布達佩斯的露天咖啡座，作者攝

撰文 | 蔡天新（浙江大學數學學院教授、求是特聘學者）

數學家是將咖啡轉變成定理的機器。

——阿爾弗雷德·萊利[1]

01 空中數學飛人

任何一個喜歡旅行的人都會羨慕這個人的，除了推銷員、導遊、外交官、空姐以外，他可能是在天上逗留時間最久的人。他沒有固定的職業和收入，卻成天住賓館，吃飯店，自有人掏錢埋單。他是一個十足的神童，擁有一副舉世無雙的頭腦，後來成為歷史上最豐產的數學家，在許多領域都做出了開創性的貢獻。他就是我細心閱讀過的傳記《我的大腦敞開了》（布魯斯·謝克特著，上海譯文出版社）主人公——匈牙利人保羅·愛多士（Paul Erdős）。

20世紀60年代初，中國和東歐有著密切的關係。愛多士也應邀來到北京，見到了數學家華羅庚，而傳記的譯者之一王元當時是華老的助手和合作者，卻跑到上海看朋友去了。這個細節沒有在書中或譯後記中出現，是元老親口告訴我的。將近三十年以後，愛多士再次來中國，不僅見到了已是中國科學院院士的王元，還到濟南參加一個學術會議。我那時正好在泉城讀研究生。一個陰沉沉的秋日下午，我和愛多士在山東大學留學生樓的一間套房裡，關起門來討論數學問題。

我記得愛多士當時寫給我的，是某一類數論函式的均值估計問題。我沒有做出來，卻研究出了另一類數論函式的均值估計，那是我的導師潘承洞的胞弟——北大教授潘承彪帶給我的，這類數論函式均值估計的先驅人物也是愛多士。換句話說，我改進了他的結果，準確地說是改進了他和一位叫阿拉底的印度數學家合作的結果。不僅早早發表在《科學通報》上，提前獲得了碩士學位，而且藉此奪得了山東大學首屆研究生論文獎的頭名。儘管如此，我沒有成為愛多士數[1]（與愛多士合作發表論文），這是我的終身遺憾。

新世紀的第一個春天，我從澳洲飛往日本九州島參加第二屆中日數論會議，阿拉底來了，愛多士卻已經故世。阿拉底如今是美國佛羅里達大學教授，那次會議期間，他除了學術報告以外，還應邀為當地的大學生做了一次公眾演說，講他的同胞拉曼紐揚的故事，也講愛多士的故事。

翻開《我的大腦敞開了》這本書的第三頁，我便看到了阿拉底的名字，原來他是得到過愛多士幫助的眾多年輕數學家之一。1974年，當阿拉底還是馬德拉斯大學的學生時（拉曼紐揚曾是這所大學的教授），就對一些數論問題進行了研究，並提出了自己深刻的見解，連身為馬德拉斯數學研究所所長的父親都無法解答。後來，在朋友的建議之下，阿拉底寫信給愛多士。由於愛多士長年旅行在外，他將信寄到匈牙利科學院。

令人驚訝的是，阿拉底很快收到了愛多士的回信，告訴他不久要到加爾各答講學，問他能不能去那裡會面。不巧阿拉底要參加一次重要的考試，只好央求他的父親代勞。當阿拉底所長介紹完他和他兒子的工作，愛多士用誠懇的語氣說，“我對父親沒有興趣，但對兒子有興趣。”

愛多士決定去見見這個年輕人，那時他計劃好了要去澳大利亞，因而只得重新安排行程，以便在馬德拉斯（如今已改名清奈）作短暫的逗留，那裡離開加爾各答有一千三百多公里。當阿拉底在馬德拉斯機場迎接到心目中的數學大師時，心裡有點忐忑不安，可是愛多士開口就吟誦一首有關馬德拉斯的歌謠，這讓他大為放鬆，然後他們就開始討論起數論問題。愛多士被阿拉底的天分感動，當即為阿拉底寫了一封推薦信。

不到一個月，阿拉底就得到了洛杉磯加州大學的校長獎學金，一位未來數學家的道路就這麼鋪就了。而愛多士自己在馬德拉斯演講所得的報酬，則全部捐獻給了印度數學天才拉曼紐揚的遺孀。愛多士從未見到過拉曼紐揚和他的妻子，但他學生時代就為這位印度人發明的美麗方程式所感動，正是這種感動導致了他對印度的終身興趣和對印度數學家的不懈支援。

