和數字的幾何
這是關於倫納德·尤拉（1707–1783）系列的第二部分。您可以在這裡閱讀第一部分。
在我們開始探索名為尤拉身份的美麗事實之前，讓我們開始一段令人驚歎的歷史。
戀愛中的數字約公元前500年希臘人認為某些數字比其他數字更重要。特別是，他們知道兩個具有顯著特性的數字。這兩個數字是220和284。
在解釋這些數字為何如此有趣之前，我們需要知道什麼是適當的除數。好吧，這很簡單。例如，n的適當除數是小於n的自然數，將其除以n。因此，例如6的適當除數是1、2和3。現在，上面兩個數字很有趣的原因是220的適當除數之和是284，而284的適當除數的總和是220.這種關係稱為友善關係，而這些數字稱為友善數字（友善是指朋友或情人）。實際上，過去是兩個戀人採摘水果的傳統，在水果的一半上寫下這兩個數字之一，在水果的另一半上寫下另一個數字，將水果分成相應的兩半，然後各消耗一塊。這將"永遠團結他們和他們的愛"。
希臘人認為這是非常重要的關係，但是無論他們多麼努力，他們都找不到更多這樣的數字。直到大約一千年前，Thābitibn Qurra才發現了兩對。那時，數學的中心已經從歐洲和埃及轉移到阿拉伯世界，在那裡將持續近半個世紀。
Thabit的發現，以及例如但是，伊朗並沒有被帶到僅獲知一對（希臘人）的歐洲。直到Fermat在1636年找到一對。他發現的友好數字是17,296和18,416。
在此期間，兩個數學巨人之間發生了一場數學內戰。即Pierre De Fermat和RenéDescartes。他們彼此憎恨，現在費馬找到了兩個友好的數字，因此笛卡爾必須找到另一個。在1638年，他找到了9,363,584和9,437,056對。我提醒您，這沒有計算器！一定是漫長的雨天。
事實證明，費馬和笛卡爾發現的這兩對與Thābit發現的相同。
因此，經過2000年的明智思考和雨天，友好號的地位僅維持在三對已知的配對中……
然後，尤拉決定嘗試一下。
尤拉發現58對更多的友好數字！
那太瘋狂了。當然，發生的不是暴力試驗和錯誤。取而代之的是，尤拉找到了一種依靠除數和函式的屬性以及一些天才見解的方法。
你問無限多嗎？沒有人知道……這又是數學的奧秘之一。
最美麗的方程式尤拉在數學家中因許多事情而聞名，但是其中一種美的光芒比其他美的光芒更耀眼。儘管從技術上講，它被稱為所有數學中最漂亮的方程式，這就是所謂的恆等式。
我將以兩種不同的方式解釋此結果，以便讀者獲得直覺以及對它的數學理解（證明略圖）。
首先，讓我們說明一下。
尤拉的身分（1748）：
那麼，為什麼這種關係如此美好？
好吧，首先，正如威廉·鄧納姆（William Dunham）所說：
如果要加法，則需要0，如果要乘法，則需要1，如果要進行微積分，則需要e，如果要進行幾何，則需要π，如果要進行復雜分析，則需要i。這是一支夢想中的數字團隊，他們全都在這個方程式中。
在解釋身份之前，讓我們先回顧一下並定義數字。
0和10當然是一個數字，但這是一個非常特殊的數字。這是負數和正數之間的界限，它是您不能除以的唯一數字，最重要的是，它是加法標識，這意味著x等於0時x均為x。
這看似微不足道，但實際上，這很重要，因為它是所謂的數學小組中至關重要的一部分。群論是對稱的數學，但這是另一篇文章。同樣，數字1當然是乘法身份。
π我們已經見過π，並且π在數學中無處不在。
從數論到機率論和三角學，但這為什麼呢？
嗯，圓既與對稱性有關，也與週期性有關，這些現象發生在自然界和數學中許多不同的事件中。從熱量的滲透到隨機遊走和電磁波（或與此相關的吉他弦）的振動，再到統計分佈的密度，等等。
