混沌概念的演化和混沌理論的興起
混沌一詞英文為“chaos”，又稱渾沌，人們通常用它來描述混亂、紊亂的狀態，無規律的運動，不成形的事物。
在人類早期文明史上它有兩種含義，一是指宇宙之物，物質某種原始的尚未分化的狀態，二是指人類認識上的渾渾噩噩的朦朧狀態，例如中國古代道家就有所謂“渺渺朦朦不分上下，昏昏沉沉不辨內外”的說法。在中國古代典籍中，有相當多的關於“混沌”的說法與記載，中國古代聖哲認為，在盤古開闢天地之前，宇宙就是一片混沌。
《三五歷》說：“未有天地之時，混沌如雞子，盤古生其中，萬八十歲，天地開闢，陽清為天，陰濁為地。”
《易乾鑿度》中講：“氣似質具而未相離，謂之混沌。”這也就是說，混沌是物質未分化的一種類似氣的狀態。
在中國古代神話和寓言中，還把混沌比附為怪獸與天神，極具哲理地反映了我國古代原始先民對缺乏分化、缺乏差異的事物的朦朧認識。較典型的如《山海經》中說，有一種怪獸，“其狀如犬、長毛四足，兩目不見，兩耳而不聞。有腹而不髒，有腸而不旋，食物經過”；“天使其然，名為混沌”。《莊子·應帝王》中有一個極富哲理的寓言：在遙遠的古代，南海之帝為悠，北海之帝為忽，中央之帝為混沌，與忽時相遇於混沌之地，混沌待之其善。悠與忽謀頂混沌之德，曰：“人皆有七竅，以視聽食息，此獨無有，嘗試鑿之，日鑿一竅，七日而混沌死。”可見，混沌就是渾然一體，沒有區分與差異，一旦開竅，混沌也就不存在了。從現代科學角度看，古代先人的“混沌”概念與今天自然科學討論的熱力學平衡時，系統內各點溫度、壓強、濃度、化學勢處處相同，熵極大，即分子混亂度極高的“熱混沌”是相當一致的。
自然科學開始是排斥混沌的，理由很簡單，在近代，自然科學的建立是以宇宙的和諧觀念為基礎的，自然科學的任務就是研究自然界的秩序與規律，所以混沌現象不在當時科學研究的視野之內。數百年來，混沌還因其雜亂無章、無規律可言而無法研究，又因其是物質最簡單的或認識的原始狀態而被認為無必要研究，因而自然界中大量的混沌現象被科學家或是遺忘或是擱置一邊。只有少數哲學家關注過混沌問題，如笛卡爾把宇宙看成是以太微粒的渦旋作用生成的結果，而康德則在牛頓力學基礎上運用動力學的方式第一次考察了宇宙從混沌到有序的演化。
19世紀中葉以後，首先討論混沌問題的自然科學學科是熱力學。熱力學平衡態實際上就是一種混沌態，其特點是系統內部存在大量微觀粒子的無規則運動。例如一箱均勻氣體，處於平衡態時，每個氣體分子都在作無規則運動，人們無法判斷任何一個分子在下一時刻的運動狀態。這就是說，系統內部微觀粒子運動的結果是完全不確定的，這就是平衡態下的混沌現象。玻爾茲曼所作的“分子混沌”假定，反映了這種相互作用僅屬短程力範圍的混沌。與這種混沌有關的現象如布朗運動、丁肇鋒現象、反應體系中反應基團的無規則碰撞等也陸續發現，並被歸入混沌無序狀態。度量這種混沌的物理量——熵，甚至被它的創始人之一德國科學家克勞修斯加以推廣應用於整個宇宙的度量，認為宇宙演化的最終歸宿就是這種熵極大的熱平衡混沌，即“宇宙熱寂”。這實際上是又回到了古希臘自然哲學的觀點，即把混沌視為宇宙演化的結局。以上所涉及的混沌現象，可以稱為熱平衡的混沌，又可稱為第一類混沌。
與熱混沌不同的第二類混沌，即非平衡態的混沌，最早大概可以追溯到20世紀末彭加勒關於三體問題的研究。法國著名數學家彭加勒洞察到，如果兩個分別進行的實驗的初始條件幾乎相同，則最後結果亦即幾乎相同的假定，對大多數具有線性光滑的“常規”系統是正確的，而對某些非線性系統（如三個變數的非線性系統）則是錯誤的，也就是說，對於兩個非線性系統，儘管初始條件相同，由於內部非線性機制的作用，則可能得出不同的結果。在《科學與方法》中彭加勒寫道：“沒有被我們注意到的某一個非常小的原因，會確定出一個我們不可能視而不見的相當重要的結果，而我們卻說這種結果是偶然引起的，……初始條件中的微小誤差將在最後現象中產生非常大差別的情況也可能發生，前者的微小誤差將在後者中產生巨大的誤差。預言變為不能，而我們就有了偶然現象。”[插圖]然而，直到20世紀60年代初期，混沌作為科學研究的物件，實際上並沒有被考察過，那時關於混沌的認識也仍然是混沌的。這種研究上長期的停滯當然是有原因的，其中之一就是混沌是一種整體性行為，它貌似“一團亂麻”，不能直接分析處理。