02 猶達佩斯的童年

1913年3月26日，保羅·愛多士出生在多瑙河畔的布達佩斯，就像愛爾蘭作家詹姆斯·喬伊斯的小說《尤利西斯》的主人公佈盧姆一樣，雙親都是匈牙利猶太人。雖然以色列奉行的對外政策長期以來並不被世界人民所一致接納，可是猶太人在經濟、科學、文化和藝術領域的傑出貢獻卻是有目共睹的。僅僅在匈牙利科學界，20世紀就有約翰·馮·諾伊曼，數字計算機和博弈論的發明者；愛德華·特勒，氫彈之父；西奧多·馮·卡門，超音速飛機之父；喬治·德·赫維希，同位素跟蹤技術的發明者。

在藝術領域，匈牙利也人才濟濟，湧現出了鋼琴家奧爾格·索爾蒂和喬治·塞爾，指揮家安塔爾·多拉蒂和歐仁·奧曼迪，作曲家貝拉·巴托克和左坦·柯達裡，設計大師拉依羅·霍莫伊-納吉、娛樂業鉅子威廉·福克斯、製片人米歇爾·克迪斯和電影導演阿道夫·祖可，等等， 以至於有人戲稱布達佩斯為“猶達佩斯”（Judapest）。

愛多士的父母是帕茲馬尼大學數學系的同學，婚後父親在一所中學裡任教。其時在奧匈二元君主政體統治了半個世紀以後，匈牙利的經濟和文化業已達到了輝煌的頂點。可是，就在他的母親住進醫院準備分娩的時候，一場可怕的猩紅熱席捲了布達佩斯。等到她帶著保羅從醫院回到家裡，他的兩個姐姐已經死去，傷心透頂的雙親便將他們全部的愛與精力傾注到這個灰眼睛的男孩身上。

當保羅剛滿三個月，奧匈帝國王儲斐迪南在薩拉熱窩遇刺身亡，引發了第一次世界大戰。奧匈帝國向塞爾維亞宣戰，緊接著俄國也捲了進來，向奧匈帝國宣戰。這場戰爭意味著匈牙利黃金時代的結束，老愛多士也應徵入伍，很快他就被俄軍俘虜，在西伯利亞度過了六年的鐵窗生活。

這一情景使我想起19世紀中葉，匈牙利詩人裴多斐也被俄軍所俘，七年後因患肺結核死於西伯利亞。所幸老愛多士從西伯利亞集中營活過來了，當他返回布達佩斯時，保羅已經是一個漂亮的小男孩，他的猶太式家庭教育也開始了。數學當然是核心課程，但外語也有著同等重要的地位。除了德語以外，父親把在西伯利亞為驅散嚴寒和飢餓學會的法語和英語也傳授給他。

可是，與幾乎所有的匈牙利人一樣，愛多士的英語帶有濃厚的口音，對這一點我本人記憶猶新，據說所有有關愛多士的紀錄片都對他的講話配上了字幕。作為一名中學教師，愛多士的父親所能教給兒子的自然是有關整數性質的數論知識，尤其那些被稱作是原子的素數。而愛多士本人也和大多數數學神童一樣，對素數產生了無法驅散的興趣，從歐幾里得《幾何原本》裡提到的素數有無窮多個直到包括孿生素數猜想在內的兩個相鄰素數之間的間隔。

童年的愛多士

與大多數神童一樣，愛多士的生活能力並不強，十一歲那年，他終於學會了自己繫鞋帶，第一次進了學校，並且一下子就上了六年級。儘管學校裡嚴格的課堂紀律使愛多士獨立的心智受到了壓抑，他的成績仍在班裡名列前茅，唯一沒有取得A的科目是繪畫。當時他最喜歡的課是歷史，並且終生保持了這一愛好。促使愛多士把興趣轉向數學的是一本叫《中學數學》的雜誌，那上面提供一些挑戰性的題目，並且把優勝者的照片刊登其上。

雜誌上的這些問題有許多是數論領域的，父親先期教育的效應得以顯示出來，小愛多士的照片很快被刊登出來，這份雜誌一直伴隨著他讀完中學。儘管當時反猶主義猖獗，“名額控制法”將猶太人的大學入學率限制在總數的6%，愛多士仍被布達佩斯大學錄取，在那裡他遇到了不少從前在雜誌上見到過的模糊面孔，愛多士的數學之舟開始揚帆了。

03 首次英倫之旅

1934年9月，二十一歲的保羅·愛多士登上了火車，第一次離開了匈牙利，這是他無數次數學之旅中的頭一回。此前幾個月，他剛剛在雙親的母校——帕茲馬尼大學獲得了博士學位，英國的曼徹斯特大學向他提供了一筆一百英鎊的獎學金。可是，愛多士並不能享受旅途的愉快，相反，他感到有些疲憊，甚至不知道如何在火車上對付一日三餐及其他瑣事。惟有數學技藝的交流給他帶來樂趣，路過瑞士他第一次敞開了大腦，在蘇黎世拜訪了一位數學家。