π的定義當然是圓的周長除以其直徑（任何圓，請注意），即使將其定義為比率，也不能將其寫為整數的一部分。這就是我們所說的非理性（實際上是超驗的）。絕對是數學巨星！
e現在，數字e呢？這個數字很難定義，但是我們會嘗試一下。
首先，e是一個大約2.7182818的數字，由Euler於1748年首次發現。我無法寫下所有的小數，因為它也是非理性的（和超越的）。尤拉還發現瞭如何計算它：
實際上，這就是Euler在1748年寫的方式。今天，我們傾向於用花哨的符號來壓縮它，但我不會因此而使讀者厭煩。
如果您曾經做過微積分或很久以前才對某些函式求微分，那麼您可能會記得微分運算元有一個標識，即函式
即它具有以下屬性：
這是非常重要的，因為它一方面使我們能夠求解微分方程。由於幾乎所有的物理定律和系統都可以用微分方程來描述，因此它們在物理學，生物學，數學和科學中都非常重要。
因此，您可以將數字e描述為指數函式的基數，並具有以下特性：給定時刻的變化率等於該時刻的值。
i好的。那我叫多少？多年來，人們一直不接受i作為數字，但是再說一次，他們第一次出現時也不接受負數，所以我想這是成熟的問題。
在Euler時代，他們對這個數字並不十分了解。現在，對i及其使用它的功能的研究被稱為複雜分析，當然，尤拉從一開始就在這個充滿異國情調的新領域中處於領先地位。
與數學中的許多其他事情一樣，我可以用許多不同的方式定義。一些比其他更正式。我們將堅持最簡單（也是最非技術性的）的定義。i是具有以下屬性的數字：
當然，沒有實數滿足此要求，因為如果將兩個負數相乘，則會得到一個正數。我們有時稱其為假想單位。
複數是a + bi形式的數字，其中a和b是實數（您通常認為的數字，可以是負，零或正）。複雜分析是對複雜變數的復值函式的研究，並且（在我看來）是數學中最美麗的學科之一。
但是……你能和他們做什麼？
大。現在我們知道了該領域的球員。下一個問題當然是為什麼尤拉的身份是真實的。
要回答這個問題，我們需要對數學運算和數字持開放的態度，並有所不同。
數字運算與幾何變換之間的對偶首先，我想稍微擴充套件一下您的想象力。因此，想象一下數字線，即從負無窮大到無窮大，中間為零的實數。
當然，您需要足夠的RAM來容納無限大的拓撲，但是它會變得更好。現在，我們將考慮如果決定將數字行上的所有數字加2，將會發生什麼。在我們的腦海中，我們將立即從上方檢視整個事情。
在這種情況下，-2變為0，-1變為1，0變為2，依此類推。換句話說，整個實數線將偏移2。這種轉換稱為平移。
如果加0，則不會發生移位。
如果我們決定減去，即加負數怎麼辦？好吧，基本變換是相同的（平移），但是它是逆變換（對應於另一個方向的移動）。因此，以相同的數字進行加減則相當於在每個方向上向左和向右移動相同的量，從而使您回到開始的位置。那當然等於加0即
x-x = x +（-x）= 0。
好的，所以加減實際上是關於轉換的。乘法呢？
好吧，透過與上述相同的方式進行思考，您可以在腦海中看到，乘以正數實際上就是對數字行進行擴張（拉伸）。師呢？除法實際上是變相的乘法（例如，除以2等於乘以1/2），並且像以前一樣是逆變換。這是關於放大或縮小。
當然，此變換的標識對應於乘以1（按比例縮放1不會執行任何操作）。
但是乘以負數又如何呢？瞧，這是一個很大的問題。這對應什麼轉換？
首先，我們需要記住，乘以-x實際上與先乘x然後乘-1相同。因此，當我們乘以該值時，我們首先進行x的擴容，然後進行與-1相乘的轉換。
