靈感就像黑暗中點亮的一盞燈塔，它給了迷茫的航者前行的勇氣和方向。D. Vollhardt和W. Metzner關於無窮維極限的奇思妙想並非只是鏡花水月般遙不可及的孤芳自賞，它很快就在強關聯電子領域引起了巨大的反響。最先理解了無窮維度簡潔美的是同樣來自德國的Müller-Hartmann教授。這位一輩子都待在德國北威州科隆的教授，也許更能夠與當時同在北威州的D. Vollhardt和W. Metzner兩個人產生共鳴。或許是因為同樣的陰雨連綿，或許這個時代的北威州註定是個英雄聚集的地方，他們的工作使得1989年變得很特殊，至少對於強關聯量子多體理論而言，這是一個值得紀念的年份。
我介紹D. Vollhardt和W. Metzner1989年工作的方式，可能容易給陌生讀者造成錯覺，似乎無窮維極限的想法是一種天外飛仙般的靈感爆發。實際上，我們今天回頭來再看兩人當年的出發點，尋根朔源，就會發現他們發現無窮維極限的簡化是一個自然的結果。兩人當年的出發點並不是去創造一種全新的理論，他們只是想更好的理解一種已經存在的方法，並嘗試稍微修正一下它，使其變得更好。這也是我們大多數人做科研時最簡單的出發點，但是一些重要性的發現可能就隱藏在這一點點的突破上。
他們當年真正想要理解的方法是Gutzwiller approximation [1]. 這是一種半經典的平均場近似理論。它用一個關聯常數替代了描述格點單佔據態、雙佔據態及空態之間動態平衡的玻爾茲曼因子，用來重整化關聯體系中的電子動能項。該方法簡單，長久以來是唯一能夠在有限相互作用強度範圍內定性描述莫特(Mott)金屬-絕緣體轉變[2]的理論。但是人們對於Gutzwiller approximation為什麼有效一直沒有深刻的理解，無法從傳統場論或者多體理論中系統的推匯出該方法，因此不能進一步改進它。這種情況直到1986年Gabriel Kotliar（他對動力學平均場的發展做出了巨大的貢獻，後面我們會經常看到這位大神的工作）和A.E.Ruckenstein兩個人提出了隸玻色子平均場理論（slave-bosonmean-field theory）[3]才得以改變。兩人將Hubbard模型中的費米子玻色化成隸玻色子，並利用泛函積分的鞍點近似(saddle-point approximation)證實Gutzwiller approximation剛好對應了他們提出的隸玻色子理論的平均場解。
Nevill Francis Mott (1905-1996)英國物理學家，因為對磁性與無序系統中電子結構的研究，與Philip W. Anderson, J.H. Van Vleck分享了1977年的諾貝爾物理學獎。
自然界中的固體材料體現出不同的導電和導熱性，大致可以分為金屬、絕緣體和半導體。長久以來，這些不同狀態之間的差異都可以由電子的填充狀態不同來描述。在絕緣體和半導體中，任意一條能帶所有微觀狀態要麼被全部佔據，要麼完全沒有佔據。而在金屬中，存在至少一條能帶的微觀狀態被部分佔據。N.F. Mott [2]提出在電子部分佔據的體系中也存在一類絕緣體，今天我們稱為由電子-電子關聯導致的Mott態。簡單而言，Mott態是電子剛好半佔據的時候，因為彼此間強烈的排斥力，使得每個電子被迫局域在自己的位置形成的絕緣態。
D. Vollhardt和W. Metzner從1987年起也一直在研究如何系統的理解Gutzwiller approximation, 他們更多的是從圖形微擾論的角度出發。他們發現在利用Gutzwiller變分波函式計算物理量的平均值時，完全可以用圖形化的多體微擾論方法計算，並且該方法可以推廣到任意維度[4]。在一維情況下，他們解析得到所有的圖形結果；而到了高維度的時候，解析結果就不存在了。他們只好數值計算了多個不同維度下的不同圖形的結果。他們發現隨著維度的增加，似乎每一張圖上的動量守恆都可以被更好的忽略掉。在無窮維度下，動量守恆就完全不存在了。所有沒有動量的圖形求和後就嚴格給出了Gutzwiller approximation的結果。這樣，才有了1989年兩人關於無窮維度的討論。所以，無窮維極限的想法不是憑空出現的。
實際上，歷史上很少有純粹的橫空出世的想法，大多數被世人記住的理論其實都是在前人基礎上的修修補補。我們常常聽到德高望重的前輩說，做科學研究最重要的不是聰明，而是耐得住寂寞的勤奮，可能道理就在這裡。
D. Vollhardt和W. Metzner當時的討論是基於一種假想的具有高斯型態密度的晶格體系。Müller-Hartmann進一步考慮了多種不同型別且更實際的晶格，發現在無窮維下所有體系的關聯都變得局域，動量變得不重要；他進而發現，關聯只有在局域尺度上才具有動力學屬性，任何非局域的關聯效應都被靜態平均場描述 [5]。可以忽略動量這件事情看似簡單，但是對於實際計算卻有著非凡的意義。熟悉圖形微擾論的朋友們都知道，在計算每一階圖形的時候，中間動量都需要被求和掉。高階圖形中包含的動量求和是非常多的，計算很複雜。在任意晶格體系中，Müller-Hartmann指出動量求和都可以被忽略，同時體系的動力學資訊又被完整儲存。因此，這可能大大簡化量子多體系統的理論研究。
Václav Janiš
Charles University
