法布是芝加哥大學的一位拓撲學家，他最近對德國數學家大衛·希爾伯特在20世紀初預測的影響拓撲領域未來的23個未解數學問題中的第13個很感興趣。這個問題是關於求解七次多項式方程的問題。

數學家們已經有了解二次、三次、甚至四次方程的有效的方法。這些公式（就像我們熟悉的二次公式一樣）涉及代數運算，僅意味著算術和根號(例如平方根)。但指數越高，方程就變得越棘手，求解它幾乎是不可能的。希爾伯特的第13個問題是七次方程是否可以用加、減、乘、除的組合加上兩個變數的代數函式來求解。

答案可能是否定的。但對法布來說，這個問題不僅僅是解一個複雜的代數方程。因為它引發了深層次的問題，多項式有多複雜，我們如何測量它？為了理解多項式的根，人們發明了大量的現代數學。

他和加州大學歐文分校的數學家傑西·沃爾夫森以及哈佛大學的數字理論家馬克·金幫共同研究。法布承認，他們還沒有解決希爾伯特的第13個問題，可能離答案還差得遠。但他們發現了一些實際上已經消失的數學方法，他們探索了這個問題與各種領域之間的聯絡，包括複分析、拓撲學、數論、表示理論和代數幾何。在此過程中，他們已經取得了突破，特別是在將多項式與幾何聯絡起來以及縮小希爾伯特問題可能答案的範圍方面。他們的工作還提出了一種使用複雜性度量來分類多項式的方法——類似於與未解決的“P vs. NP”問題相關的複雜性類。

P vs. NP問題是計算機科學中一個尚未解決的主要問題。它問的是，是否每個問題的解決方案既可以快速驗證，也可以快速解決。

許多數學家認為這個問題已經解決了。這是因為蘇聯天才弗拉基米爾·阿諾德和他的導師安德烈·尼古拉耶維奇·柯爾莫戈羅夫在20世紀50年代末發表瞭解決方案。對大多數數學家來說，阿諾德-柯爾莫戈羅夫的研究揭開了序幕。

但五年前，法布在阿諾德的一篇文章中讀到了幾句引人入勝的話。阿諾德在文章中回顧了自己的工作和職業生涯。法布驚訝地發現，阿諾德認為希爾伯特的第13個問題是開放的，實際上他花了40年的時間試圖解決這個他本應該已經攻克的問題。

造成這個問題混亂的原因很快就清楚了：柯爾莫戈羅夫和阿諾德只解決了這個問題的一個變體。它們的解涉及到連續函式，連續函式包括我們熟悉的正弦、餘弦和指數函式等。

但是研究人員對希爾伯特是否對這種方法感興趣存在分歧。許多數學家認為希爾伯特真正指的是代數函式，而不是連續函式。法布和沃爾夫森一直在研究他們認為希爾伯特想要解決的問題。

法布說，希爾伯特的第十三個問題是一個萬花筒。你投入得越多，你就會得到越多的新方向和新想法，它打開了通往整個陣列的大門。

自從數學誕生以來，數學家們就一直在探索多項式。3000多年前雕刻的石碑顯示，古巴比倫數學家使用一個公式來解決二次多項式。這個公式是：

告訴我們如何求二次多項式的根，或使表示式為零的x的值。隨著時間的推移，數學家們自然想知道，對於高次多項式是否存在這樣的公式。

多項式的階數越高，它們就變得越複雜。義大利學者卡爾達諾在他1545年出版的《Ars Magna》一書中公佈了三次和四次多項式的求根公式。

​三次多項式的根可以用以下公式求出：

四次公式更困難。

義大利數學家保羅·魯菲尼在1799年提出，5次或5次以上的多項式不能用算術和根號來求解。挪威人尼爾斯·亨裡克·阿貝爾在1824年證明了這一點。換句話說，不可能有類似的“五次多項式求解公式”。幸運的是，其他的想法出現了，提出瞭解決高次多項式的方法，這些方法可以透過替換來簡化。例如，在1786年，一個名叫厄蘭的瑞典律師證明了任何五次多項式方程的形式，ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0可以重組為px^5+qx+1=0（其中p和q是由a、b、c、d、e和f確定的複數）。

19世紀，威廉·羅文·漢密爾頓接手了厄蘭等人沒有完成的工作，他證明了，要求任何六次多項式方程的根，只需要一般的算術運算，一些平方根和立方根，以及一個只依賴於兩個引數的代數公式。

