建築學中的幾何鼻祖——矩形

幾何學的起源十分久遠，而促進幾何學產生的直接原因便是古人社會實踐中的土地測量及天文活動。在古埃及時期（公元前4000年），由於尼羅河水氾濫，每次氾濫後都要重新丈量土地，古人便稱之為“測地術”。由此便產生了關於幾何形體的概念及其度量方面的知識。如今的“幾何”一詞源於希臘語，本意就是指測量術。明末中國學者徐光啟譯為“幾何”並沿用至今。

《萬物的真是原理》中關於幾何學的插圖

自然界中常見的簡單幾何形狀是太陽、月亮、植物、果實等圓、球、圓柱形狀，幾乎找不到矩形和立方體的幾何形狀。而在建築學中矩形可以不留縫隙地四方連續延展或者劃分，而立方體可以平穩地堆壘架設。

自古以來，矩形就是建築的基本樣式，因為每一個建築都有長、寬和高。以中國古建築為例，一座傳統的長方形建築，在平面上有兩種尺度，即寬與深。其中長邊為寬，短邊為深。如一棟三間北房，它的東西方向為寬，南北方向為深。

長方形單體建築結構示意圖

在以矩形為主要建築形態的建築中，都能體現出對美學及力學因素的追求。矩形和很多圖形一樣，都由單邊拼成，這樣做的好處便是利於劃分建築格局，不容易造成建築死角，視覺效果好。另外，矩形建築牆都在梁下面，穩定的框架結構，明確的受力。在內部空間的延展性方面，矩形房間有利於提高空間利用率，讓內部空間比較容易佈置，也更能顯出佈局的合理性和節約性。

建築學中的拱形始祖——疊澀

芝加哥學派建築師路易斯·沙利文曾經說過：“拱是最富情緒的構件。它充滿可能性及展望，並富有創造力。”著名媒體人安迪魯尼更是將拱形稱之為欲掉落的曲線之美。

古羅馬拜占庭的帆供

“拱”結構建築作為應用較廣的建築結構之一，聞名中外的例子數不勝數。國外有柬埔寨吳哥窟的疊澀拱或假拱結構、古羅馬拜占庭的帆拱建築（也稱作割球殼）、伊斯坦布林的聖索菲亞大教堂以及古羅馬時期的半圓拱、筒拱、十字拱、肋拱等各類拱形結構。而在中國的歷史長河中，更有世界上現存最早、儲存最好的巨大石拱橋——趙州安濟的趙州橋，除此以外，北京宛平的盧溝橋、江蘇蘇州城南的寶帶橋、江蘇無錫衛東雙曲拱橋以及世界第一拱橋——重慶朝天門長江大橋。這些風格迥異的拱形建築共同組成了豐富多彩的建築美學。

而在拱形建築中，傑出的代表便是哥特式建築，它整體風格高聳削瘦，且帶尖拱，表現了神秘、哀婉、崇高的強烈情感。而尖拱的最大特點是打破了半圓拱結構的高度與跨度比例為F/L=1/2的唯一關係，而是將F/L=n調整為一種可變數的動態關係。也就是說半圓拱必須是n=1/2，而尖拱的n則可以是任意的數值。正是由於尖拱的n可以為任意的數值，且在實際建造中一般情況下n都要大於等於1/2，所以這種獨特的靈活性結構才成就了哥特式建築風格的偉大復興。

維也納哥特式沃蒂夫教堂

疊澀拱結構在人類早期的建築建造中使用的較為普及。磚石、木材是建築建造過程中常常使用的材料，而疊澀便是古人將這些建造材料從兩側四周層層堆疊外挑、縮排跨出形成拱形的一種磚石、木結構的建築砌法。

疊澀拱技術在實際施工時，先要搭建臨時的木製支撐用的拱形模框，而後使楔形磚石木等建材夾構在一起，形成建造所需要的拱形空間，最後待定型後再進行破拆移除。這種方法可以大大提高建造的使用跨度和維度，不光是可以建造各種圍合和大跨度的建築，甚至還發展成可以建造多種交叉的拱形穹頂建築和橋樑，極大地豐富了當時的建築形態，滿足了人們的不同使用需求。

