萊布尼茨和牛頓，圖片來自thegreatcoursesdaily.com
撰文 | 史蒂夫·斯托加茨（美國康奈爾大學應用數學系教授）
沒有微積分，我們就不會擁有手機、計算機和微波爐，也不會擁有收音機、電視、為孕婦做的超聲檢查，以及為迷路的旅行者導航的GPS（全球定位系統）。我們更無法分裂原子、破解人類基因組或者將宇航員送上月球，甚至有可能無緣於《獨立宣言》。
有一種罕見而有趣的歷史觀點認為，世界被一個神秘的數學分支徹底改變了。一個最初與形狀相關的理論，最終又如何重塑了文明？
我們可以從物理學家理查德·費曼的一句妙語中洞見這個問題的答案，這句話是他在與小說家赫爾曼·沃克討論曼哈頓計劃時說的。當時沃克正在為他計劃寫作的一部關於“二戰”的長篇小說做調研，他去加州理工學院採訪了參與過原子彈研發的物理學家，費曼就是其中之一。採訪結束臨別之際，費曼問沃克是否瞭解微積分。沃克坦承他並不瞭解， 於是費曼說道：“你最好學學微積分，它是上帝的語言。”
宇宙是高度數學化的，但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內的宇宙的唯一可行的存在方式，因為非數學化的宇宙無法庇護能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達出來。這類方程能描述某個事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個事物在這一點和在與該點無限接近的下一個點之間的差異。儘管細節會隨著我們探討的具體內容而有所不同，但自然律的結構總是相同的。這個令人驚歎的說法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個能讓萬物時時處處不斷變化的作業系統。微積分利用了這種規則，並將其表述出來。
艾薩克·牛頓是最早瞥見這一宇宙奧秘的人。他發現行星的軌道、潮汐的韻律和炮彈的彈道都可以用一組微分方程來描述、解釋和預測。如今，我們把這些方程稱為牛頓運動定律和萬有引力定律。自牛頓以來， 每當有新的宇宙奧秘被揭開，我們就會發現同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵從微分方程的規則。我敢打賭，這就是費曼說“微積分是上帝的語言”時想要表達的意思。如果有什麼東西稱得上宇宙的奧秘，那麼非微積分莫屬。
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人類在不經意間發現了這種奇怪的語言（先是在幾何學的隱秘角落裡，後來是在宇宙密碼中），然後學會熟練地運用它，並破譯了它的習語和微妙之處，最終利用它的預測能力去重構世界。
這是本書的中心論點。
如果這個論點是正確的，那麼它意味著關於生命、宇宙和萬物的終極問題的答案並不是42，為此我要向道格拉斯·亞當斯和《銀河系漫遊指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫遊指南》中的一臺超級計算機）的解題思路是正確的，因為宇宙的奧秘確實是一系列數學問題。
01 寫給每個人的微積分讀物費曼的那句妙語“微積分是上帝的語言”，引出了許多深奧的問題。什麼是微積分？人類如何斷定它是上帝的語言（或者說，宇宙基於這種語言在運轉）？什麼是微分方程？在牛頓的時代和我們的時代，微分方程為世界帶來了什麼？最後，這些故事和觀點如何能被有趣且清楚易懂地傳達給像赫爾曼·沃克那樣的友善讀者呢，他們勤于思考、充滿好奇心、知識淵博但幾乎沒有學過高等數學？
沃克在他與費曼邂逅故事的結尾部分寫道，他在14年裡始終沒有抽出時間學習微積分。他的關於“二戰”的長篇小說從原計劃的一部變成了兩部——《戰爭風雲》和《戰爭與回憶》，每部都長達1000頁左右。在完成這兩部小說後，他試圖透過閱讀像《微積分一點通》這樣的書自學微積分，但效果並不好。他翻閱了幾本教科書，用他自己的話說，就是希望“遇到一本合適的書，它可以幫助像我這樣對數學幾乎一竅不通的人。
