古希臘三大幾何難題，數千年來一直吸引著無數的人們為之痴迷。

這三大難題都要求僅用尺規作圖完成，分別是：

1、 倍立方體：作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍。

2、 化圓為方：作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。

3、 三等分角：分一個給定的任意角為三個相等的部分。

他們的邏輯是：你說不可能，可是我已經做到了，你若不相信，請指出我的錯誤，我甚至可以懸賞挑毛病。這種邏輯顯然是不正確的，比如永動機已經被證明是不可能的，而某人宣稱自己造出來了，別人沒有必要幫他檢查問題所在，他自己首先應該去證明能量守恆原理是錯誤的。

回到三大幾何難題，要弄清楚為什麼不可能，首先得明白尺規作圖的本質。尺規作圖能做什麼呢？人們發現，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

1、透過兩個已知點可作一直線。

2、已知圓心和半徑可作一個圓。

3、若兩已知直線相交，可求其交點。

4、若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。

5、若兩已知圓相交，可求其交點。

這5種方法，不嚴謹地、通俗一點講，從解析幾何的角度看，前面2種相當於在建立直線和圓的方程，後面3種相當於求直線與圓的各種組合的交點座標。因此，尺規作圖對應的任何幾何問題，都可以透過解析幾何轉化為代數問題，所以，一直到笛卡爾建立解析幾何體系後，人們才逐漸證明了三大幾何難題是無解的。

再具體一點，由於直線方程是一次的，圓的方程是二次的，所以聯立方程求解得到的根，都是由有理數透過有限次加、減、乘、除和開方得到的。換言之，任何能夠用有理數的有限次加減乘除和開方得到的實數，都可以用尺規作圖做出來；同時，尺規作圖也僅僅只能做這些事。這就意味著，凡是不能按照上述方法得到的實數，採用尺規作圖是無解的。

順便提一句，目前數學上已經證明了，只使用一隻圓規，就可以做出任何尺規作圖能夠做出的點，但是需要更加複雜的步驟。並且，這隻圓規的角度甚至可以是固定不可調整的。

現在我們可以來簡單探討三大幾何難題為什麼無解了。

1、 倍立方體：若立方體邊長為1，其體積自然也是1，體積的2倍就是2，所以這個問題的本質，相當於已知一根長度為1的線段，如何用尺規作圖作出長度為2開3次方的線段？1637年，笛卡爾提出了一個命題：非立方有理數的立方根不能簡化為有限次的開平方，這意味著，倍立方體問題無法透過尺規作圖解決。法國數學家Wantzel在1837年給出了倍立方體問題無解的嚴格證明。

值得一提的是，二千多年來，經過許多數學家相繼研究，人們發現只要不限於尺規作圖，運用特殊曲線(如圓錐曲線、蚌線、蔓葉線等)，或是運用其它作圖工具，倍立方體問題是不難解決的。

2、 化圓為方：我們知道，若圓的半徑為1，則其面積為π，對應正方形的邊長為根號π，本質上相當於作出長度為π的線段。然而，能夠用尺規作出的數都有對應的最小多項式。也就是說，能夠用尺規作出的數，必須是某個有理係數多項式方程的根。1882年，林德曼等人證明了對於π來說，這樣的多項式不存在。這就證明了，化圓為方問題採用尺規作圖是無解的。數學家將這樣的數稱為超越數，而將有對應的多項式的數稱為代數數。

有趣的是，要證明一個數是超越數十分困難，目前，圓周率π和自然對數的底e都已被證明是超越數。同時，若放寬條件，這個問題可以透過特殊曲線來完成，例如西皮阿斯割圓曲線，阿基米德螺線等。

3、三等分角：根據三角函式公式，我們不難得出

因此，若將α/3看作未知數，把cosα看作已知常數，這是一個三次方程，它的根不可能用二次根式來表達。所以，三等分角問題採用尺規作圖同樣是無解的。

與倍立方體問題類似，如果我們放寬條件，例如允許使用帶刻度的直尺，則可以將任意角三等分。

古希臘三大幾何難題，是數學史上璀璨的明珠，很難找到與這三個問題一樣具有經久不衰魅力的例子了。尺規作圖看似是一個純幾何問題，最終卻是用代數的方法來解決的，這正是數形結合的一個完美典範。