最為典型的疊澀拱技術建築，便是位於愛爾蘭東北部的紐格萊奇史前墓，至今已有超過5000年曆史。紐格萊墓室有三個凹室的空間，三個凹室之間用大約18米的通道相連線，整個墓室空間由97塊巨石作為基礎來支撐，墓室的頂部空間則是覆蓋了大約有20萬噸重的石材，用來支撐以密封完整的疊澀拱頂技術進行搭建的墓室屋頂。

愛爾蘭妞格萊奇史的墓

建築學中的理性秩序——數列

在人類的建築發展歷史上，樓梯作用於空間及空間形式關係的意義是非常關鍵的。作為建築構件的一個重要環節，理性的秩序是樓梯中最顯著的象徵因素，在建築建造過程中起到了至關重要的作用。

樓梯，是數列在建築中最普遍的運用。假如樓房的每一個樓層（H）都為3.6米，每一層都有20級（即n=20），第一級與地面的高度為h1（即h1=160毫米），第二級與地面的高度為h2（即h2=320毫米）。第20級與地面的高度為h20（即h20=3600毫米），從h1到h20組成了n=20，公差=160毫米的等差數列，而踏步高度=公差=160毫米（即每一級的踏步高度都相等）。

另外，根據人機工程學原理分析，每個人的腳長度在220～260毫米之間，為了讓人們走的更加舒適和安全，樓梯踏步寬度設計為290毫米是最合適的。而向上爬樓梯時，人們是要將腳抬高走路的，對於正常人來說，樓梯的坡度控制在30度左右是最適宜的，並且抬腳踏上高度為160毫米的樓梯不會感到吃力。同樣的原理，樓梯的橫向寬度也是要考慮到人們的肩寬尺寸距離。正常人的肩寬為400毫米左右，那麼樓梯的雙向寬度設定為1200毫米就可避免互相碰撞。而樓梯上樓時候的轉角處（休息平臺）則需要更加寬敞的空間，這裡的寬度一般是樓梯寬度的1.1～1.2倍，相當於1400毫米。這些對於建築構件樓梯的搭建邏輯思考而得出來的結論，其實就是建築設計中數學計算的感知與運用的結果。

數列在建築中最普遍的運用——樓梯

建築學中的力量源泉——對稱

古希臘哲學家畢達哥拉斯講過：“美的線型和其他一切美的形體，都必須有對稱形式”。“對稱”被視為“和諧與美”的定義。它所表現出來的形式美法則是對於事物的等量等形的一種狀態。對稱利用直線將空間中心軸兩邊或者四邊分為相等的樣式，它們之間無論是距離還是質量都等同，都是基於一個建築結構核心的佈置，充分表達出建築的力學傳遞與支撐原理的相互關係，這就是建築與數學力學的藝術表現力的重要源泉。

“對稱”之美是古今中外教堂、廟宇、宮殿、民居等各種建築形式遵從的基本要求。在建築中也常用對稱及高度來表示宗教意涵或是政治權力，體現出無所替代的建築與數學交織的美感。

對稱建築

在中國傳統建築中，對稱的屋樑、對稱的皇城以及對稱的四合院都運用的非常普及。南北中軸、東西對稱儼然已經成為中國自古以來在建築地位構建思想中的精神尊崇，形成了四面圍合的中正之美。這之間的建造佈局隱喻著“尊卑有序，內外有別”的“禮”教文化的傳統思想傳承，影響著國人周到、平和、太平的性格特徵。

同時，“對稱”也是人們嚮往大自然生活的一種期盼和形式上的行為表現。在自然界中，無論是植物、動物，還是山水、天地都結成對稱格局，這就是對於大自然的最有機的仿生理念思想，在這樣的模仿中，人們得以與自然相得益彰、共生共存的感受到了生理和精神上的愉悅和陶冶。

對稱的北京故宮角樓

建築和數學都是不斷髮展的領域。人們在研究利用過去思想理論的同時也在創造新的思想理論。隨著時代的發展，建築結構形態發生了巨大的變化，但相同的是從古至今的建築中所飽含的數學元素，讓時代建築散發出絢麗的藝術光輝。未來城市的發展，不僅僅依靠建築藝術的裝點，更離不開數學之美的點綴。