正n邊形不斷逼近的。回到本文開頭的問題，硬幣甲也應該比在直線上轉動時多轉1圈，而直線上轉硬幣乙的周長需要1圈，所以硬幣甲繞硬幣乙轉圈回到原位時，硬幣甲共轉了2圈。

如果您詳細閱讀"引用部分"，把上面這道題吃透了，就可以試著拓展到下面這道題，題目來自“12345678”網友，感謝他提供的題目。

如圖：15枚相同的硬幣排成一個長方形，另有一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一週，回到起始位置。問：硬幣自身轉動了多少圈？

解題過程：如下圖，把轉動的硬幣記作硬幣A，把組成長方體的15枚硬幣可以分為三類，第一類是長方形4角處的4枚硬幣，第二類是四條邊上但不含4個角的8枚硬幣，第三類是最中間的4枚硬幣。對於第一類硬幣，A在其中每一枚硬幣上都滾動360-60-60-90=150°；對第二類硬幣，A在其中每一枚硬幣上都滾動60°；對第三類硬幣，與滾動無關。因此硬幣A沿著外圈滾動一週時，滾動過的角度是150*4+60*8=1080°=3*360°，即硬幣A相當於繞著某一硬幣3圈。根據上面的例題，每繞1圈，硬幣A自身轉動2圈，所以硬幣自身轉動了6圈。

通過這兩道題目，相信您一定能熟練掌握硬幣繞圓環外圈轉動的問題，類似的，還可以推廣到硬幣繞圓形杯子內部轉動。這樣刷題，只需要幾道典型題目，就可以徹底掌握這類問題。

案例二 m/n的最值問題

已知a/b和c/d都是正的最簡分數，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n < c/d的兩個自然數。求證：m的最小值是a+c，n的最小值是b+d。

輔導方法：

將題目寫給孩子，

讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，

再由家長進行提示性講解。

講解思路：

這道題屬於分數問題，

今天我們介紹一種解方程的方法，

通過方程來求解不等式，

最終得到最小值。

解題過程：

由於a/b < m/n < c/d，

故bm>an且cn>dm,

則存在正整數p和q,

使：bm-an=p,cn-dm=q,

把這看作關於m和n的方程組，

求解這個二元一次方程組，

可得：m=(aq+cp)/(bc-ad)=aq+cp,

n=(bq+dp)/(bc-ad)=bq+dp。

顯然，當且僅當p=q=1,

m和n都取到最小值，

此時m=a+c,n=b+d,

所以原命題成立。

觀察原題不難發現，總有一些m滿足條件時，n的取值唯一。自然想到這樣的m最大值是多少，這就是前天的思考題，可以抽象為如下題目：

已知a/b和c/d都是正的最簡分數，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n< c/d的兩個自然數。對m的有些取值，只能找到唯一的n使上述大小關係成立，把這樣的m叫做幸運數。求證：幸運數的最大值是2ac。

解題過程：只需先讓不等式最左和最右的分子相等，由於a/b=ac/bc,c/d=ac/ad，注意到bc-ad=1,故m=ac時沒有滿足條件的n，接著讓m=2ac,此時n的取值唯一且是2bc-1=bc+ad。如果m再大一點，n的取值就不再唯一。所以幸運數的最大取值是2ac。

這道題還可以繼續推廣為：

已知a/b和c/d都是正的最簡分數，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n< c/d的兩個自然數。對n的有些取值，只能找到唯一的m使上述大小關係成立，把這樣的m叫做快樂數。求證：快樂數的最大值是2bd。

證明過程類似於上面的題目，在此不再贅述。

如果能吃透上面的3道題，這類題目想必不會再有問題。這樣的刷題方式，你能說它不香？