青年愛多士

10月1日早晨，愛多士永遠都記著這一天，他乘坐的火車抵達了劍橋。可是，來不及參觀這所舉世聞名的大學城，他又一次敞開了大腦，與兩位前來迎接的數學同行來到三一學院作長時間的學術探討。之後，他們在一起共進午餐，同行們這才發現，愛多士還從來不會在麵包片上塗抹黃油。

在對劍橋大學做了短促的訪問以後，愛多士繼續坐火車北上爾後西行來到曼徹斯特。這座如今以足球聞名於世的城市，那時還只獲得過兩次甲級聯賽冠軍和一次足總盃冠軍，並且這個成績也是在20世紀初取得的。可是，曼徹斯特大學的數學研究中心卻早已名聲在外，由於歐洲大陸日漸上升的緊張氣氛，它吸引了眾多的外國訪問者前來講學或合作研究。

事實上，當時歐洲大陸（英國人稱之為歐洲）的知識分子還沒有想要移民到大西洋彼岸的美國，曼大數學系主任莫德爾教授本人就是個美國人，他中學畢業後好不容易才湊足路費來到英倫求學，經過刻苦的奮鬥成為知名的數論學家。因為以莫德爾命名的一個猜想的解決，最終頒發了一枚菲爾茨獎。事實上，在費爾馬大定理的證明得到完全確認之前，前一項工作一般被認為是上個世紀數論領域所取得的最重要的成就。

在曼徹斯特逗留期間，愛多士和一位德國數學家以及莫德爾的中國學生柯召合作撰寫過一篇組合理論方面的論文，其中包含了著名的愛多士-柯-拉多定理。可是，由於當時的數學界對組合理論缺乏興趣，這項工作遲至1961年才得以發表，立時成為一篇經典文獻。柯召先生是我的浙江同鄉，在他八十歲華誕的宴會上，小輩的我曾與他在成都用道地的台州方言做過交談。

柯召在曼徹斯特取得博士學位後返回祖國，一直在四川大學和重慶大學執教，愛多士第一次來中國正是應他的邀請，他和華羅庚作為僅有的兩位數論學家同時當選為中國科學院的首批學部委員。遺憾的是，柯召回國後由於受到環境等因素的制約，未能再現當年的輝煌，但他培養出了一批優秀的數學人才，在中國的大西南開闢了一片數學新天地。

在英倫的四年期間，愛多士並不滿足於待在一座城市。事實上，他幾乎沒有連續一個星期在同一張床上睡過覺，總是敞開著大腦，穿梭於曼徹斯特、劍橋、布里斯托爾、倫敦或其他大學城之間。那個時候，青年愛多士的工作已顯露出獨特的個性：遊戲、靈敏和原創。例如，他猜想，一個正方形可以分割成若干個大小不等的正方形，直到四十多年以後，才有人證明了這些小正方形的最少個數為21。

第二次世界大戰期間，有一位叫塔特的英國青年就因為研究愛多士的這個猜想取得的成績而被推薦去參與一項秘密的軍事計劃，結果他們找對了人，塔特成功地破譯了德國潛水艇艇長們發出的電碼，使得盟軍順利截獲和搗毀了敵方的物資供應船隻，從而大大縮短了戰爭的程序，這大概是英國邀請愛多士訪問獲得的最好報償。

04 彼岸的普林斯頓

1929年10月24日，紐約股票出現猛跌的那個黑色星期一，導致了長達十年之久的全球經濟大恐慌，直到第二次世界大戰爆發後，在戰爭的刺激下才有所恢復。就在那個黑色星期一到來之前一個多月，美國第四大零售連鎖店班伯格公司（Bamberger）的老闆，憑著敏銳的洞察力，把公司轉讓了出去。此後，或許是出於一種內疚的心理，班伯格兄妹拜訪了著名的教育家弗萊克斯納醫生，後者建議他們放棄捐獻一座醫學院的衝動。

如同柏拉圖學園那樣，弗萊克斯納設想了一個知識分子的伊甸園，“一個安全的避風港，科學家和學者在這裡把世界和它的種種現象作為他們的實驗物件，而他們不會被強行卷入近期的旋渦中”。所謂“近期旋渦”指的是納粹德國和法西斯主義引發的那場災難，其時正失控地在世界範圍內蔓延。

