混沌現象的特性和規律
一般來說，任何系統受到外部激勵作用，就會以一定的運動方式作出響應。線性系統的特點是在週期性激勵下才能產生週期性響應，非線性系統的特點是在非週期激勵下也可能產生週期性響應。對混沌現象的研究進一步揭示，在適當的週期性激勵下，非線性系統還可能產生混沌響應行為。
對於受到外部激勵的耗散系統，一方面內部的耗散因素要消耗能量，使運動衰減；另一方面外部激勵作用向系統輸入能量，使運動增強，這兩種相反方向的不同組合，決定系統採取不同的運動體制。如果耗散因素與週期性激勵作用的幅值和頻率之間出現適當匹配，使得系統在相空間的運動既不能衰減，也不能無限增長，運動在整體上受到限制，在區域性上又不能安穩下來，就會出現混沌運動。混沌運動是系統內部耗散作用與外部激勵作用不相上下又恰當匹配情況下找到的一種解決矛盾的辦法，這在直觀上是不難想象的。事實上，已經在許多實際過程中觀察到這種受迫非線性系統出現混沌運動的現象。
從20世紀70年代起，混沌現象的研究吸引了數學、物理學等許多領域學者的注意，發展成為一門空前活躍、成果累累的前沿科學。1971年，法國科學家茹勒和泰肯斯首次引入對於表徵混沌特性有重要意義的“奇怪吸引子”概念，提出了新的湍流發生機制。1975年，李天巖和約克首次在數學文獻中使用“混沌”這一概念，並揭示了混沌的某些特性。1978年，數學家費根鮑姆從一維對映中發現了關於混沌現象的標度性和普適常數，把重正化群技術引入這一領域。這些研究使得混沌的性質越來越被人們所認識，也使得這種高居複雜性之冠的混沌現象能夠被刻畫、被把握。
混沌現象的特性與規律：
混沌是確定論系統的內在隨機性。
觀察一個混沌系統可以發現，描述系統的演化方程確定，但演化行為不確定；系統短期行為確定，但長期行為不確定。系統的這種行為既不同於傳統的確定現象，也不同於傳統的隨機現象，而是系統確定性與隨機性的有機結合。透過仔細分析，人們認識到，一個動力學系統之所以呈現出混沌現象，既不是因為系統中存在著隨機力或受環境中外噪聲源的影響，也不是由於無窮多自由度的相互作用，更不是與量子力學的不確定性有關。產生混沌的本質原因在於確定性系統的非線性，混沌理論證明，只要確定論系統具有稍微複雜的非線性，就會在一定控制引數範圍內產生出這種內在隨機性來。
歐文·拉茲洛指出：“混沌並不是一種絕對的隨機性，而是由許多複雜的有序構成的，在其中有吸引子的作用。”從洛侖茲方程看，該方程是確定論方程，即它不含有任何隨機項，其方程係數、初始值和激勵作用都是確定的，然而其行為卻出現隨機的不確定性，而且這種隨機性與我們過去所瞭解的隨機現象亦有很大區別。隨機現象是系統的短期行為，無法確定，混沌現象的隨機性則不然，具有混沌現象的系統，其短期行為是可以知道的，如圖4-6所示，洛侖茲方程中的天氣模式差別是後期出現並逐漸擴大的。換言之，混沌系統只有經過長期演化，其結果才是不可確定的。完全確定論的系統在某一行為區域表現出隨機不確定性，是非平衡混沌的最重要特性，它顯然是一種內在隨機性，一種自發產生的隨機性，與外部給予的隨機性有完全不同的來源與區別。普利高津曾指出：“動力學方程的決定論特點（由這些可計算出一組可能的態和各自的穩定性）和隨機漲落（它們在分叉點附近的各態之間進行選擇）難解難分地連線在一起。這個必然性和偶然性的混合組成了該系統的歷史。”[插圖]就是說，在對混沌現象的研究中，有一類確定性方程，由於運動系統對初始條件的敏感依賴性，初始條件的微小變化，經過系統的長時間演化，該系統就進入混沌狀態，故而似乎無法確定該系統在確定時刻的數量關係了，系統的這種行為是該類方程內含的，而不是由於外界隨機因素的干擾，所以稱這類行為的隨機性為“內在隨機性”。從幾乎相同的出發點開始，洛侖茲看到他的計算機產生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。
洛侖茲方程中的天氣模式
混沌是對初值的敏感依賴性。
