大家好，今天我們來聊聊伯努利方程。
伯努利方程是物理學和工程學中一個雖然簡單但極為重要的方程，該方程可以幫助我們深入地瞭解大千世界中流體的流動行為。從本質上看，該方程描述了流動著的流體中，壓力、速度和高度三者之間的關係。
什麼是伯努利方程？伯努利方程在工程上有非常多的應用，例如可以用它來解釋飛機是如何產生升力的？或者計算液體從容器內流出時的速度等等問題。
在探討這些應用之前，我們先來看看什麼是伯努利方程？它是由瑞士物理學家丹尼爾伯努利在1738年所發表的，該方程的表示式如下，等式左邊三項之和沿流線保持不變，且它們的量綱都是壓力，第一項為靜壓，也就是我們常說的流體壓力P；第二項為動壓，它是有關流體密度ρ與速度v的函式，表示的是單位體積流體的動能；第三項為靜水壓力，它是流體受到重力影響而產生的壓力，式中g為重力加速度，H為當前位置與參考位置之間的高度差，這就是伯努利方程的壓力錶達式，當然它也可以表示成水頭形式或者是能量形式。
我們還可以將伯努利方程看作是能量守恆定律的一種表達，其含義是，沿著流線方向，壓力能、動能、勢能三者之和是保持恆定的。這是一個非常有價值的資訊，它可以幫助我們分析一系列流體的流動問題。當然需要強調的是，該方程只能沿著流線方向使用。所謂的流線，我們可以將其定義為，在穩態流動中，流體內部單個粒子的流動路徑。更確切地說，它是一條在所有點上都與質點速度相切的曲線。
應用1——伯努利方程在變徑管道中的應用下面，我們應用伯努利方程，來看看流體流過變徑管道時的情況。利用伯努利方程，我們既可以瞭解流體在流過變徑管道時，壓力的變化情況。還可以用來比較不同位置處的流量情況。為此，我們可以將伯努利方程變換成下面這種形式。
然後，我們取同一條流線上的點1和點2，由於點1和點2兩者之間的高度沒有明顯的變化，我們認為它們近似相等，因此勢能這一項可以近似認為相等，就可以相互抵消掉了。
接著，我們把靜壓項都移到等號的同一側，這樣就可以得到壓力變化的方程。如果我們再假設流體是不可壓縮的，那麼點1和點2的質量流量肯定也是相等的，這就是所謂的連續性方程，它是質量守恆定律的一種表達形式。所謂質量流量就等於流體的密度、管道的截面積以及流速三者的乘積，所以經過變換，這個連續性方程就可以變成點2的速度方程，由於截面積A2要小於A1，這就意味著流體進入直徑較小的管段時，流速會增加。
接下來，我們再將左側的V2帶入右側的伯努利方程中，我們可以看到，由於從點1到點2，流動速度在增加，相反，壓力卻是在減小的。
用一句話總結就是，對於水平流動而言，流體速度的增加必然會伴隨著流體壓力的降低。這就是伯努利原理最通俗易懂的表達。雖然說，大家直覺上都會認為，速度的增加必然會導致壓力的增加，但事實上並非如此。這一點，我們還可以從能量損失的角度來考慮，也就是說，流體速度增加所消耗掉的能量都是從流體的靜壓能中獲取的。
應用2——飛機的升力是如何產生的？下面我們利用伯努利原理，來解釋一下為什麼飛機的機翼能夠產生升力？首先，我們知道，流體流過機翼上方的流速要比流過下方的流速更快，根據伯努利原理，此時在機翼上方就會形成低壓區，而在機翼下方就形成了相對的高壓區，正因為機翼上下兩側存在壓力差的緣故，才產生了升力。
應用3——為什麼本生燈能使燃氣燃燒更充分？伯努利原理還可以用來解釋本生燈的工作原理，當氣閥開啟時，氣體以較高的速度流入燈管，根據伯努利原理，這種高速流動會在燈管中產生一個負壓區，從而導致外部的空氣被迫壓入燈管內，從而使空氣和媒氣更好的混合，使燃燒更充分。