這就是普林斯頓高等研究院的來歷，愛因斯坦是被邀請來的首席教授。所有終身教授都被免除了作為人的種種煩惱，包括交水電費在內的家務活計，基金申請書之類的各種表格的填寫，甚至發表論文或向上司彙報工作，等等。換句話說，一旦進入了研究院，你就得到了完全的信任，可以依據自己的興趣做任何研究。

愛多士致函友人

事實上，相當一部分時間，數學家和理論物理學家們在修剪得整整齊齊的草坪上散步，在公共客廳裡喝咖啡閒聊或沒完沒了地下棋。儘管如此，他們卻做出了驚人的貢獻，常常是一生最好的工作，比如英國數學家安德魯·懷爾斯，七年沒有發表一篇論文，最後完成的是費爾馬大定理的證明。這些現象表明，弗萊克斯納醫生對人類文明的貢獻並不亞於另一位醫生——奧地利精神分析學家佛洛依德。

1938年夏天，愛多士從英國回到匈牙利過暑假。9月初，剛剛吞併奧地利的希特勒要求合併蘇臺德地區，這是捷克斯洛伐克講德語的一個地區。愛多士被震驚了，就在這個時候，普林斯頓向他伸出了橄欖枝，邀請他做訪問學者。二十四歲的愛多士與親戚朋友（這些人中相當一部分後來死於戰爭）匆匆告別，乘上火車，向南繞道潘諾尼亞平原、義大利和瑞士來到巴黎，最後抵達倫敦。月底，愛多士乘坐“瑪麗女王”號前往紐約，轉道新澤西，邁出了世界之旅的堅實一步。

晚年的愛多士認為，他初到普林斯頓那年是他學術生涯最為成功的一年。例如，他證明了任意多個連續整數之積不會是一個完全平方數，這個結論再次使人相信數字結構的有序性。又如，他和波蘭人卡茨得到了愛多士-卡茨定理，說的是小於N的整數所含的不同素因子個數與一枚硬幣拋N次正面向上的次數遵守同樣的曲線分佈，這個結論表明整數規則的表面背後實際上隱藏著混亂。

可是，愛多士喜歡並擅長的那類數學問題在當時並不受重視，原因是它們和近期數學的發展趨勢沒有關係。而在愛多士看來，為人們所熟知的數學語言裡仍然蘊涵著無窮的寶藏，那為什麼不去繼續開採它呢？何況那些問題是數學中最美麗的部分。正如他的一位合作者所分析的，“愛多士的想象力和技巧是如此的深刻，不用走出太遠，就能開闢出一條永不幹涸的溪流。而其他人由於想象力不夠深技巧不夠精，只好透過更多的數學，才能產生想法和新的定理。”無論如何，年輕的愛多士沒有被普林斯頓續聘，這讓他憤憤不平。

當伊甸園的大門在愛多士身後關上時，他不得不又開始了新的數學之旅，從那以後，他便成了真正的遊子。但愛多士心胸開闊，戰後仍經常光臨普林斯頓，正是在那裡他憑藉初等方法證明了古老的素數定理。值得一提的是，另一位獨立證明這一定理的挪威人賽爾貝格卻主要憑此結果獲得了菲爾茨獎。那是在1950年，直到三十四年後，愛多士才得到安慰，他與陳省身一起獲得象徵終身成就的沃爾夫獎。賽爾貝格已於2007年夏天去世，此前一年，他在接受兩位挪威數學家採訪時，就他和愛多士當年的工作做了詳細的介紹和比較。

05 數學家的唐璜

有一次，愛因斯坦的助手、痴迷於數學的斯特勞斯談到他的擔憂，“一個人可能會在某些問題上耗盡精力，卻始終不能發現關鍵所在。”愛因斯坦自己也認為，他之所以沒有成為數學家是因為這個領域充滿了漂亮而困難的問題。愛多士卻義無返顧地深入到愛因斯坦所懼怕的誘惑之中，而他的確也從未陷入不切要害的泥潭之中。他們分別使我想起17世紀的兩位天才人物，費爾馬和牛頓，前者全身心地投入到純粹的數論問題中，後者發明了微積分、三大運動定律和萬有引力定律而成為歷史上最有影響力的科學家。