利用無窮維度下的簡化構建出多體自洽理論的是捷克的Václav Janiš [6]，法國的Antoine Georges和美國的Gabriel Kotliar [7]。1983年在布拉格的Charles大學獲得博士學位後，Václav Janiš透過申請德國的洪堡獎遊歷到了德國北威州的多特蒙德（喜歡德甲的朋友們一定對這個城市有所瞭解）。當時的他還不知道幾年後北威州將成為一個強關聯電子理論重要的發展中心，他當時的研究主要集中在相干勢近似(coherent potential approximation) [8] 的泛函積分表示上。這是一種用來研究無序，摻雜系統的有效方法。實際上，那個時代研究無序和安德森局域化（Anderson localization）[9] 是一種流行。Václav Janiš在來到多特蒙德之前，這裡有兩個年輕人U. Brandt和C. Mielsch，他們在研究另外一種當時非常時髦的模型，Falicov-Kimball model [10]。這是一個簡化版的Hubbard模型，它不包含自旋資訊，可以理解為電子是完全極化的。
Falicov-Kimball model (FKM)最早是作為研究 SmB6的Kondo物理於1969年引入。該模型描述了一個安全極化的迅遊電子與一個完全域性域的f電子之間的庫侖耦合 。雖然我們今天已經理解了FKM並不能正確描述Kondo效應，但由於該模型比Hubbard模型更簡單，同時也包含了電子關聯效應，並能夠在無窮維極限下被嚴格求解，因此是凝聚態物理中非常重要的一個模型。
相對於Hubbard模型中的自旋相反電子間的庫侖排斥，Falicov-Kimball模型的庫侖力存在於兩種不同的電子間，一種是迅遊電子，一種是完全域性域的電子。U. Brandt和C. Mielsch幾乎是在1989年D. Vollhardt，W. Metzner和Müller-Hartmann發表論文的同時，就證明了Falicov-Kimball模型在無窮維度下是嚴格可解的[11]。看過我們前幾章節的朋友們知道，在強關聯理論中，嚴格可解模型是非常寶貴的稀缺資源。因此，兩人的工作迅速的讓Falicov-Kimball模型與無窮維極限聯絡到了一起，之後很長的一段時間，有大批的理論工作者投入到到了這個模型的研究上。
Václav Janiš來到多特蒙德後瞭解到了Falicov-Kimball模型，利用自己熟悉的泛函積分方法，重新研究了這個模型。泛函積分的一個優勢在於可以將部分自由度積分掉，從而得到剩餘自由度的一個有效理論。Falicov-Kimball模型在沒有迅遊電子和局域電子的單電子耦合時，剛好適合這樣的處理。Václav Janiš將局域電子自由度完全積分掉後，得到了一個只有迅遊電子的有效理論 [6]。局域電子被積分後，並不是完全消失了，泛函積分仍然保留了它在迅遊電子上的效應。這體現在迅遊電子獲得了一個額外的勢場，並且該勢場具有動力學演化性質。因此，Václav Janiš透過泛函積分將Falicov-Kimball模型轉化成了一個在動力學外勢場中運動的單電子問題。對於單電子問題，我們知道總是有辦法求解的。
Václav Janiš的工作鞏固了泛函路徑積分在處理低能有效理論上的優勢。雖然現在很多從事動力學平均場理論的人並一定了解路徑積分，但是也並不妨礙後續展開計算，該方法對於低能理論的建立有很大的幫助，是一種標準的方法。同樣的方法，也可以用來研究Hubbard等其他模型，但是Hubbard模型中的電子關聯比Falicov-Kimball要複雜很多，無法透過積分轉化成單電子問題，低能有效理論對應著在動態外場中運動的關聯多電子，因此似乎問題仍然不可解。因此當時的人們覺得這對於Hubbard模型而言，並沒有帶來任何實質性的進展。
然而，遠在美國的法國人Antoine Georges和阿根廷人Gabriel Kotliar並不這樣認為。當時的Antonie Georges 2年前剛從法國的École Normale Supérieure博士畢業（1988），來到美國的普林斯頓(Princeton)大學做博後。Gabriel Kotliar年長些，他在1983於普林斯頓拿到了博士學位，導師是大名鼎鼎的Philip Anderson。Antoine Georges來到普林斯頓的時候，Gabriel Kotliar已經拿到了美國羅格斯(Rutgers)大學的副教授職位。兩人在無窮維極限問題上共合作了三篇文章，其中的兩篇也包括了華人優秀物理學家司齊淼(Qimiao Si)，他當時在羅格斯大學跟隨Gabriel Kotliar從事博士後工作。現在是美國萊斯(Rice)大學的教授，他更多的是因為對量子臨界現象的研究被大家所熟知。相對於Václav Janiš，Antoine Georges和Gabriel Kotliar的處理方式是將在動態外場中運動的關聯多電子問題等效為安德森雜質模型，將動態外場轉化為雜質與其他媒介的耦合。他們指出Hubbard模型在無窮維極限下，其作用量具有如下形式：
這裡的
是局域關聯問題的裸格林函式。A. Georges和G. Kotliar在文章中明確指出，它和無相互作用的格林函式不同，它包含了動態外場的影響。如果上述作用量可解，那麼該問題對應的相互作用格林函式就可以用這個裸格林函式及D. Vollhardt和W. Metzner指出的局域自能表達為：
