Antoine Georges和Gabriel Kotliar將Hubbard模型對映為安德森雜質模型的想法，讓原本對在任意關聯強度下求解Hubbard模型無計可施的物理學家們，突然有了一種峰迴路轉、柳暗花明的感覺。像是有人劃燃了一隻火柴，讓我們可以看清楚在黑暗中所處的位置和腳下的路。兩人在1991年的工作為動力學平均場搭起了完整的車架和導航系統，缺少的僅僅只是一個更好的引擎。有了它，動力學平均場方法這輛全新設計的汽車就可以暢快的行駛了。

這個引擎就是安德森雜質模型的求解器。與Hubbard模型相比，求解安德森雜質模型雖然仍是一個非平庸的問題，但是難度要小很多。當年的Antoine Georges和Gabriel Kotliar採用的方法是二階微擾論 [1]，相比於現在使用廣泛的更高階做法，差不多等同於用手推車。即便如此，兩人已經展示了一個完整動力學平均場計算所具備的全部要素。1992年Mark Jarrell使用的求解器就先進多了，但它也存在自身的問題。我們雖然還製造不出一個零排放、無汙染、適用於全天候、全地形的完美引擎，但是人們從未停止對它的研究和最佳化，在不斷的改進中，它慢慢符合了國五、國六的排放標準。希望看到這個系列的小朋友們，可以感受到設計的樂趣，透過你們未來的工作讓這個引擎越來越完善。

Antoine Georges和Gabriel Kotliar用數學和物理的語言為大家定義了這個引擎的功能和設計原則。這相當於晶片企業設計好了晶片的電路，剩下留給晶片製造企業的只是簡單的流片，任務簡單而明確。因此各種求解安德森雜質模型的計算方法，如雨後春筍般不斷湧現，動力學平均場方法進入到第一個繁榮期。

在這個系列中筆者將簡單介紹幾種常用的安德森雜質求解器。介紹的目的不是為了討論技術細節，告訴大家如何做動力學平均場的計算。更多的是從歷史發展的角度梳理人們對於求解動力學平均場方程的理解，和對多體問題各種不同側面的思考。希望讀者可以從這個系列裡瞭解到研究量子多體問題的常見思維方式，而不僅僅只侷限於動力學平均場理論。在回顧這些歷史之前，讓我們先來展開Antoine Georges和Gabriel Kotliar關於動力學平均場的設計圖紙：

首先Antoine Georges和Gabriel Kotliar告訴我們，動力學平均場是一個迴圈系統。就像傳統汽車需要輸入汽油和空氣一樣，這裡需要輸入的是雜質的自能

和動力學系統的色散

關係。我們把自能和色散關係重新組合，構成了局域的外斯格林函式

，一如汽車要把汽油和空氣混合。接下來就是關鍵的部分了，汽車透過發動機把汽油和空氣混合物的化學能轉化為機械能輸出給汽車作為動力。在動力學平均場中我們需要的引擎會把外斯格林函式

轉化成包含了相互作用資訊的格林函式

。然後再透過傳動系統Dyson方程，把相互作用格林函式轉化成下一次做功需要的自能。

動力學平均場涉及到的幾個方程都是簡單代數方程，只有這個引擎是高度非平庸的。所有關於相互作用的資訊都是由這個引擎產生的。我們將按照相互關係介紹如下幾種雜質求解器，側重設計思想和彼此的差別。有一點值得強調，由於動力學平均場的無窮維簡化，使得相對於傳統Hubbard模型的格點問題而言，我們這裡沒有了動量自由度。因此，使得我們在動力學平均場裡有多餘的精力去考慮局域軌道自由度的影響。而在傳統的量子多體模型裡，人們通常因為問題複雜度的原因，僅僅只考慮單軌道問題，然後簡單說一句“該方法/結論可以自然的推廣到多軌道/能帶情形”。但實際上這卻是一個非常困難的事情，而多軌道/能帶的物理也遠較單軌道/能帶情形有趣豐富得多。因此，我們這裡的介紹會更多的關注多軌道情形。只想知道哪一種方法更適合自己的朋友可以直接跳到本文的最後，在那裡筆者總結了一個表格，方便大家審閱。