雖然如此，斯特勞斯認為，“在探索真理的征途中，唐璜式的愛多士和加拉哈式的愛因斯坦式各有用武之地。”（唐璜是藝術家虛構的浪蕩子，加拉哈則是傳說中的騎士。）遺憾的是，在我解決了最初那類均值估計問題以後，一位前輩學人因循傳統的觀念，告訴我愛多士的那類工作都是小問題，這一友善的忠告使我沒有堅定地沿著自己擅長的方向走下去。直到費爾馬大定理被證明以後，包括王元先生這樣的有識之士才認識到，數論學家應該回到愛多士傾心的那種原汁原味的數學問題上來。

愛多士是一位苦行僧，他放棄了塵世的享樂和物質追求而去過一種殫盡竭慮卻又不被人們理解的生活。他和帕斯卡爾、牛頓一樣，終生沒有結婚，甚至沒有談過戀愛，但那不是數學的緣故，而可能是先天的體格原因。“我無法經受性愛的歡樂”，即使最輕微的身體接觸也會讓他敬而遠之，當陌生人跟他握手時，他最多也就是用其柔軟的手與對方擦一下，即便那樣他也會感到不舒服，會一整天強迫自己洗手。並不是沒有女人喜歡他，而是關鍵時刻他都會逃之夭夭。

可是，究竟是什麼使得數學讓愛多士如此陶醉而又如此憔悴呢？除了前面提到的遊戲、靈敏和原創性以外，數學無時不在的挑戰性像鴉片一樣刺激著愛多士的神經，他的大腦始終敞開著，還有一對機警的耳朵，素數定理的初等證明和哥尼斯堡七橋問題的推廣這兩項工作就是道聽途說和電話機邊被他捕捉到的。

伯特蘭·羅素，一位有過四次婚姻，一生留下許多風流韻事的數學家兼哲學家（他的秘密情人中包括詩人艾略特的第一個妻子），部分是由於他的文筆優美、雅俗共賞而意外地成為諾貝爾文學獎得主，年輕時也非常迷戀數的世界，並寫詩讚嘆，“我曾渴望讀懂人們的心窩。/我曾渴望知道星星為什麼閃爍。/我曾試圖瞭解畢達哥拉斯的神力，/有了它，數字不再搖曳不定。”

羅素出身貴族，其祖父兩度出任英國首相，三歲的時候父母雙亡，他在祖母的嚴格管教下長大，接受了清教徒式的訓練，少年時代一度萌生了自殺的念頭，正是數學使他擺脫了青春期的孤獨和絕望。雖然後來轉向了哲學研究，但終其一生，羅素從數學中獲益匪淺，他的哲學名著的標題就叫《數學原理》（與懷特海合作），該書對邏輯實證主義的觀點進行了新的解釋，同時為哲學研究提出了新目標和新問題。

與愛多士同時代的匈牙利數學家馮·諾伊曼也是一位活力四射的人物。他是通才的樣板，在數理邏輯、集合論、連續群、遍歷性理論、量子力學和運算元理論方面取得了卓越的成就，同時，他又是現代電子計算機和博弈論之父，在物理學和經濟學領域有著巨大的影響力。連愛多士也不得不承認，馮·諾伊曼的反應速度和理解力是非同尋常的。他不僅思維敏捷，而且穿著時髦、風趣迷人，喜歡跑車和女人，愛寫打油詩、講黃色故事，對噪音、美食、酒和金錢一概不排斥。

我在這裡舉羅素和馮·諾伊曼的例子無非是想說明，數學家的個性因人而異，與數學自身的特點並無必然的關聯。只不過，對馮·諾伊曼那樣的數學家來說，他的思想可能源自於經驗，他的生活也大體如此；而對愛多士來說卻不是這樣，至少在我看來，他的數學直接源自於那顆無時無刻不敞開著的腦袋。

愛多士傳記之一《熱愛數字的人》

1996年秋天，愛多士在華沙講學時突然死於心臟病，在那顆神奇的腦袋停止工作以後，數學的一個巨大的源頭被堵塞了，人類或許要等上一個千年，才有可能重新找回[2]。

2004年2月，初稿於杭州

2008年8月，定稿於劍橋

作者簡介

蔡天新

浙江大學數學學院教授、博士生導師、求是特聘學者，近作有《小回憶》增訂版、《26城記》、《經典數論的現代導引》（即出），主編《地鐵之詩》《高鐵之詩》。

[1]阿爾弗雷德·萊利（1921-1970），匈牙利數學家，專長數論等多個領域，匈牙利科學院數學研究所以他命名。萊利與愛多士合寫過三十二篇論文，在愛多士數1中排列第四。

[2]愛多士曾有過《數學天書》的設想，每當他發現一個漂亮的證明，會讚歎它來自“天書”。如今不僅Proofs from the Book已出版，中譯本《天書中的數學證明》也有了好幾個版本。