在愛因斯坦廣義相對論（他的引力理論）的原始公式中，基本場是度規張量g，這個理論在時空中是協變的。協方差由“物理定律在任意座標變換下的形式的不變性”組成。這個想法是，由於座標只是人造的標籤，物理定律不應該取決於它們選擇的方式。

在廣義相對論中，這種運動（一個系統動力學的一個屬性，從這個屬性可以匯出它的運動方程）被稱為愛因斯坦-希爾伯特運動：

方程1：愛因斯坦-希爾伯特作用

其中g = det（g），R（g）是標量曲率，這是一個測量曲線流形中小球的體積與歐幾里得空間中小球體積的差別的方法，G是牛頓常數，Λ是宇宙常數或真空能。注意，如果時空是有界的，S應該包含一個邊界積分。為了簡單起見，讓我們假設物質不存在。

愛因斯坦和希爾伯特。

要求這個作用力相對於度規的變化為零，我們得到愛因斯坦的無源場方程：

方程2：無物質條件下的愛因斯坦場方程。

R是裡奇曲率張量。

用粒子力學作類比可能有助於闡明這些觀點。在拉格朗日力學中，我們給出一個拉格朗日L，我們構造一個作用泛函S，透過對S求極值得到運動方程：

方程3：給定一個拉格朗日L，對作用函式S求極值，得到運動方程。圖1：質點選擇使運動達到極值的路徑。本文的目的

這篇文章的目的是說明時間編碼在空間的幾何形狀中。這個程式遵循了拜爾萊因、夏普和惠勒在1962年發表的論文（我們稱這篇論文為BSW）。用米斯納、索恩和惠勒的著名著作《萬有引力》中的話來說，“三維幾何是關於時間的資訊載體”。

發生這種情況的原因如下。將方程3中的拉格朗日方法推廣到廣義相對論，我們將得到：

具有內在幾何結構的初始三維表面（下面方程4的第一項）。第二個三維曲面也具有相關的內在幾何（方程4的第二項）。方程4：上述兩個三維曲面的本徵幾何和四維時空的幾何。

目標是找到一個四維幾何（方程4的第三項），滿足愛因斯坦方程（方程2），並簡化為三面σ和σ'上的三維幾何。為此，他們發展了一種變分原理(所謂的“壓縮薄夾層變分原理”)，它只依賴於兩個三表面的內在性質。根據他們的程式，我們：