-- Dyson方程
這已經是我們今天所熟知的動力學平均場理論的樣子。上述的作用量是動力學依賴的，大多數理論物理學家不喜歡直接求解作用量，他們反而更熟悉哈密頓量的形式。因此，Antoine Georges和Gabriel Kotliar進一步指出，上述的作用量可以等效的用媒介包裹的雜質的哈密頓量來代替。這其實是反向的使用了Václav Janiš泛函積分方法，把雜質電子感受到的動力學外場，用其他的單電子自由度描述。這個雜質哈密度量，就是大家早已經知道的安德森雜質模型。只是這裡在安德森雜質模型的基礎上，還要進一步加上一個自洽的過程。這是因為局域關聯問題的裸格林函式
是透過等效為局域格林函式，並利用Dyson方程來計算得到的:
因此
和
中互相包含了對方，需要透過自洽迭代的方式同時確定(下個系列中我會展開講一下)。近期來自法國的女科學家Silke Biermann指出，該自洽方程僅對局域自能成立，任何對其引入動量依賴的方法，都可能引入違反“譜正定“的因果律(causality)問題 [12]。同時Silke Biermann給出了更加普適的自洽方程，等到後面聊到動力學平均場的非局域展開時，我們再細說，這裡先打個伏筆。
對於求解雜質安德森模型，人們感覺要熟悉多了，畢竟對這個模型的研究已經有了很多成功的經驗。Antoine Georges和Gabriel Kotliar在他們1991年的原文中用了二階圖形微擾論，得到了上述自洽方程的近似解。1992年，來自美國西西那提的Mark Jarrell利用嚴格的量子蒙特卡洛方法第一次將該無窮維極限下的Hubbard模型數值嚴格求解，成功得到了在有限溫度，有限相互作用強度下出現的Mott金屬絕緣體轉變 [13]。同時, Mark Jarrell進一步指出，不僅僅是單電子物理量（比如格林函式，自能），高階的傳播子（比如兩體格林函式、各種極化率）都只有局域圖形的貢獻。
由此，無窮維度的對映，即動力學平均場方法，成為求解Hubbard多體關聯模型的一種重要的手段。雖然我們今天看到的動力學平均場推導多數是將Václav Janiš和Antoine Georges，Gabriel Kotliar思想結合在一起，即利用泛函積分的辦法將無窮維的Hubbard模型等效為安德森雜質模型，但核心思想更多的應該是對映成安德森雜質模型這一部分。因此，今天我們更多的將動力學平均場的建立歸功於D. Vollhardt，W. Metzner和Antoine Georges，Gabriel Kotliar。四人的貢獻也在2006年得到歐洲物理學會的認可，獲得了當年的歐洲物理獎。動力學平均場的建立是在短時間(1989-1991)內完成的，該理論在材料計算和計算方法論發展上產生了巨大的推動作用，促進了多領域的進步。
Walter Metzner, Dieter Vollhardt, Antoine Georges和Gabriel Kotliar在2006年共同獲得了歐洲物理學會授予的歐洲物理獎(Europhysics Prize)，以表彰他們建立和發展了動力學平均場理論。該獎項是歐洲物理最重要的獎項之一，獲獎者中多人之後又獲得了諾貝爾獎。
（未完待續）
參考文獻
[1]. M.C. Gutzwiller, Phys. Rev. Lett. 10, 159 (1963)
[2]. N.F. Mott, Rev. Mod. Phys. 40, 677 (1968)
[3]. G. Kotliar and A.E. Ruckenstein, Phys. Rev. Lett. 57, 1362 (1986)
[4]. W. Metzner and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 59, 121 (1987)
[5]. E. Muller-Hartmann, Z. Phys. B 74, 507 (1989), E. Muller-Hartmann, Z. Phys. B 76, 211 (1989)
[6]. V. Janiš, Z. Phys. B 83, 227 (1991)
[7]. A. Georges and G. Kotliar, Phys. Rev. B 45, 6479 (1992)
[8]. R.J. Elliott, J.A. Krumhansl, and P.L. Leath, Rev. Mod. Phys. 46, 465 (1974)
[9]. P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958)
[10]. L. M. Falicov and J. C. Kimball, Phys. Rev. Lett. 22, 997 (1969)
[11]. U.Brandt, C.Mielsch, Z. Phys. B 75, 365 (1989)
[12]. Steffen Backes, Jae-Hoon Sim and Silke, Biermann, arXiv: 2011.05311 (2020)
[13]. M. Jarrell, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992)