這裡要介紹的第一種雜質求解器是Antoine Georges和Gabriel Kotliar使用的二階微擾論。學過高等固體理論或者凝聚態量子場論的同學一定知道微擾展開吧。透過Linked cluster theorem[2] 和拓撲不等價性，Hubbard模型相互作用展開的前兩項包含如下的四個相連的自能圖。如果我們考慮的僅僅只是相反自旋電子間的相互作用，那麼所有的Fock圖形都消失掉，僅剩下Hartree項和二階項中一個圖形。對於單軌道問題，Hartree項僅僅只是提供了一個常數，是對化學勢的移動，並不重要。第一個動力學貢獻是來自於二階項。這就是Antoine Georges和Gabriel Kotliar用來近似計算自能的方法。這是一種非常粗糙的近似，因為微擾論展開需要我們儘可能多的考慮展開階數才準確，因此該方法只適用相互作用比較弱的情況，不能夠正確描述Mott相變。但好處是方法簡單，結構清晰，既可以在實頻率也可以在虛頻率上工作，並且容易擴充套件到多軌道情形，可以方便研究真實材料體系。

為了保持二階微擾論這樣的簡單形式，同時使得計算出的自能同時在強耦合極限下也是定性合理的，人們大開腦洞，把二階自能來了個變形，人為引入了兩個引數A和B。多出來的兩個引數使得人們可以分別擬合強弱兩個極限下的自能的定性行為。這樣保證了在相互作用的兩端，這個方法計算出的自能都是定性正確的。這種方法被命名為Iterated perturbation theory，簡稱IPT [3-5]。當然，如果你還記得費米轉述馮·諾依曼的話“用四個引數我可以擬合出一頭大象，而用五個引數我可以讓大象的鼻子動起來”，那麼就會知道這樣拼湊出來的方法是缺乏理論基礎的，只是在某些情況下確實還挺好用而已。IPT同樣可以直接工作在實頻率空間，能夠處理多軌道及摻雜情形。但是由於該方法缺乏確定的理論基礎，在不同情形下其行為無法提前判斷，需要仔細辨別。

介紹了有兩個代表性的弱耦合展開，我們再來介紹兩個強耦合展開方法。顧名思義，這些方法的出發點是強電子關聯極限。前述的弱耦合方法適用於U較小的區間，這裡的強耦合方法適用於U很大的區間。這種強耦合展開方法以Hubbard-I [6]，non-crossing approximation [7,8]為代表。其中的Hubbard-I無需做任何展開，它其實就是我們之前在“系列之一”中講過的孤立原子近似，它完全忽略了雜質與周圍的耦合，用孤立Hubbard原子的自能代替動力學平均場雜質自能。因此該方法的解析結構非常清晰，同時也容易擴充套件到多軌道情形，可以直接工作在實頻率下，是一種非常簡單的方法。主要是用於研究相互作用很強，軌道局域化最嚴重的f電子體系，是很多DFT+DMFT程式包最先採用的雜質求解器。

港科大的戴希老師2003年在科學雜誌上發表的一篇文章就曾經使用此方法 [9]。在Hubbard-I的基礎上，如果考慮雜質與周圍耦合的微擾展開，並將所耦合項不相交的圖形求和在一起，就得到了non-crossing approximation[7, 8]。該種方法顯然比孤立Hubbard-I方法要進了一步，包含了雜質與周圍環境的耦合效應。但是由於所包含的圖形仍然過少，只適用於高溫情況，並且擴充套件到多軌道情形具有較大的困難，使用的人也比較少。

講了這麼多微擾方法，他們各自因為屬性的不同，因而適用的引數範圍不同，不能夠有效的研究相互作用的全引數空間。對應於費曼圖而言，他們都是各自考慮了所有圖形中的一部分，因為各自建立方法的不同，採用的圖形是不一樣的。可能有朋友要問了，有沒有一種辦法，能把所有的費曼圖都考慮進來，這樣的計算不就是嚴格的了嗎？確實存在這樣的方法，但是因為可想而知的計算複雜度，這樣的方法基本都是數值方法。

比如說1992年Mark Jarrell的工作就是採用量子蒙特卡洛方法Hirsch-Fye方法 [10]，雖然在該方法裡並不直接出現費曼圖，而是將量子問題轉化成經典自旋的抽樣問題，但是數值上該方法是嚴格的。這種方法存在的問題在於存在將溫度分立化引入贗自旋導致的的計算誤差。同時該方法在向多軌道擴充套件的時候也存在較大困難。相比於Hirsch-Fye方法，2005 A. Rubtsov[11] 和2006年P. Werner[12] 先後提出的兩種連續時間蒙特卡洛方法從根本上消除了溫度分立化引入的計算誤差，其中的強耦合展開-連續時間蒙特卡洛方法在處理多軌道問題上具有強大的優勢，目前已經成為DFT+DMFT從頭計算強關聯電子材料的首選雜質求解器。