在對非平衡混沌的認識道路上，作為一門學科，可以把KAM定理與洛侖茲動力學方程的建立與數值分析作為混沌理論產生的兩個極其重要的標誌。所謂KAM定理，是數學家科爾莫戈羅夫（A.Kolmogorov）、阿諾德（V.Arnold）和莫澤（J.Moser）關於力學的哈密頓系統運動穩定性的研究結果，被譽為“牛頓力學發展史上最重大的突破”。該定理告訴我們，當在可積的哈密頓力學量中加一個導致不可積的擾動項後，動力學系統將如下變化：（1）對於準週期運動的擾動，小的擾動不會大大改變準週期運動，換言之，用相空間狀態變化所表徵的系統演化的定性影象不會有大的改變。（2）對於週期運動的擾動，則可證明，擾動產生了2KS個相空間中的固定點（K為一定的整數），其中每個固定點表示系統演化與穩定性有關的一個狀態，這些固定點分成兩大類，其中一類（KS個）被稱為橢圓固定點，它們對應於系統運動的穩定週期軌道，系統演化如在這些點附近，其運動就會被“俘獲”進入其同期軌道內，而不能逃逸；另一類（也是KS個）被稱為雙曲點（鞍點），它們對應於週期運動的不穩定性。在鞍點附近，穩定軌道與不穩定軌道在摺疊中交叉，因此係統演化對於初始條件的微小變化極為敏感，而且在相空間的大區域內以不穩定的方式漂
遊，這就是混沌。不僅如此，這時如果用一個平面去橫向切割相空間運動軌跡並研究在該平面上的軌跡交點Pn的話，那麼橢圓固定點所對應的穩定週期軌道，則在這個截面（又稱彭加勒映像）上表現為“環形島嶼”，它的重要特性是在所有標度上重複全部結構，即無論放大多少倍，它的區域性都與整體是相似的，因而你中有我、我中有你，互相巢狀。這種顯著的“自相似結構”表明，即使像兩個弱相互作用自由度的平常問題居然也產生著巨大的複雜性，其影象如圖4-3所示。
不可積的哈密頓系統的彭加勒截面圖
（3）對於不可積哈密頓系統來說，運動中存在混沌行為是普遍現象，非週期軌跡與週期軌跡總是摻混在一起。但只要KAM條件成立，不變環面就會成為混沌運動的一種障礙，使它只是一種區域性現象。大量數值實驗證明，破壞KAM定理的任何一個條件，都會使軌跡增多，運動不規則性增強，破壞越厲害，混沌現象也就越多。（4）在近可積條件下，只要有非零的擾動存在，系統就有小的混沌層區出現。隨著擾動增大，不可積性相應變強，相鄰的小混沌區開始合併從而使混沌區層厚度增加。這又導致把小混沌區分隔開來的KAM環面被進一步破壞，首先是所謂“有理”環面消失，然後是容易用有理數逼近的“無理”環面消失，最後，一旦黃金比代表的無理環面被破壞，阻礙無規則運動的最後一道柵欄就被摧毀了，混沌運動就從區域性現象變為全域性現象。圖4-4示意了這種演化的結局。圖中陸嶼（大陸、島嶼）表示規則解，河、海表示混沌解。
混沌演化結局示意圖
混沌理論產生的第二個標誌是洛侖茲動力學方程的數值分析。1963年，氣象學家洛侖茲為了描述大氣對流現象，建立氣象預報的理論基礎，他從描述液體熱對流現象的偏微分方程出發，經過一系列數學處理，得到了一組三階常微分方程。這組方程後來成為混沌理論中關於連續動態系統的常用模型，被稱為洛侖茲模型。其一般形式為：
x、y、z分別是與空間對流濾長有關的速度模、溫度模和溫度梯度模；t是時間；σ，r 和b是控制參量，σ是普朗德爾數，r是瑞利數。
洛侖茲當初作數值計算時，取σ＝10，r＝28，b＝8/3。方程的定態解有三個，一個為零解，另兩個為：
