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對經過努力依舊未能解決的問題,如果不進行卓著的創新,那麼依舊難以看穿問題的本質——高斯

喜新厭舊是數學家的魅力

天才最重要的特點是擁有非凡的創造力。

數學家最喜歡的問題是那些用既有理論解決不了的問題(如果能確定解決不了的話),因為他們可以藉此機會創造新的理論,這讓他們非常愜意。誰不是那麼喜新厭舊呢?唯有物理學家。

物理學家在愛因斯坦橫空出世之前,還沒有這種喜新厭舊的覺悟。相對論大獲成功,物理學家集體開竅,紛紛向數學家們看齊。但無論如何努力,或許人類只能永久困在閔可夫斯基空間,數學家物理學家工程師可能永遠突破不到更高維的科技。

域的創造產生是數學家們極為重要但不是極為困難的工作成果。在實數域的基礎上發展出複數域,好像孕婦順產一般,看起來波瀾不驚,自然而然。但這些工作成果極為重要,很多數學創造在擴域的過程中誕生。比如求-1的根,發展出數學與科學領域內無處不在的複數域。

素數總出難題,但也幫助解決難題

在很多人的印象中,素數總是在為難數學家,為數學家提供幫助不可想象。

本文主要敘述素數最基本的性質(?)為什麼在實數域成立,但到了複數域內不再成立的數學現象。素數這一性質的改變,曾經幫助19世紀的數學家們瞭解到那個時代的數學工具不可能證明費馬大定理。當時的數學家瞭解到這一情況後,也不想糾纏了,他們將精力放在了其他的問題上.從工程學的角度來說,素數幫助數學家避免浪費了寶貴的智力資源。

素數不再是“素數”(以下內容不要求看懂)

在複數域內,有一種數稱為高斯整數,高斯整數包括一種“素數”叫高斯素數。高斯整數不是高斯發明的,但高斯是第一個深入研究此類數的數學家。他將實數域的整數的一些性質引入高斯整數,有力推動了代數數論的發展進步。

高斯整數有些性質跟通常意義上的整數......,-1, 0, 1,2,3,4, 5, .......的性質相同,是形如

高斯整數

的複數。高斯整數集構成了一個環,從複平面上看為一個個格點。請問整數集包含在高斯整數環內不?

對於所有大於2的素數,一部分滿足定理(1)

素數

5,13, 17,29,......,都是這種素數。

還有一部分素數很明顯滿足(2)

素數

3, 7,11,19,......,這些數都是高斯素數。

利用高斯整數的定義可以看出滿足(1)的素數可表述成

高斯素數

可以證明滿足(1)的素數在高斯整數環內不是素元。

證明

令x=2n!,由威爾遜定理

威爾遜定理

可得(3)

因為

由(3)可以有

等於

又因為

綜上所述,p不是高斯素數。

提個小問題,為什麼必須驗證x + i, x-i與p相除不是高斯整數的元素?

複數z=x + yi的範數定義為

範數

那麼有

範數

可取

域的擴張讓孤獨的素數不再孤獨,數論的內涵變得更有活力與張力。這僅僅是代數數論的小小的魅力,學習得越多,越不敢說知道得多。

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