歐幾里得109、第一次數學危機簡介，畢達哥拉斯悖論

2016.12.19，網友“大穎（yǐng）子”發表名為《第一次數學危機簡介》的文章。

…穎：形聲字，最早見於《說文（說文解字）》小篆（zhuàn）。形構從禾、頃聲。從禾，表示與稻禾相關；頃聲，表示音讀。其本義是禾穗（suì）的尖端。長在植物尖端的一般都是嫩芽，所以“穎”引申指草木的嫩芽。引申泛指物體的尖端。

字義：1.稻、麥等禾穀子實帶芒的外殼。

2.錐子杆兒前端固定針的金屬環。也指某些小而細長東西的尖端：脫～而出。

3.聰明：～悟…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關，聲旁和全字的讀音有關。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…

…形聲字：用形聲造字法造出來的字…]

文章內容：

…

公元前六世紀，在古希臘學術界佔統治地位的畢達哥拉斯學派，其思想在當時被認為是絕對權威的真理。

…真、理、真理：見《歐幾里得43》…

畢達哥拉斯學派倡導的是一種被稱為“唯數論”的觀點，他們認為宇宙的本質就是數的和諧。

…本、質、本質：見《歐幾里得22》…

他們認為萬物皆數，而數只有兩種，就是正整數和可通約的數（即分數——兩個整數的比），除此之外不再有別的數，即是說世界上只有整數或分數。

…通約：通分，約分，簡稱“通約”…見《歐幾里得107》…

畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關係：兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希帕索斯發現了問題。

…希帕索斯：見《歐幾里得17》…

他發現邊長相等的正方形其對角線長不能用整數或整數之比（分數）表示。

假設正方形邊長為1。設其對角線長為d，依勾股定理有d2=12+12=2（d的平方=1的平方+1的平方=2），即d2=2（d的平方=2），那麼d是多少呢？

顯然d不是整數，那它必是兩整數之比。

希帕索斯花了很多時間來尋找這兩個整數之比，結果沒找著，反而找到了兩數不可通約的證明。

…不可通約：不能通分，約分…

“通分需分子分母同時乘一個數，約分需分子分母同時除一個數…”一位愛學習的女生說。

“什麼數不能通分約分？不能化成分數的數不能通分約分。”女生接著說。

邊長為1的正方形，對角線長為d。d如果是兩整數之比，則兩整數不可通約。

用反證法證明如下：設直角△ABC兩直角邊為a=b，斜邊為c，依勾股定理有c2=2a2（c的平方=2×a的平方）。

…反、證、法、反證法：見《歐幾里得72》…

∵ a和c可通約

∴ 設已將a和c中的公約數約去，即a、c是互質的整數

∵ c2=2a2（c的平方=2×a的平方）

∴ c為偶數，a為奇數

不妨令c=2m，則有：（2m）2=2a2[（2m）的平方=2×a的平方]

（2m）2=2a2化簡一下得2×m2=a2（2×m的平方=a的平方），於是a為偶數。

這與前提a為奇數矛盾。

這一發現歷史上稱為畢達哥拉斯悖（bèi）論。

…悖、論、悖論：見《歐幾里得27》…

“順便說一下證明上述對角線長度是無理數的方法：”中學生說。

證明上述對角線長度是無理數的方法：

∵ “a既是奇數、又不是奇數”不符合數學事實

∴ “a既是奇數、又不是奇數”為假

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

…∵：數學符號“因為”…見《歐幾里得77》…

…∴：數學符號“所以”…見《歐幾里得77》…

…假：不符合事實…見《歐幾里得75》…

“a和c可通約”能推匯出“a既是奇數、又不是奇數”的推論。

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

…論、推論：見《歐幾里得66》…

∵ 推導方法正確，推論假，推匯出推論的命題必為假（邏輯關係）

∴ “a和c可通約”為假

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

∵ 兩個互相矛盾的命題，不可能同時為真，必有一假（矛盾律）

…矛盾律：見《歐幾里得73》…

∴ “a和c可通約”“a和c不可通約”必有一假

∵ 兩個互相矛盾的命題，不可能同時為假，必有一真（排中律）

…排中律：見《歐幾里得72~74》…

∴ “a和c可通約”為假時，“a和c不可通約”為真

∴ a和c不可通約

“畢達哥拉斯悖（bèi）論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，“數即萬物”的世界觀被極大的動搖了，有理數的尊崇地位受到挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數學危機。

請看下集《歐幾里得110、世、界、世界，觀，世界觀，哲、學、哲學》”

若不知曉歷史，便看不清未來