1975年，哈佛大學的美國代數學家理查德·布勞爾提出了“解決度”(resolvent degree)的概念，它描述了表示某種程度的多項式所需的最低項數。（不到一年之後，阿諾德和日本數論家志村五郎在另一篇論文中介紹了幾乎相同的定義。）

在布勞爾的框架中，希爾伯特的第13個問題問我們，七次多項式的可解度是否可能小於3，後來，他又對六次多項式和八次多項式做了類似的猜想。但這些問題也引發了一個更廣泛的問題，求多項式根所需的最小引數數是多少？

解決這個問題的一種自然方法是考慮多項式是什麼樣子的。一個多項式可以寫成一個函式如f(x)=x^2−3x+1，這個函式可以作圖。然後求根就是要求當函式值為0時，曲線與x軸相交的交點橫座標。

高次多項式會產生更復雜的圖形。例如，具有三個變數的三次多項式函式，會產生嵌入三維空間的光滑但扭曲的曲面。再一次，通過了解這些圖形的位置，數學家們可以更多地瞭解它們的多項式結構。因此，可以借用代數幾何和拓撲學理解多項式。亨利·龐加萊發明了拓撲學，他明確地說他這樣做是為了理解代數函式。

希爾伯特本人透過將幾何學應用到這個問題中，發現了一個特別顯著的聯絡。到他在1900年列舉他的問題時，數學家已經有了大量的技巧來減少多項式，但他們仍然無法取得進展。然而，在1927年，希爾伯特描述了一種新方法。他從找出簡化九次多項式的所有可能方法開始，並在這些方法中發現了一系列特殊的三次曲面。

希爾伯特已經知道，每一個光滑的三次曲面（一個由三次多項式定義的扭曲形狀）包含了整整27條直線，不管它看起來有多複雜。這些線隨著多項式係數的變化而移動。他意識到，如果他知道其中一條線，他就可以化簡這個九次多項式來求根。該公式只需要四個引數，這意味著解決程度最多為4。

當法布和沃爾夫森把這些點聯絡起來的時候，他們意識到，人們普遍認為希爾伯特的第13個問題已經被解決了。2020年1月，沃爾夫森發表了一篇論文，透過將希爾伯特關於九次多項式的幾何工作擴充套件為更普遍的理論，重新提出了這一觀點。

希爾伯特專注於三次曲面來解決一個變數的九次多項式。那麼高階多項式呢？沃爾夫森認為，要用類似的方法求解這些問題，你可以用一些高維的“超曲面”來代替這個三次曲面，這些“超曲面”是由很多變數中的高次多項式構成的。這些幾何還不太清楚，但在過去的幾十年裡，數學家們已經能夠證明超曲面在某些情況下總是有直線的。

希爾伯特利用三次曲面上的直線來求解九次多項式的想法可以推廣到這些高維超曲面上的直線。沃爾夫森用這種方法找到了新的、更簡單的公式來計算特定程度的多項式。這意味著，即使你無法將其形象化，你也可以透過在多維三次超曲面（在這種情況下是47維）上找到一個平面來“簡單地”求解100次多項式。

利用這種新方法，沃爾夫森確定了九次多項式的解析度的希爾伯特值。對於其他多項式度，特別是9度以上的多項式，他的方法縮小了可能的解決度值。

因此，這不是對希爾伯特第13個問題的研究，而是對多項式的一般研究。他們似乎發現了一些相鄰的問題，並在這些問題上取得了進展，其中一些問題是長期存在的，他們希望這將有助於弄清最初的問題。他們的工作指出了思考這些數學結構的新方法。

這個通論也表明了希爾伯特關於六次、七次和八次方程的猜想與其他看似不相關的數學領域的問題是等價的。法布說，解決度提供了一種按代數複雜性對這些問題進行分類的方法，類似於在複雜性類中對最佳化問題進行分組。

但是數學家們懷疑它是否真的能解決關於七次多項式的開放性問題。它在難以想象的維度上講述了巨大的、未經探索的數學圖景。對於麥克馬倫來說，缺乏進展本身就很有趣，因為它表明這個問題包含著現代數學無法理解的秘密。我們還沒能解決這個根本問題，這意味著有一些黑暗的領域我們還沒有涉足。