我之所以寫作本書，就是為了讓每個人都能瞭解關於微積分的最精彩的思想和故事。我們沒必要採用赫爾曼·沃克的方法去學習人類歷史上這個具有里程碑意義的學科，儘管微積分是人類最具啟迪性的集體成就之一。我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳餚一樣。我將藉助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋我們需要了解的一切。我也會給你們介紹有史以來最精緻的一些方程和證明，就像我們在參觀畫廊的時候不會錯過其中的代表作一樣。至於赫爾曼·沃克，在我寫作本書的時候，他已經103歲了。我不知道他有沒有學會微積分，如果還沒有，這本書就很適合沃克先生。
02 由微積分主宰的世界現在你應該很清楚，我將從應用數學家的角度講述微積分的故事和重要性。而數學史家則會選擇不同的角度，純粹數學家亦然。作為一名應用數學家，真正吸引我的是我們周圍的現實世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現象引導著我們提出數學問題；反過來， 我們的數學想象有時也會預言現實世界中的事情。當這一切真正發生時， 將會產生不可思議的效果。
要想成為一位應用數學家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識。對我們這個領域的人來說，數學並不是一個由自我附和的定理和證明構成的原始、封閉的世界。我們會欣然接受各種各樣的學科：哲學，政治學，科學，歷史，醫學，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。
這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數學和相鄰學科中的許多分支，它們要麼是微積分的“表兄弟”，要麼是微積分的“副產品”。因為這種“大帳篷”觀是非常規的，所以我要確保它不會造成任何混淆。比如，我在前文中說過，如果沒有微積分，我們就不會擁有電腦和手機等，我的意思當然不是說微積分本身創造了所有這些奇蹟。事實遠非如此，科學和技術是必不可少的搭檔，或者可以說是這出大戲的主角。我只想說，儘管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們今天的世界做出了重要貢獻。
以無線通訊的發展史為例。它開始於邁克爾·法拉第和安德烈·瑪麗·安培等科學家發現的電磁定律，如果沒有他們的觀察和反覆修正， 那些關於磁體、電流及其不可見力場的重要事實將仍不為人所知，無線通訊的可能性也永遠無法實現。所以，實驗物理學在這裡顯然起到了不可或缺的作用。
但是，微積分同樣很重要。19世紀60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數學物理學家，將電磁場的基本實驗定律改寫為一種可進行微積分運算的符號形式。經過一番變換，他得到了一個毫無意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍首，並嘗試修正它，於是他在自己的方程中加入了一個新項——可以化解矛盾的假想電流，然後又利用微積分做了一番運算。這次他得到了一個合理的結果——一個簡潔的波動方程，它與描述池塘中漣漪擴散的方程很像。
只不過麥克斯韋方程還預言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場和磁場產生的。一個變化的電場會產生一個變化的磁場，一個變化的磁場又會產生一個變化的電場，以此類推，每個場都會引導另一個場向前運動，一起以行波的形式向外傳遞能量。當麥克斯韋計算這種波的速度時，他發現它是以光速運動的，這絕對是歷史上最令人驚喜的時刻之一。因此，他不僅利用微積分預測出電磁波的存在，還解開了一個古老的謎題：光的性質是什麼？他意識到，光就是一種電磁波。
