有人天真的人認為我們的世界在很多領域經常發生極端事件，在一些領域中也許存在這樣特別極端的例子，但是，其實很大一部分領域，極端現象都非常少，就像世界上沒有身高15米的人一樣，因為我們的世界大部分事物服從正態分佈。

1. 正態分佈的三個數學特性

“正態分佈”這個詞，聽上去挺複雜，但它的英文叫normal distribution，直接翻譯過來就是“正常的分佈”“一般的分佈”，意思是其它分佈都是特殊的，只有正態分佈是一般的、正常的。咱們國家臺灣的教科書通常叫它“常態分佈”，從名字上，我們也能感受到它的重要性。

有趣的是，正態分佈不僅非常重要，而且還特別簡單。說起正態分佈曲線，就是一條對稱的倒鐘形曲線，中間很高，兩邊下降，像個鼓起的小山。圖片就長這樣：

在正態分佈的曲線圖裡，橫座標代表隨機變量的取值範圍，越往右，隨機變量的值就越大。縱座標，則代表概率的大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。因為這條曲線是左右對稱的，所以中間的最高點，就代表平均值出現的概率最大，數據最多，而兩邊陡峭下降，就意味著越靠近平均值，數據越多，越遠離平均值，數據就越少。正態分佈能給人充分的掌控感，每個案例相差都不會很大，通常翻不了天。

平均值和標準差就都可以用平時的流量數據統計出來。有了平均值和標準差你就可以大致估算各種事件發生的概率：95%的事情都發生在兩個標準差之內，99.7% 的事情發生在三個標準差之內。有個極客說要找個美貌程度在兩個標準差之外的女朋友，那就意味著她要比 97.5%的人都漂亮。就像這個圖：

從上面的例子我們可以知道正態分佈的三個特性：

一是均值就是期望。也就是正態分佈曲線中間最高點的橫座標，不僅代表隨機變量的平均值，而且還等於它的數學期望，平均值也就代表隨機事件的價值。

二是極端值很少。這有兩層含義：一是極端值出現的概率很低，二是極端值對均值的影響很小。也因此，正態分佈是穩定的系統。

性質三：標準差決定胖瘦。前面講過，標準差就是方差的平方根，也能用來描述隨機變量的波動情況。在正態分佈中，標準差越大，數據的波動越劇烈，鐘形曲線就越矮胖，標準差越小，數據越集中，鐘形曲線就越高瘦。

2.決定正態分佈的是中心極限定理

並不是所有隨機事件都滿足正態分佈，想要學會判斷什麼樣的事件滿足正態分佈，需要了解“中心極限定理”。中心極限定理說，如果一個事件滿足下面這些條件，它的分佈就是正態分佈。

①　它是由多個（至少 20 個）隨機變量相加的結果；

②　 這眾多的隨機變量是互相“獨立”的，且每個隨機變量的方差都只有有限大；

中心極限定理的表達方式有好幾種，但核心的數學性質只有一條——大量獨立的隨機變量相加，無論各個隨機變量的分佈是怎樣的，它們相加的結果必定會趨向於正態分佈。換句話說，正態分佈是必然產生的。而這個證明源於嚴格的數學推導，是一定正確的。

3.正態分佈是所有分佈的參照系和世界的宿命

正態分佈就像一個標準、一個參照系，服從正態分佈，可以直接用它分析，不服從正態分佈，也可以為人類指明繼續探索的方向。如果一個這個隨機事件不服從正態分佈，那它就一定不滿足正態分佈背後的中心極限定理。而不滿足中心極限定理，我們就能知道，要麼是它的影響因素不夠多，要麼是各種影響因素不相互獨立，要麼是某種影響因素的影響力太大等，就給我們繼續探索指出了思路。

中心極限定理告訴我們，正態分佈普遍存在。比如，影響人身高的因素很多，營養、遺傳、環境、族裔、性別等都有影響，這些因素的綜合效果就是人的身高服從正態分佈。

所有的分佈，不是正態分佈，就是在變成正態分佈的路上。信息論領域發現了“熵最大原理”，就是說，在一個孤立系統中，熵總是在不斷增大。正態分佈就是所有已知均值和方差的分佈中，信息熵最大的一種分佈。

如果熵不斷增長是孤立系統確定的演化方向，那熵的最大化，所以就是孤立系統演化的必然結果。最終任何分佈疊加最終都會形成正態分佈，所以無論是對數分佈還是冪律分佈，無論是指數分佈還是其他任何分佈，只要自身不斷演化，不斷自己疊加自己，最終也一樣會變成正態分佈，好像冥冥中自有定數。

參考資料：

得到app《劉嘉·概率論22講》《萬維鋼·精英日課3》。