筆者的好友黃理老師開發的iQIST提供了適用於多種不同情形的強耦合展開-連續時間蒙特卡洛程式，歡迎大家嘗試 [13]。這兩種方法分別等效為前面我們介紹過的弱耦合和強耦合展開，但是不同於前面微擾論的地方在於，通過蒙特卡洛隨機行走可以將所有展開圖形都全部包括在內，因此計算結果在數黃理值上是嚴格的。兩種方法對體系尺度和溫度具有不同的標度行為，適用於不同情況下的計算。這兩種方法均可以應用到極低溫，透過變分法也可以直接工作在零溫。但是由於是蒙特卡洛方法，其固有的“負符號”問題（即存在機率為負的構型）也存在於動力學平均場的計算中。通常在多軌道和摻雜情況下問題明顯。

另外一種數值上嚴格的計算方法是精確對角化[14, 15]。它的工作物件是哈密度量，這和前面介紹的方法都不同，它們都可以直接處理含時作用量。精確對角化無法直接處理動力學外場，因此它是真正需要把問題轉化為與周圍耦合的安德森雜質模型的一種方法。精確對角化的好處在於非常適合處理零溫情況，高溫的計算反而變得複雜不準確。可以工作在實頻率上，因此可直接提供譜資訊，並且能在任意摻雜下計算，不用像蒙特卡洛一樣擔心“負符號”問題。但是精確對角化在擴充套件到多軌道時，由於目前計算機能處理的哈密頓量維度有限，不得不降低其他自由度的個數，因此計算會變得緩慢且不準確。

除了基於費曼圖的計算方法外，還有些基於重整化群思想的計算工具。比如數值重整化群 [16, 17] 和密度矩陣重整化群 [18]。前者通常適用於低能，低溫情況。在高能區和多軌道情形有較大難度。後者通常被認為是一維情況下的嚴格解，處理高緯度問題有其自身的缺陷，仍然是該領域正在公關的課題。有少數工作將密度矩陣重整化群推廣到多軌道情形[18, 19]，在高能和低能區間都得到與實驗符合很好的結果。該方向的嘗試目前僅限於少數課題組，尚未達到被廣泛認可的程度。數值重整化群和密度矩陣重整化群都是基於哈密度量，因此具有和嚴格對角化類似的優缺點。可以直接處理實頻率，提供譜資訊。

另外，基於slave-particle的想法，人們也開發了很多動力學平均場的雜質求解器。這些方法和微擾論方法類似，好處在於簡單，解析結構清楚，沒有“負符號”問題等。但方法的精度往往因具體問題而異。目前較為常用的slave-particle方法包括slave-boson mean-field [20],slave-rotor [21, 22], slave-spin [23, 24]方法等。在研究多軌道關聯材料體系，尤其是在弱耦合-中間耦合區間，例如鐵基超導體，這些方法都有不錯的表現。

各種計算方法的開發，一方面豐富了動力學平均場的手段，另一方面也反映出電子強關聯問題的難點之處。縱使我們已經有了這麼多屬性不同的方法，卻沒有一種是放之四海而皆準，能夠應用在任何場景下的。動力學平均場的無窮維簡化，消除了人們在動量上的計算負擔，但是關聯問題的動力學本質並沒有改變，問題的複雜度仍然超過了解析和精確數值計算能夠達到的程度。但是，可喜的是動力學平均場的簡化，讓我們可以開始考慮實際材料中更為豐富的自由度，這裡主要是軌道自由度帶來的multiplet效應。這在傳統量子多體問題中，我們是無暇顧及的。動力學平均場方法因此為我們提供了對諸如Mott轉變更為深刻的理解。在下一個系列中，我們會展開聊聊動力學平均場帶給我們的如下三個新的啟示：

軌道選擇Mott轉變 (Orbital-Selective Mott Transition)多軌道恰當填充Mott轉變 (Multiorbital commensurate-filling Mott transition)自旋軌道耦合體系中的 Mott態