麥克斯韋的電磁波預測促使海因裡希·赫茲在1887年做了一項實驗， 從而證明了電磁波的存在。10年後，尼古拉·特斯拉建造了第一個無線電通訊系統；又過了5年，伽利爾摩·馬可尼傳送了第一份跨越大西洋的無線電報。接下來，電視、手機和其他裝置也陸續出現了。
顯然，微積分不可能獨立做到這一切。但同樣顯而易見的是，如果沒有微積分，這一切就不會發生。或者更準確地說，即時有可能，也要很久之後才會實現。
03 微積分不只是一種語言麥克斯韋的故事展現了一個我們將會反覆看到的主題。人們常說數學是科學的語言，這是非常有道理的。在電磁波的例子中，對麥克斯韋而言，將他在實驗中發現的定律轉化為用微積分語言表述的方程，這是至關重要的第一步。
但是，用語言來類比微積分的做法並不全面。微積分和其他數學形式一樣，不僅是一種語言，還是一個非常強大的推理系統。依據某些規則進行各種符號運算，微積分可以幫助我們實現方程之間的轉換。這些規則有紮實的邏輯根基，儘管看上去我們只是在隨機變換符號的位置， 但實際上我們是在構建邏輯推理的長鏈。隨機變換符號的位置是有效的簡化手段，也是構建人腦無法處理的複雜論證過程的簡便方式。
如果我們足夠幸運和嫻熟，能以正確的方式進行方程變換，就可以揭示這些方程的隱藏含義。對數學家來說，這個過程幾乎是易於察覺的， 就好像我們在操控著方程，給它們做按摩，竭力讓它們放鬆下來，最後洞悉它們的秘密。我們希望它們能敞開心扉，跟我們交談。
這個過程離不開創造力，因為我們通常不清楚應該進行哪些操作。在麥克斯韋的例子中，他可以選擇的方程變換方式有無數種，儘管所有方式都合乎邏輯，但其中只有一部分能揭示出科學真相。因為麥克斯韋根本不知道自己要尋找什麼，除了毫無邏輯的語言（或者符號）之外， 他從方程中很可能什麼結果也得不到。但幸運的是，這些方程的確含有待揭示的秘密。在適當的刺激下，它們“吐露出”波動方程。
此時，微積分的語言功能再次掌控了主導權。當麥克斯韋將他的抽象符號轉換回現實時，它們做出了預測：作為一種不可見的行波，電和磁能一起以光速傳播。在接下來的幾十年裡，這一發現改變了世界。
04 不合理的有效性微積分竟然能如此出色地模擬大自然，這實在是太奇怪了，畢竟它們屬於兩個不同的領域。微積分是一個由符號和邏輯構成的想象領域， 大自然則是一個由力和現象構成的現實領域。但不知為何，如果從現實到符號的轉換足夠巧妙，微積分的邏輯就可以利用現實世界的一個真理生成另一個真理，即輸入一個真理，然後輸出另一個真理。我們先要有一個被經驗證明為真和用符號表述（就像麥克斯韋對電磁定律的改寫一樣）的真理，然後進行正確的邏輯操作，最後得出另一個經驗真理，這個真理有可能是新的，是從沒有人知道的關於宇宙的事實（比如電磁波的存在）。就這樣，微積分讓我們放眼未來，預測未知。正因為如此，它成了強大的科技工具。
但是，為什麼宇宙要遵循各種邏輯，甚至包括渺小的人類也能發現的那種邏輯呢？當愛因斯坦寫下“世界的永恆之謎在於它的可理解性” 時，讓他驚歎不已的正是這個問題；當尤金·維格納在論文《論數學在自然科學中的不合理的有效性》中寫下“數學語言在表述物理定律方面的適當性是一個奇蹟，是一份我們既不理解也不配擁有的奇妙禮物”時， 他想要表達的也是這個意思。
這種敬畏感可追溯至數學形成時期。相傳公元前550年左右，當畢達哥拉斯及其信徒發現音樂由整數比支配時，他就產生了這種感覺。想象一下，你在彈撥一根吉他弦，當弦振動時，它會發出某個音調。現在，把你的手指放在恰好位於弦中間的品格上，再撥一次弦。這時弦的振動部分只有最初長度的一半，即1/2，而它發出的音調恰好比最初的音調高八度（指在do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音階中，從一個do到下一個do的音程）。如果弦的振動部分是最初長度的2/3，那麼它發出的音調會比最初的音調高五度（從do到sol的音程，比如《星球大戰》主題曲的前兩個音調）。如果弦的振動部分是最初長度的3/4，那麼它發出的音調會比最初的音調高四度（《婚禮進行曲》的前兩個音調之間的音程）。
