2. 2 實驗原理 　　 　　斯特恩那時像許多物理學家一樣，不相信存在空間量子化，他和勞厄（Max Von Laue）曾開玩笑說：“如果玻爾的無稽之談被證明是正確的，我們就不再做物理”[4]. 但是愛因斯坦認為索末菲和玻爾的“將量子化條件用到玻爾的準行星電子軌道模型時，其在外磁場中應該只有某些確定的離散空間取向”觀點應該有一定的道理[4]. 斯特恩及時地抓住了這個契點，“只要透過一個簡單的實驗就可以判斷量子理論或者經典理論是對的”[4],既然原子在經過不均勻磁場後會發生偏轉，就可以根據原子偏轉軌跡在經典理論和量子理論兩者之間做出選擇。按照經典理論，斯特恩認為，原子在經過磁場偏轉後取向連續無規則，則最後打在聚光板P 屏上的是一片連續的黑跡。而根據玻爾- 索末菲的空間量子化解釋，原子在外加電磁場的作用下，其空間軌道的取向是確定的某些方向，即在外磁場作用下原子會有選擇性地偏轉，則實驗結果在顯示屏上應該可以看到分裂的原子束軌跡。而對於索末菲（3 束）和玻爾（2束）的選擇，則可以透過有幾股投影來判斷兩人誰是最後的勝利者[4]. 　　 　　實驗原理是建立在拉莫爾進動經典理論和玻爾 -索末菲空間量子理論假設結合的基礎上。 在實驗中選擇使用不均勻磁場，是因為銀原子在均勻磁場中所受合力為零。只有在不均勻磁場中，銀原子所受合力不為零[10],合外力的方向沿z 軸方向。 之所以選擇銀原子，原因有三：1）銀原子和氫原子結構相似；2）使用重原子方便用經典的粒子軌跡處理粒子的運動；3）選用銀原子而非電子，主要是避免了其在磁場中運動時因洛倫茲力而產生的大尺度偏轉，這也直接說明斯特恩- 蓋拉赫實驗無法用電子束進行[11]. 銀原子經過S1、S2準直後進入不均勻磁場中，磁場方向z 軸和x,y 軸方向垂直，可知 　　

　　 　　根據玻爾 -索末菲空間量子理論假設推導，銀原子經過梯度不均勻磁場偏轉後，因磁矩u 只在z 方向上產生一個分磁矩 　　

　　 　　其數值大小為一個玻爾磁矩

，所以銀原子在 z方向上受力為 　　

　　 　　斯特恩推導，讓一束銀原子透過不均勻的磁場，如果銀原子的磁矩是特定取向的，由前文可知，cos θ 按照索末菲的理論有 3個值，即銀原子會分裂成 3束，而按照玻爾的理論 cos θ 有2個取值，銀原子會分裂成兩束。所以，銀原子經過磁場偏轉後在特定的受力方向上分裂成特定的條紋。 而條紋偏轉幅度的強弱與原子的磁矩的大小有關[4].

2. 3 實驗過程及結果 　　 　　1921 年初，斯特恩和蓋拉赫開始著手驗證空間量子化是否真實的實驗，即斯特恩- 蓋拉赫實驗。 在解決了實驗裝置上的難題後，他們又面臨著實驗資金的問題。 　　 　　玻恩透過公共課、演講，還親自寫信給一個叫古曼德的投資商人，終於使資金的問題得以解決[7]. 1921 年秋，斯特恩去了羅斯托克大學。 從那時起，實驗的工作主要就是由蓋拉赫一人負責，斯特恩只是在假期才能返回法蘭克福大學。 威廉·蘇茨（Wilhelm Schütz），是蓋拉赫當時的博士生，記錄了蓋拉赫做實驗的過程[4]: 　　 　　“沒有人能夠想象那項工作是多麼困難。 將爐子加熱到 1300℃，同時得保證玻璃制的儀器不會被融化，並且是在保持

的真空條件下……抽氣泵的速度很慢。他們所做的每一步都非常小心翼翼，玻璃制的氣泵很容易脆裂，不管是汞蒸氣的推力或者是冷凝的水滴造成的，那麼幾天的辛苦就白耗了……必須得保證在4 ~ 8 小時的實驗過程中爐子是一直被加熱的……實際上，蓋拉赫負責晚上的觀察工作。通常晚上9 點，蓋拉赫會抱著書、作業等來到實驗室，晚上他改作業、寫論文，或者備課，他會喝掉大量的咖啡或者茶、抽菸……當我第二天早晨來時，如果氣泵的聲音依舊，蓋拉赫還在實驗室，那就預示著晚上並沒有什麼不順利……”[4]. 　　 　　1921 年11 月5 日晚上，蓋拉赫迎來了實驗上的第一次成功，電爐孔O 直徑約為1 mm,從它發射出直徑為 0. 05 mm 的銀原子束依次透過準直器兩端相距 3 cm 圓形孔被準直，再經過約 3. 5cm 不均勻磁場中偏轉，進入不均勻磁場中，最後在聚光板上留下拓寬的斑點，分子束裝置磁場部分的壓強約為

