奇異吸引子

歐文·拉茲洛指出：“混沌是一種秩序，是一種不可預見的秩序，對於混沌狀態，我們可以建立模型，而無序是不可描述的狀態，是不可建立模型的狀態。……任何複雜系統都不是絕對的無序的系統，但可能是混沌系統。”[插圖]也就是說，複雜系統內由於各種參量的作用，有可能使系統內某種吸引子效應放大，使系統因這種吸引子的影響而從有序（或無序）狀態轉向一種混沌狀態，這是複雜系統演化過程中因吸引子作用而發生突變分叉之後的一種選擇，即系統從有序結構狀態轉向混沌狀態而不是無序狀態。拉茲洛繼續指出：“系統在混沌狀態的前後是非連續性的系統，可以說，混沌狀態不是一種終結的狀態，而是一種過渡性狀態。”[插圖]“災變性的分叉要經過一個階段，這個階段系統就處於混沌狀態。在有序的系統中，有一個固定吸引子，該固定吸引子能維持該系統的狀態；在混沌狀態中，無此固定吸引子決定系統的行為，因而這種系統是隨機系統。”[插圖]複雜系統在演化中，系統內各種吸引子（或變化參量）相互作用，其中有一種吸引子可能是誘發系統結構降低有序性的混沌吸引子，當系統處於分叉臨界點時，系統就會因混沌吸引子的放大、增強而失去結構的穩定性，使系統進入一個新的混沌狀態。這一種新的混沌狀態也必然會因系統內吸引子的繼續影響、競爭、作用，而使系統繼續演化，在分叉點時又進行新的選擇，要麼因系統內秩序吸引子增強而促使系統向新的有序狀態轉化，要麼徹底進入無序狀態使系統解體、變形。

動態系統最重要的特徵是吸引子，它們決定系統長期行為的特徵。系統的進化從已知的初始狀態出發沿一條單一的軌跡（或時間序列）前進，這一進化過程最終導致出現了某種可辨識的構型，軌跡被捕捉住了，駐留在那裡，這一構型表示出系統的吸引子。從動力系統理論的觀點看，描寫系統狀態的參量所構成的狀態空間即相空間中某些點或某一些點的集合代表穩定狀態，同時對系統運動軌跡具有吸引作用，叫做吸引子；另一些點或點的集合代表不穩定定態，對運動軌跡具有排斥性，叫做排斥子。從相空間中任一初始點出發的運動軌跡，總是愈來愈趨近一定的吸引子，而遠離排斥子。一般而言，吸引子在相空間中總是維數較低或體積較小的極限集合。如果時間序列停滯在那裡，那麼該系統的進化就受到一個固定吸引子的支配。有序的自組織演化理論發現了三種類型的吸引子：不動點、極限環、各種環面。點吸引子表示系統最終穩定在一個平衡定態上；極限環表示一個二維繫統最後穩定在一個週期性狀態上；環面則表示系統最後穩定在準週期的運動上。

在相空間描述系統演化要用到吸引子理論。吸引子代表系統的穩定態，在相空間中是由點或點的集合表示的，這種點或點的集合對周圍的軌道有吸引作用，系統運動只有到達吸引子上才能穩定下來並保持下去。經典動力學理論告訴我們有三種類型的吸引子：一種是穩定不動點，代表系統的穩定平衡態；另一種穩定的極限環，代表相空間的一條封閉曲線，外面的軌道向裡卷，裡面的軌道向外卷，它們都以此封閉曲線為極限狀態；第三類吸引子是穩定環面。這三類吸引子都代表規則的有序運動，混沌論文獻稱之為平庸吸引子。人們早已瞭解到這類吸引子有兩個基本特徵：一是穩定性，代表穩定態，運動一旦到達吸引子就不會再離開它，當小的擾動使系統暫時離開吸引子後，一定會自行回到吸引子；二是低維性。

耗散系統的混沌運動是一種在相空間不斷收縮，運動軌跡趨於某個相體積有限的幾何物件的極限行為，也就是一種趨於吸引子的運動。但是，如果拿我們從有序演化理論中獲得的有關吸引子的知識去認識混沌運動，就會發現後者具有一系列奇異特性，完全不同於上述有序吸引子。耗散系統進入混沌區之後，相空間中顯現出另一個極限集合，它對自身之外的運動軌跡有吸引作用，但這個極限集合既非極限環，亦非環面，更不是不動點。這是一種新型別的吸引子，混沌運動特有的吸引子。基於此，混沌理論把有序演化過程的吸引子稱為平庸吸引子，把混沌運動特有的吸引子稱為奇異吸引子或混沌吸引子。奇異吸引子已成為研究混沌運動的重要工具。如果時間序列繪出一個有一定週期的狀態迴圈圈，那麼系統就受到若干個週期吸引子的支配。如果狀態軌跡既不停留在一處，又不顯示出週期性，而是高度飄忽不定的，那麼系統就處在若干個混沌（或“奇怪”）吸引子的影響之下。混沌吸引子是複雜的構型，是隨機系統狀態序列的行為。混沌系統的長期行為也要穩定於相空間的一個低維點集合上，系統運動到達這個集合以後，不可能再離開它，這是該集合的穩定性一面，因而是一種吸引子。但在這個集合內部，運動又是極不穩定的，與前述各類吸引子均不同，更重要的區別是，混沌系統的這種吸引子都是相空間的分形幾何體，具有分數維數，幾何影象極為複雜，茹勒和泰肯斯把它們稱為奇怪吸引子。

混沌吸引子最早是由美國氣象學家洛侖茲在1963年研究天氣熱動力學中發現並提出來的。洛侖茲用已建立的天氣變化數學模型在計算機上執行並輸出結果時發現，在一特定的方程組中，小誤差能引起災難性結果，對應於真實的天氣模式發生分道揚鑣的結果。從幾乎相同的出發點開始，洛侖茲看到，他的計算機產生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。這在現實的天氣變化中，就會出現所謂的蝴蝶效應。用形象化的語言描述：即所謂的遠在巴西的一隻蝴蝶扇動起美國得克薩斯的龍捲風。也就是說，就小範圍而言，任何預報都很快走樣。混沌吸引子表明了氣象預報的困難。正如普利高津評價的那樣，混沌吸引子“使人們領悟到，氣象和天候基本上是不可預料的，因為它因襲了混沌運動的一種基本性質，以一種極敏感的方式受制於初始條件。”