應用4——如何利用皮托管測量飛機的飛行速度？一些流量計也是依靠伯努利方程來確定流動流體的速度。皮托管就是這一樣一種裝置，它經常用來檢測飛機的飛行速度，我們這裡簡單描述一下它的工作原理，如果把一根管子放入流動的液體中，然後在管子的末端安裝一個壓力計，壓力儀表將檢測管子末端的壓力。在管子入口處流體速度為零點，我們稱為滯止點，在該點測得的壓力稱為滯止壓力。我們可以在上游點1和滯止點2之間應用伯努利方程，由於兩點勢能近似相等，且滯止點2處的速度v2等於0，因此，點2處的滯止壓力等於點1處的靜壓與動壓之和。也就是說，點1處所有的動能基本上都在滯止點2處轉化成了壓力能。此時，如果我們在管子的外面再套上一根末端密封且下游開有小孔的外管，此時外管所測量的就是流體的靜壓力，而不是滯止壓力，知道了這兩個壓力值，我們就能很容易的確定流速了。
應用5——文丘裡流量計的工作原理？利用伯努利方程製成的另一種流量測量裝置就是文丘裡流量計，它是一種用於確定管道內介質流速的儀表，主要是透過測量流體流過管道縮頸部位的壓力降來工作的。假設我們要確定流量Q，也就是流速乘以點1處的管道截面積，我們可以變換一下壓降方程，就可以得到流速的計算公式是這樣的。下面我要做的就是確定文丘裡流量計的尺寸、流體密度、壓力P1和P2，這樣流量就可以計算出來了。文丘裡流量計內部沒有活動部件，是一種簡單可靠的管道流量檢測裝置。其擴散段的長度要明顯比收斂段長，這樣可以顯著減少能量損失。
應用6——如何計算液體從容器內流出時的速度？讓我們再看一下如何利用伯努利方程，計算液體從容器內流出時的速度？假設我們有一個啤酒桶，現在想計算一下酒桶的排空速度，首先要做的是開啟酒桶底部的水龍頭，然後再在某一條流線上定義兩個點，並在這兩個點上應用伯努利方程。
這個酒桶頂部設有呼吸口，也就是說它的頂部與大氣相連通，而水龍頭的出口點2處也是與大氣相通的，所以說點1和點2處的靜壓力都是大氣壓力，可以相互抵消。另外我們假設這個酒桶足夠的大，因此我們可以認為點1的流動速度近似為0。現在我們變換一下伯努利方程，並將啤酒的液位和水龍頭之間的高度差定義為H，這樣就可以得到啤酒流動速度的表示式V2。
使用伯努利方程的限制條件好了，以上都是一些我們生活中的例子，你也可以嘗試應用伯努利方程來解決一些實際問題。但是要想做到正確得使用它，那麼理解它的推導方法以及應用的侷限性就非常重要了。我們這裡不對其推導過程做過多得解釋，但必須得了解一下，在推導得過程中，我們人為地做了哪些假設？這些假設會使伯努利方程的應用範圍受到限制。
第一條假設是，流體的流動是層流狀態且是穩態流動，這就意味著流量不會隨時間發生變化；
第二條假設是，流體是沒有粘性的，也就是說，因實際流體的粘性而產生的剪下應力被忽略掉了。這個假設是必不可少的，因為流體粘性會導致流體的內部產生能量損失，導致能量沿流線守恆這個結論不再適用。
第三條假設是，流體是不可壓縮的，也就是說它通常只適用於液體，對於高速流動的氣體可能就不適用了。
綜上，想要應用伯努利方程，必須要同時滿足以上三個假設。
當然了，伯努利方程還有一些修正版本，儘管複雜了一些，但卻可以適用於非穩態和可壓縮流體的流動。
好了，今天的內容就到這裡，我們下次再見。