我常常拿著一個蘋果捨不得吃，在手中轉啊轉，想著為什麼蘋果不長成個方的？最後終於得出一個結論，如果蘋果是方的，邊角最容易受傷，或者被蟲吃掉，大概最後還是變成圓的更好吧。

後來才明白這是因為圓在數學上是最有效的形狀，同樣的表面積圓包含的體積最大。天體在執行和旋轉中，形體被越“磨”越圓。

在自然形態中，我們也處處看到圓和圓弧的蹤影，到處都有圓的禮讚。最美而又常見的自然現象是天空中排列著紅橙黃綠青藍紫的彩虹。

圓弧形的彩虹有時被稱為“佛光”，即一個七彩光環，這是一種“日暈”。物理學認為，當陽光照在雲霧表面，經過衍射和漫反射作用，雲彩中細小冰晶與水滴就會形成獨特的圓圈狀彩虹，從而形成“佛光”的自然奇觀。同時陽光也將人影投射到雲彩上，所以在“佛光”中常常可以看見人影，而且人影隨著人而動，變幻奇妙。

幾乎所有的蜘蛛都能創造出近乎完美的同心網，其具有近似相等的徑向支撐，並且是從內向外呈螺旋形。一些科學家認為，這種類似天體的蜘蛛網是為提高強度而建造的，徑向對稱有助於在獵物與蜘蛛網接觸時均勻地分佈衝擊力，減少裂痕。

當對這個美麗的結構用數學進行分析時，出現在蜘蛛網上的概念真是驚人——半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應角、對數螺線、懸鏈線和超越線。

笛卡兒從蛛網得到啟示，發明了數學中的直角座標系。在經濟學中，蛛網模型就是用於市場均衡動態分析的一種理論模型。

大自然中有大量的對稱現象，例如昆蟲、獸類、鳥類、人體左右兩邊是關於對稱面對稱，有些植物花卉是關於旋轉軸L對稱。古希臘哲學家畢達哥拉斯曾說過，“美的線形和其他一切美的形體都必須有對稱形式”。

將整體分為兩部分，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值。這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。

黃金分割在人體的比例、動物的結構上，以及植物的形狀上都有呈現。

黃金分割比例被認為最早是由畢達哥拉斯發現，並在音樂中有廣泛應用。後來古希臘數學家歐多克斯第一次對這個比例進行了系統研究，其研究結果後被寫進歐幾里得的《幾何原本》， 成為最早有關黃金分割的論著。

這個比例後來更被天文學家開普勒稱為神聖比例。多年來，這個比例被公認為是最能引起美感的比例。有意思的是，這個似乎很主觀的“人為”比例，在大自然中卻是處處可見。

一個等腰三角形，如果兩個底角是72°，我們叫它黃金三角形。在正五邊形、五角星中隱含著黃金三角形。在大自然中，長成五角星形的動植物可不少。

長度和寬度的比例正好是黃金比例的矩形，被稱為黃金矩形。在大自然中具備黃金比例的生物很多。如蝴蝶的身長和翅寬比以及楓葉的長寬比。

圓周的角度是360°，那麼360°乘以黃金比例0.618≈222.5°，360°再減去222.5°等於137.5°，人們把137.5°稱為黃金角度。

在大自然的進化過程中，為了得到最充分的陽光、雨露和養分，植物的分叉、花葉的排列大都採用了這個角度排列，這也是最合理的排列方式。而按這個角度展開就是後面要提到的斐波納奇螺線。

葉片按黃金角度分佈無疑是要儘量避免互相遮蔽，爭取得到最多的陽光。一般來說旋轉一週回到原位叫一個週期，如果這個週期裡的葉片按有理數角度排列，那麼幾周後上面的葉子就會完全遮擋下面的葉子。

所以黃金角度一定是無理數，就是近似這個137.5°，這樣葉子就可以層層疊疊，共享陽光。

例如野菊花、車前草，葉柄基部呈螺旋式從根部向頂端分佈著，且相鄰兩片葉子之間角度恰為137.5°。

除了葉片排列，樹枝也不是隨便分叉的。樹的情況稍微複雜些，不同地區的樹種為適應當地的特性，會有一些改變，例如密林裡的樹就要千方百計地長高以 爭取陽光。而一般平原地區的樹，大都有個較大的樹冠以獲取陽光。

但要形成樹冠，樹枝一定要分叉，科學家們發現，分叉點的分佈也符合黃金角度。樹幹的直徑等於同一高度的樹枝束起來的總直徑。

至於分叉的結構和角度，受幾個因素影 響：分叉不能太小，這樣不利於吸收陽光；也不能太大，這樣會影響根部水分的傳輸，也不利於穩定及抵禦強風。這個不大不小的角度對於大多數的樹來說就是黃金角度。

在平面上按斐波納奇數列展開，得到的矩形就是黃金矩形，沿著黃金矩形的 對角走，我們得到了一條漂亮的螺線，這條螺線叫對數螺線（也叫等角螺線）。

瑞士著名的數學家雅科布·伯努利一直研究它，他太喜歡這條螺線了，甚至要求將這條螺線刻到他的墓碑上，並附言“縱使改變，依然故我”，儘管後來工匠悲劇性地誤刻成了阿基米德螺線。

事實上，植物的花瓣、樹葉，如薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿……都是按斐波納奇數列規律生長的。其原因其實是自然的：這樣的佈局是植物生長的最優方式，能使其疏密得當，最充分地利用陽光和空氣，在億萬年的進化過程中演變成了如今的模樣。

海洋軟體動物鸚鵡螺也是按斐波納奇數列規律生長的。

數學名詞“螺線”應該是從大自然中的螺來的，有意思的是鸚鵡螺身體上的螺線，就滿足黃金螺線，即對數螺線。

鸚鵡螺剖面顯示了一條清晰的橫隔生長線，像旋轉的樓梯，其外殼形成優雅的對數螺線：螺殼每向外轉動90°，半徑增長1.618倍；每向內轉動90°，半徑縮小0.618倍。

本文節選自圖書《大自然是個數學老師》，作者梁進。

在這本書裡，梁進教授用不少篇幅講了大自然中的數學。希望讀者們以此書為契機，揭開數學的神秘面紗，在自然中理解數學，運用數學知識解讀大自然。

本期推薦圖書《大自然是個數學老師》，長江少年兒童出版社出版發行