之間的大小。 　　 　　1922 年的復活節假期，斯特恩回到法蘭克福大學，他和蓋拉赫針對數量精確度對斯特恩- 蓋拉赫實驗儀器進行改進，蓋拉赫將準直器兩端的圓形小孔換成矩形裂縫，並且兩人從磁場的強度和不均勻度對銀原子偏轉所產生的影響進行了準度校正。考慮了儀器的幾何性、磁場的不均勻度、原子束的平均速度，儀器的精細程度，根據實驗的結果重新做了資料分析，得到銀原子內部的磁矩實際上是接近一個玻爾磁矩

在 z方向有兩個取值，大小為 　　

　　 　　相對誤差在 10% 內，這個數值剛好符合玻爾- 索末菲理論推出的銀原子內部磁矩。 　　 　　1922 年2 月8 日，蓋拉赫寄給了玻爾一張明信片，告訴玻爾實驗證明了空間量子化是存在的事實（圖 5）。3 月 1 日，斯特恩和蓋拉赫以題目為“磁場中空間量子化的實驗證據”（The experimental proof ofspace quantization in magnetic fields）的文章，將實驗結果寄給了《物理學學報》[4]. 這個直接證明空間量子理論的實驗立刻被物理界接受了。斯特恩 -蓋拉赫實驗明確地“證明”了空間量子化是一個存在的物理事實，但是對於一些問題仍然無法給出滿意的答案，例如反常塞曼效應，例如原子在磁場中到底怎樣具體取向等。這些新問題預示著斯特恩 -蓋拉赫實驗還有未解開的迷。 直到1925年，荷蘭的烏倫貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古德史密特（Samuel Abraham Goudsmit）提出電子自旋的概念[1],才徹底將這些問題解決。 　　

　　 　　3 電子自旋和角動量空間取向量子化

3. 1 電子自旋 　　 　　斯特恩 -蓋拉赫實驗對於解釋反常塞曼效應並沒有起到什麼作用。當時物理先哲們對於反常塞曼效應提出的許多假設都顯得徒勞。1925 年1 月，泡利提出不相容原理，這使得解答反常塞曼效應有了一絲希望（泡利和斯特恩兩人關係密切，兩人在理論與實驗上相互促進[4]）。這時，美國的物理學家克羅尼格（Rolph. L. Kronig）認為，“可以把電子的第四個自由度看成是電子具有固有的角動量，電子圍繞自己的軸在做自轉”[12]. 但泡利否定了他的想法，因為泡利認為第四個量子數應該用經典理論描述。克羅尼格很快就放棄了自己的想法[12]. 半年後，烏倫貝克和古德史密特受到泡利不相容原理的啟發，提出電子具有自旋運動，並具有與電子自旋相聯絡的自旋磁矩，同年11 月，兩人的論文因及時被他們的導師埃倫費斯特寄出而幸運的被髮表在《自然科學》上[12]. 　　 　　根據空間量子化理論，磁矩與角動量的關係為：

[1]. 軌道角動量磁矩的表示式為 　　

　　 　　它在 z軸方向上的分量只有兩個值，

自旋對應著有自旋磁矩，類似軌道角動量磁矩匯出自旋磁矩，即 　　

　　 　　ul為繞銀原子運動的電子軌道角動量磁矩表示式，ul,z表示電子軌道磁矩在 z軸方向上的投影。 若不考慮自旋，銀原子的角動量磁矩就等於繞銀原子運動的電子的軌道角動量磁矩，即 　　

　　 　　1925 年，烏倫貝克和古德斯密特提出了電子自旋的假設，認為電子不僅有軌道角動量，還應該有自旋角動量，即 　　

　　 　　s 為自旋量子數，ms為自旋磁量子數，其在自旋的理論中只有

兩個取值。由式（8）可知 　　

　　 　　則銀原子的角動量磁矩為電子軌道角動量磁矩、電子自旋磁矩和原子核磁矩的向量和，即 　　

　　 　　因為銀原子的原子核軌道磁矩為電子自旋的千分之一，所以在式（13）中沒有考慮銀原子原子核的軌道磁矩。