因此足以找出乘以-1的結果。
事實證明，將實數乘以-1對應於透過0的反射。您可以透過在數字行上取一個數字x並乘以-1來看到這一點。然後，您對稱地降落在0的另一側-x處。當x為負時也是如此。
請注意，現在負數乘以負數也是正數。如果您兩次反思，您將回到起點。用數學語言（-1）（-1）= 1。
當我第一次發現轉換和操作之間存在不同數量的雙重關係時，我被美與完整性感所震驚。同樣因為沒有人向我解釋過為什麼負數乘以負數就是正數。但是這裡！這是因為關於同一條線的兩次反射的變換等於標識變換，即不執行任何操作的變換。此處的身份轉換轉換為數字和運算，對應於乘以1的動作。
事實證明，這也可以由Ring Theory領域使用稱為同態的方法來解釋，但這要更高階一些，後來我學到了很多。我仍然認為數字的幾何形狀是一種更優美的方法。
現在，我們已經解釋了經典運算的實數如何與它們對應的轉換配合在一起，以及它們的真實含義，但是我們缺少一個重要的轉換-旋轉。
讓我們考慮一下。逆時針旋轉存在於實線上的數字一定角度聽起來很奇怪而且很危險。畢竟，如果我們不謹慎的話，我們可能會陷入一個距離我們家很遠的外星世界，在我們的數字線之外，陷入另一個維度。
聽起來我們必須發明一些新的怪異數字，它們存在於二維數字平面中，不是為了求解硬方程，而是為了實現轉換的完整性。
順便說一下，這在數學中經常發生。您從不同的角度看待事物，發現有趣的新事物。
好的。那麼這些外星人數字的性質是什麼？嗯讓我們以乘以它對應於逆時針旋轉90度的數字為例。
首先，我們可以透過將其乘以1來獲得該有趣數字的位置，因為它應該等於自己，但也應該與將1旋轉90度時得到的數字相同。
因此，這個新數字位於我們數字平面上的點（0，1），在這個新數字系統中，我們的老朋友1現在是點（1,0）。
顯然，當我們乘以該數字的平方時，將旋轉180度。因此，此數字的平方傳送1到-1。
因此，這個神秘數的平方僅為-1。
親愛的朋友們，我們現在推論的是，這個數字恰好是i的數字-上面的虛擬單位。因此，我是位於我們數字平面中（0,1）的數字。
因此，複數集是非常需要的自然數集，它們是開箱即用的，它們負責旋轉變換。事實證明，複數a + bi只不過是現在稱為複平面（我們之前稱為數字平面）的點（a，b）。
這意味著我們所有的數字實際上都生活在一個二維世界中，其中每個點都對應一個複數，其中包括作為（適當）子集嵌入到複平面中的實數。因此，所有實數也是複數，但並非所有複數都是實數（顯然）。
這種幾何檢視對Euler不可用，因為它是由Caspar Wessel，Carl Friedrich Gauss等人後來首先開發的。因此，尤拉（Euler）只是將i視為具有定義它的負平方屬性的數字。
現在，我們已經從這種角度理解了數字，並牢記了對偶性，我們只需要一種成分就可以直觀地瞭解Euler的身份。
儘管在揭示這種成分之前，我們需要知道什麼是弧度。想一想，為什麼一圈有360度？
事實證明，這是巴比倫人及其十六進位制數制的遺留物。完全不尊重數字60，但是它是任意的（不是完全任意的，但這是一個漫長的故事），數學家也不喜歡。事情應該是自然的。
因此，我們以另一種方式計算"度"。全部涉及半徑為1的歸一化圓，即所謂的單位圓。該圓定義了三角函式，即餘弦，正弦，切線，割線等，因此使用它定義度數是很自然的。
這個想法是，我們沒有選擇一個任意的數字作為"整個方向"，而是簡單地選擇了單位圓的周長。因此360度對應於2π弧度，180度對應於π弧度，依此類推。