混沌現象，不論系統是保守的或耗散的，離散的或連續的，低維的或高維的，時間演化的或空間分佈的，其共同的特徵就是系統運動軌跡對初始條件值的依賴極為敏感，所謂混沌性就是運動軌跡對初值的敏感依賴性。對於沒有內在隨機性的系統，如線性系統，只要兩個初始值足夠接近，從它們出發的兩條軌跡在整個系統演化過程中都保持足夠接近，這就是穩定性理論說的“小擾動只產生小偏差”。但是，對於具有內在隨機性的系統來說，這個結論不再成立。從兩個非常接近的初值出發的兩條軌跡，在經過充分長時間演化之後，可能變得相距“任意”遠，表現出軌跡對初值的極端敏感性，可謂“失之毫釐，差之千里”。反映動力學系統內在隨機性的這種對初值的敏感依賴性，導致系統長時間行為的不可預測性，要確切預測長時間的動態特性，需要知道足夠精確的初值，時間越長，對初值的精度要求越高，甚至需要具有無限精確度的初值，由於實際測量精度和計算機字長的有限性，我們不可能得到任意精確度的初值，這再次表明時間在系統演化中的重要作用。為加深獲得有關這種敏感依賴性究竟敏感到何種程度的具體印象，這裡舉一個一維迭代方程的數值迭代結果的例子。如表4-2所示，可以看到當賦值稍有不同時，第10次迭代差別還不大，但到第52次時差別已經極其顯著，這表明具有混沌行為的系統由於這種對初值的敏感依賴性，將導致系統長時間行為的不可預測性。因而，完全確定論的描述不僅不可能，而且也毫無意義。
表4-2
維迭代方程數值迭代例項
混沌運動的振盪解不是漸近穩定的，它的解在一定範圍內表現出整體的穩定性，但是系統的非線性使進入吸引子內部的軌跡不斷彼此互相排斥，反覆分離和摺疊，使系統的區域性不穩定。這種區域性不穩定即是對初始條件的敏感依賴性，即使系統初始值出現小的偏差，便會引起軌道按指數分離，這就是所謂的“蝴蝶效應”。系統對初值敏感性的根源仍然在於系統內的非線性相互作用，對於一維迭代系統就在於非線性迭代方程。
從更深的層次看，混沌運動的本質特徵是系統長期行為對初值的敏感依賴性。所謂內在隨機性，是系統行為敏感地依賴於初始條件所導致的結果。眾所周知，動力學系統的行為或運動軌跡取決於兩個因素：一個是系統的演化規律，在數學上就是動力學方程；另一個是系統的初始狀態，數學上稱為初始條件。一個確定性系統在給定了運動方程之後，如果滿足溫特納和利普希茨條件，則根據“存在唯一性”定理，軌道唯一地取決於初始條件，透過一個初值有且只有一條軌道，這就是系統行為或軌道對初值的依賴性。按照經典動力學觀點，軌道對初值的依賴是不敏感的，就是說，從兩個相鄰近的初值引出的兩條軌道始終相接近，彼此在相空間偕遊並行。
混沌研究推翻了這一觀點。處在混沌狀態的系統，運動軌道將敏感地依賴於初始條件，從兩個極其鄰近的初值出發的兩條軌道，在短時期內似乎差距不大，但在足夠長的時間以後（這裡所說的短期與長期在不同的系統中有不同的尺度，彼此差別可能很大），必然呈現出顯著的差異來。從長期行為看，初值的小改變在運動過程中不斷被放大，導致軌道產生巨大的差異，以致在相空間中的距離可能要多遠就有多遠（當然不能超出相空間許可的尺度範圍），這就是系統長期行為對初值的敏感依賴性。人類在實踐中早就注意到這種現象，並且藉助不同方式，包括文學語言加以表述，在中國，婦孺皆知的成語“差之毫釐，失之千里”講的就是這種對初值的敏感依賴性。對初值的敏感依賴性已成為科學共同體闡述混沌機制的重要原理。
混沌不是簡單的無序，也不是通常意義上的有序運動。
非平衡混沌現象雖然表現出與有序演化大相徑庭的特點，即表面上具有混亂的特點，但混沌絕不是簡單的無序，而更像不具備週期性和其他明顯對稱特徵的有序態，即“混沌序”。
混沌的有序性表現在：
首先，混沌是非線性系統的控制參量按一定方向不斷變化而達到某種極限情形的一種結構狀態，一種非週期運動體制。其次，混沌區的系統行為並非真的一團亂麻，混沌譜本身還具有無窮的內部結構，其中巢狀著各種週期視窗，非週期與週期難分難解地交叉、纏繞在一起，表明混沌行為是一種非平庸的有序性。第三，混沌內部的無窮巢狀結構具有標度變換下的不變性（自相似性），所以，從層次關係看，混沌也是具有明顯對稱特徵的有序狀態。混沌不等於噪聲（隨機無序的波動，偶然的漲落），混沌具有內部結構，混沌的演化分岔是差別越來越大，混沌對初始條件具有敏感依賴性，這點對複雜系統的描述則是不利的。而自組織臨界態沒有對初始條件的極端敏感依賴性，則是有利於複雜系統的描述的。