歐幾里得117、西奧多羅斯為什麼證到17就不證了呢？

2017年3月30日，網友發表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個整數之比的數？》的文章。

文章內容：

…

我們證明了根號2是無理數。根號3呢？根號5呢？

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…無、理、無理數：見《歐幾里得27》…

…我們證明了根號2是無理數：見《歐幾里得116》…

你可能偶爾看到過，Theodorus（通常譯為西奧多羅斯）曾證明它們也是無理數。但Theodorus試圖證明17的平方根是無理數時卻沒有繼續證下去了。

…西奧多羅斯（約公元前465一前399）：希臘數學家。畢達哥拉斯學派的成員。

哲學家柏拉圖和數學家泰特託斯的數學老師。曾學習過幾何學、天文學、和聲學、算術。與大哲學家蘇格拉底交往甚密…

你可以在網上看到，Theodorus對數學的貢獻之一就是“證明了3到17的非平方數的根是無理數”。這給後人留下了一個疑問：怪了，為什麼證到17就不證了呢？

…平方數：又稱完全平方數。指可以寫成某個整數的平方的數。如9 =3×3，9就是平方數…

一位俄國的數學歷史家“猜”到了原因。

他猜測，當時Theodorus就是用類似上面的方法證明的。比如，要證明根號x不是有理數，於是設√x=p/q。

√x=p/q兩邊平方，轉化一下，得p2=xq2（p的平方=x·q的平方）。

我們已經證過x=2的情況了，剩下來的質數都是奇數。如果x是奇數且p/q已經不能再約分，那麼顯然p和q都是奇數。

一個奇數2n+1的平方應該等於4（n^2+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1。

…^：乘方…

…n^2：n的平方…

…（2n+1）^2=（2n+1）×（2n+1）=4n^2+2n+2n+1=4n^2+4n+1=4（n^2+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1…

其中n（n+1）/2肯定是一個整數。

…（2n+1）^2=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一個整數。

證明：

∵ n，n+1為連續自然數

∴ n，n+1為一奇一偶

∴ n（n+1）是偶數（奇數乘以偶數得偶數）

∴ n（n+1）能被2整除

∴ n（n+1）/2是整數…

如果p=2k+1，q=2m+1，把它們代進p^2==xq^2，有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1。

…p=2k+1，q=2m+1，代入p^2==xq^2得：（2k+1）^2=x（2m+1）^2

（2k+1）^2=x（2m+1）^2兩邊化簡：

4k2+4k+1=x（4m2+4m+1）

8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1]

8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x

兩邊同時減1：

8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1

兩邊同時減x·8·m（m+1）/2 ：

8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1

提取公因式：

8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1…

於是x-1必須是8的倍數。

如果當時Theodorus（西奧多羅斯）是這麼證明的，那麼他可以得到這樣一個結論：如果x-1不能被8整除，那麼√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理數。

好了，現在3、5、7、11、13減去1後都不是8的倍數，它們的平方根一定不是有理數。

在x=9時發生了一次例外，但9是一個平方數。

…x=9時發生了一次例外：x=9時，x-1=9-1=8，是8的倍數。

根據“x-1不是8的倍數時，√x是無理數”，無法判斷√9的平方根是無理數，還是不是無理數。

“我們知道，√9的平方根是3，不是無理數。所以‘√9的平方根是無理數，還是不是無理數’不需要再判斷。”中學生說。

“因此，西奧多羅斯得以越過9，繼續證下去。”中學生接著說。

…

而當x=17時，這種證明方法沒辦法解釋了，於是Theodorus就此打住。

…x=17時，x-1=17-1=16，是8的倍數。

根據“x-1不是8的倍數時，√x是無理數”，無法判斷√17的平方根是無理數，還是不是無理數。

“從17開始，‘x-1不是8的倍數時，√x是無理數’這種證明方法開始失效…西奧多羅斯無法繼續證下去…所以他就此打住。”中學生說。

“0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被證明是無理數，4、9、16…是平方數，它們的平方根是已知的數…”另一位中學生說，“西奧多羅斯打算尋找剩下的數的平方根。”

“剩下的數是：3、6、7、8…”中學生接著說。

“如果剩下的數的平方根不能用整數之比表示出來…那它們就和√2一樣，是無理數。”中學生繼續說。

“西奧多羅斯曾嘗試證明它們是無理數，併成功證明‘3到17的非平方數的根是無理數’。”中學生最後說。

…

“畢達哥拉斯時代根本沒有發展出代數這門學科來，它們掌握的只是純粹的幾何。因此，Hippasus（西奧多羅斯）當時的證明不可能像我們現在這樣搞點什麼奇數x偶數y之類的高科技東西。

請看下集《歐幾里得118、平、面、平面，平面幾何，完全用平面幾何知識證明結論》”

若不知曉歷史，便看不清未來