找出兩個三維表面之間的時間間隔。找出這些表面在時空中的位置。

在這樣的四維時空中，每個三維幾何都僅基於兩個固有幾何而被很好地指定。

ADM形式主義的鳥瞰圖

在ADM形式主義中，廣義相對論被表述為一個動力學理論，以其作者Ricard Arnowitt, Stanley Deser和Charles Misner命名。

圖2：Richard Arnowitt, Stanley Deser和Charles Misner。

廣義相對論的動力學被稱為幾何學動力學。正如我們將在本節中看到的，廣義相對論中的“變化的東西”是嵌入四維時空中的三維表面內的距離（而不是四維時空距離）。

圖3：幾何動力學的超空間。

在廣義相對論的這個動態版本中，位形空間被稱為超空間。

ADM結構如下圖所示：

圖4：ADM結構。嵌入四維時空中的兩個三維表面（三幾何圖形）。

位移向量N，如圖所示，是表面隨時間變化的變形的度量。兩表面之間的適當距離是dτ = N₀ dt ，其中N₀ 是失效函式。

使用圖2，我們可以用移位和延時來重寫ds²：

方程5：P₁與P₄之間的距離。

其中第二個等式後的張量g是三個曲面的度規。嵌入在四維時空中的三維超曲面的外在曲率有以下形式：

方程6：超曲面的外在曲率。

其中符號“|”表示曲面內部的內在空間度量的協變微分。

圖5：外部曲率。

裡奇標量R可以用外在曲率K表示，它的軌跡是K。表示本徵曲率：

方程7：重新命名本徵曲率。

裡奇標量可以寫成：

方程8：用外在曲率、它的軌跡和三個曲率表示的裡奇標量。

則拉格朗日密度為：

方程9：引力拉格朗日密度以三曲率、外在曲率及其軌跡表示。

拉格朗日密度不依賴於位移和位移的時間導數。

方程10。

偏差和位移在任何時候都是零，因此不是動態變數，因此,我們有：

方程11：哈密頓函式H的條件。

由H表示式可知：

方程12：使用ADM變數的哈密頓量。

我們定義：

方程13：方程12中第二個等式後物件的定義。

第一個方程中的張量G由：

被稱為惠勒-德維特度規。

最後，利用公式11，我們得到了一個有約束的哈密頓動力學系統的方程，它是對愛因斯坦場方程的重新表述，它描述了三個度量的演化：

方程14：描述三度量演化的哈密頓動力學系統的約束方程。

20世紀最重要的物理學家之一保羅·狄拉克，以及美國理論物理學家約翰·惠勒都被哈密頓公式的簡單性所折服，他質疑時空的狀態。

狄拉克宣稱：

這個結果讓我開始懷疑四維物理條件到底有多基本。幾十年前，人們似乎很肯定必須把整個物理學用四維形式表達出來。但現在看來，四維對稱似乎並不是那麼重要，因為人們一旦脫離了自然，對自然的描述有時就變得簡單化了。

惠勒寫道：

這裡的動態物體不是時空，而是空間。空間的幾何形態隨時間而變化。但變化的是空間，三維空間。在粒子動力學中，動力學的物件不是x和t，而是隻有x…答案很簡單。愛因斯坦的幾何學動力學處理的是幾何學的動力學，是三維幾何，而不是四維幾何。

圖6：保羅·狄拉克和約翰·惠勒。

利用幾何動力學和方程9得到的作用，可以透過以下公式確定彎曲空空間演化的三幾何時間演化：

初始表面的幾何形狀初始曲面K的外曲率，描述了它在時空中的嵌入，將用愛因斯坦方程構造（見圖3）。

但是，h和K不能單獨指定。它們必須服從Foures和Lichnerowicz的初值方程。

拜爾林，夏普和惠勒程式

現在我將描述BSW中的步驟。

步驟1

首先，選擇兩個非常相似（幾乎完全相同）的三維指標:

方程15：兩個幾乎相同的三維度量。

兩個表面之間的時間間隔是有限的，為了方便起見，取δx⁰=1。

圖7：兩個三維表面的說明。

步驟2

下一步是用尚未確定的四幾何圖形填充表面之間的區域。用座標表示兩點之間的距離：

方程16：兩個點的座標，每個面上各一個點。

是由：

方程17：式(16)中兩點間的線元

這裡η₀是失效函。

步驟3

四幾何圖形是以下BSW作用的極值，並以兩個三面的幾何圖形為邊界條件，滿足愛因斯坦場方程。

作用積分為：

方程18：作用積分。

在ADM語言中，它變成：

方程19：用ADM形式表示的作用積分。

π是幾何動力場動量共軛到幾何動力場座標³g，定義為：

方程20：ADM場動量π。

豎條表示三面內的協變導數。

步驟4

現在假設這三個幾何圖形幾乎是相同的。然後,我們有：

方程21：三個幾何形狀幾乎相同時的體積元。

用以下三度規在垂直於曲面方向上的非歸一化時間導數來代替外在曲率：

方程22：三度規在垂直於曲面方向上的非歸一化時間導數。

使用方程21，作用變成：

方程23：三個幾何圖形幾乎相同時的作用。

步驟5

現在求關於η₀的極值，得到：

方程24：兩個三面之間的固有時分離。

這是兩個三面之間的固有時間間隔。

步驟6

注意，η依賴於k, k依賴於位移向量ηᵢ(x¹, x², x³)，為了得到ηᵢ(x¹, x², x³)，把方程22帶入到方程23，結果是：

方程25：只改變位移向量分量的運動。

η₀被捨棄。然後改變動作I只與分量有關。

步驟7

下一步是求解步驟6中ηᵢ的方程，並將其代入方程22和方程24。因此，根據兩個三面的固有幾何，找到時間間隔η₀。

步驟8

外部曲率K由式22得到。可以證明，使用愛因斯坦場方程與初始的三度規和外在曲率K一起確定表面嵌入的時空的度規。因此，BSW展示瞭如何找到兩個表面之間的時間間隔，以及它們在給定的兩個三維幾何圖形中的時空位置。