代入數值後，三個定態解對應點分別為：
在定態點附近將方程線性化，得到係數矩陣為：
在O點附近的特徵根為－8/3，11.83，－22.82。在A、B點附近的特徵根為一個實根－13.85，一對共軛復根0.094±10.191。按照方程理論與穩定性分析，三點的特徵根實部均有正有負，表明它們都是鞍點，即穩定流形與不穩定流形的交匯點。因此，洛侖茲方程所代表的大氣對流狀態與所取的初始條件值有密切關係，如果以穩定流形上的點為初值，運動趨於定態點，取不穩流形上的點為初值，運動將按指數律發散。這正是混沌的特徵。洛侖茲模型中的混沌情形如表4-1所示。
洛侖茲模型中的混沌情形
與一維繫統相比，該模型的運動形式要複雜得多。用計算機數值計算所得洛侖茲方程的運動軌跡構成的相曲面圖如圖4-5所示。它很像一張光滑曲面，但並非一張曲面，而是由無限多張無限接近的曲面構成的複雜幾何圖形，具有非零“厚度”。在混沌區內，運動軌跡在繞A點若干圈後隨機地甩到B點附近，再繞B點若干圈後又被隨機地甩回A點附近，如此反覆無窮地進行下去。每次繞A或B的圈數、圈的大小都不確定，表現出一種典型的無規則運動，這恰恰就是天氣難以預報的根源。大氣的混沌運動（湍流）極其敏感地取決於初始條件，失之毫釐，差之千里。這就是所謂蝴蝶效應：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍捲風。
洛侖茲曲線圖
1963年，美國氣象學家洛侖茲在《大氣科學雜誌》上以“確定性的非週期流”為題發表了關於液體對流的一個簡化模型的數值觀察。他在選擇數值天氣預報方程時，把一般含有幾千個變數的方程簡化為3維1階自治常微分方程組，雖然這個簡化模型是一個完全確定的方程組，但卻在一定引數範圍內給出看似混亂的輸出。這是人類首次從數值上觀察到一個確定性系統可以出現無規漲落，它也標誌著一門新科學——混沌學的誕生。
總之，KAM定理和洛侖茲方程分別研究了保守系統與耗散系統的混沌行為，二者在理論上分別從不同角度說明了兩類不同的動態系統，在長期演化過程中是如何從有序態到達非平衡混沌態的。
此後，人們透過耗散結構論、協同學和其他自組織理論的研究又逐漸發現了許多非平衡混沌與平衡熱混沌的區別與聯絡。例如，人們發現，如果對貝納德對流花紋繼續加熱（增加能量輸入閾限值），使液層溫度梯度進一步增大，系統對流花樣將變得更復雜多樣。這是從一種有序變為另一種有序。從物理學角度看，一種簡單的對流花樣可以視為是液體的某一種頻率的振盪，花樣變得複雜起來，說明液體振盪頻率增加。隨著溫度梯度的不斷擴大，系統振盪頻率數目趨於無窮，系統宏觀上的有序度達到極限，於是液體將由對流的宏觀態進入湍流態。湍流是一種區別於熱混沌的非平衡混沌狀態，第一，它存在著激烈的宏觀運動，而形成貝納德花紋之前的混沌即熱力學平衡混沌卻是宏觀靜止的；第二，它發展的基礎是有序狀態，即它是經過有序狀態而轉化成為混沌的，而熱混沌是有序態的先前狀態。這表明，從熱混沌經過有序態再達至非平衡混沌是一種辯證的否定之否定的轉化過程，普利高津在《從混沌到有序》一書中生動地描述了這一辯證轉化過程，他指出：貝納德花紋出現在平衡態之外的一個臨界距離上，進一步遠離熱平衡態時，對流開始隨時間振盪，隨著與平衡態的距離的進一步增大，越來越多的振盪頻率出現了，最後完成向湍流的過渡。在分支圖上，這一區域被稱為“混沌”，貝納德有序結構就被夾在熱混沌和非平衡湍流混沌之間。然而，“平衡熱混沌”與“非平衡湍流混沌”不同，在平衡態實現熱混沌時，所有特徵空間和特徵時間的尺度都在分子範圍內，而在發生湍流混沌時，則有豐富的宏觀時間和長度的尺度，使系統呈現混沌狀。因此，所謂混沌運動就是由嚴格決定論方程引出的，或者說由其加以描述的某種不規則變化，如某一變化過程的不連續性、非週期振盪、峰值的不規則移動。混沌運動具有內在的有序性和外在的隨機性。