現在我們準備好最後的食材了。
以下是一個事實，我們將稍作概述，但現在，我們僅在此處進行說明：
當我們將任何複數z（包括實數還記得嗎？）乘以該數時
然後將結果旋轉z弧度θ弧度。
現在，我們準備透過對數字及其相互運算的新理解再次檢視尤拉的身份。已經有一段時間了，讓我們重溫一下，但是這次寫的有點不同。
那麼這是什麼意思呢？
好吧，真的很簡單。我們知道，左側只是說："以π弧度旋轉" 180度還記得嗎？右邊說："反射數字0"。
因此，尤拉的身份在說什麼：
180度的旋轉與透過0的反射相同。
簡單，美麗，優雅！
好的，現在我們可以從幾何學的角度理解它，這當然很好，因為現在我們有了一些與方程相關聯的影象，但這並不是證明。這幾乎是一個證明，但我們從未展示過數字e與與其關聯的複數角度（稱為其自變數）之間的關係。另外，我想向您展示尤拉如何證明自己的身份。
尤拉以更一般的結果（也是一個恆等式）表示角度和指數函式之間的關係，即
尤拉公式（1748）
在證明這一點之前，我們先坐下來欣賞一下這個結果。
首先，這意味著指數函式是週期性的！繪製其圖形時可能看起來不像，但這是因為其週期是虛構的。週期當然是2πi，因為餘弦和正弦都具有周期2π（請注意，我們所談論的三角函式是用弧度而不是您在高中學習的度數定義的）。
讓我們快速瀏覽一下Euler的證明。
您可能從上一篇文章中回想起我們可以將某些函式編寫為稱為泰勒級數的冪級數。這裡是：
首先，他在Maclaurin系列中寫出指數。
然後他把我從括號里拉出來。請注意，右括號內的級數是交替出現的，因為如果將虛數單位提高為4n形式的數字，則得到1、4n + 1得到i，4n + 2得到-1、4n + 3得到-一世。
此後，他將括號內的兩個系列（當然是）識別為麥克勞林的餘弦和正弦序列（當然是）。從本系列第一部分中的巴塞爾問題證明，即數字無窮大（倫納德·尤拉），您可能會認識到這種表示形式中的正弦函式。
為了解釋指數函式和角度之間的關係，可將一個複數想象為座標為（a，b）的複平面上的一個點。該數字可以寫為a + bi，並且距原點有一段距離。我們將此距離稱為長度（或模量）r。現在，與實線的角度如何？
好吧，如果我們從點（a，b）向下到與假想軸平行的實軸（實數線）畫一條線，並且還從我們的點到原點畫一條線，我們會形成一個直角三角形。原點處的角度正好是複數a + bi的引數，在我們的轉換語言中，它是該數乘以其他數時所旋轉的角度。
為了找到複數的自變數（或角度），我們從三角學中記得，當斜邊的長度為r時，角度的正弦值乘以r就是對邊的長度，角度的餘弦值乘以r是相鄰邊的長度。
換句話說，在我們的複數a + ib中，我們有a = rcos（θ）和b = rsin（θ）。所以
我們在上一個等式中使用了尤拉的身分換句話說：任何複數a + bi都可以透過指數函式根據其自變數和模數以這種極性表示法來寫。
但是，尤拉更普遍的身份如何證明他的"夢之隊"方程式呢？
好吧，如果x =π，則正弦項消失（變為0），而餘弦項變為-1，因為pi弧度為180度。
這最終證明了他美麗的方程式，但有些繞了彎。
有人說尤拉是有史以來最偉大的數學，有人說高斯，但最後沒關係。重要的是我們確實站在巨人的肩膀上。
在一開始就把趣味數字告訴軼事的方式極大地受到了威廉·鄧納姆（William Dunham）令人敬畏和豐富多彩的教導的啟發。
閱讀尤拉，閱讀尤拉。他是我們所有人的主人
〜皮埃爾·西蒙·拉普拉斯