古希臘音樂家瞭解八度、四度和五度的旋律概念，並且認為它們很美妙。音樂（現實世界的和諧）與數字（想象世界的和諧）之間的這種出人意料的聯絡，引領畢達哥拉斯學派形成了“萬物皆數”的神秘信念。據說他們始終認為，即使是在軌道上執行的行星也會演奏音樂——天體之音。
此後，歷史上許多偉大的數學家和科學家都染上了“畢達哥拉斯熱”。天文學家約翰尼斯·開普勒尤為嚴重，物理學家保羅·狄拉克亦然。我們將會看到，“萬物皆數”的信念驅使他們去探尋、想象和追求宇宙的和諧，並最終推動他們取得了改變世界的發現。
05 無窮原則遺憾的是，大多數微積分課程都將這個主題埋藏在大量的公式、步驟和計算技巧之中。仔細想來，儘管它是微積分文化的一部分，而且幾乎每位專家都知道它，但我從未見過它在哪裡被闡明。我們不妨把它叫作“無窮原則”，無論是在概念上還是歷史上，它都會像引導微積分本身的發展那樣指引我們的討論過程。雖然此時此刻它聽起來好像胡言亂語， 但透過我們一步步地探索微積分想要什麼及其如何實現所想，理解無窮原則將變得越來越容易。
簡言之，微積分就是想讓複雜的難題簡單化，它十分痴迷於簡單性。這可能會讓你感到驚訝，因為微積分向來以複雜性著稱。而且，不可否認的是，一些權威的微積分教科書的篇幅都超過1000頁，重得像磚頭一樣。但是，我們不要急著做判斷或下結論。微積分無法改變自己的樣子，它的龐大笨重是不可避免的。它看起來複雜，是因為它要設法解決複雜的問題。事實上，它已經處理和解決了人類有史以來面臨的一些最困難和最重要的問題。
微積分成功的方法是，把複雜的問題分解成多個更簡單的部分。當然，這種策略並不是微積分獨有的。所有善於解決問題的人都知道，當難題被分解後，就會變得更容易解決。微積分真正不同凡響和標新立異的做法在於，它把這種分而治之的策略發揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休無止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個最微小並且可以想象的部分。之後， 它會逐一解決所有微小的問題，這些問題通常要比那個龐大的原始問題更容易解決。此時剩下的挑戰就是把所有微小問題的答案重新組合起來， 這一步的難度往往會大一些，但至少不會像原始問題那麼難。
因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數學術語來說，切分過程總是涉及無限精細的減法運算，用於量化各部分之間的差異，這個部分叫作微分學。重組過程則總是涉及無限的加法運算，將各個部分整合成原來的整體，這個部分叫作積分學。
這種策略可用於我們能夠想象的做無盡切分的所有事物，這類事物被稱作連續體，據說它們是連續的。比如，正圓的邊緣，懸索橋上的鋼樑，餐桌上逐漸冷卻的一碗湯，飛行中標槍的拋物線軌跡，或者你活著的時光。形狀、物體、液體、運動和時間間隔等都是微積分的應用物件， 它們全部或者幾乎都是連續的。
請注意這個創造性假設背後的真相。湯和鋼鐵實際上並不連續，儘管在日常生活的尺度上它們看起來是連續的，但在原子或超弦尺度上並非如此。微積分忽略了原子和其他不可切分實體造成的不便，這不是因為它們不存在，而是因為假裝它們不存在會大有幫助。正如我們將在後文中看到的那樣，微積分偏好有用的虛構。
更廣泛地說，被微積分建模為連續體的實體型別，包含了我們能想到的幾乎所有東西。微積分可以描述球如何不間斷地滾下斜坡，光束如何在水中連續地傳播，蜂鳥的翅膀或飛機機翼周圍的連續氣流如何使它們在空中飛行，以及患者開始採取藥物聯合療法後，他血液中的HIV（人體免疫缺陷病毒）顆粒濃度在接下來的日子裡如何持續下降。在每種情況下，微積分採取的策略都一樣：先把一個複雜而連續的問題切分成無窮多個簡單的部分，然後分別求解，最後把結果組合在一起。
現在，我們終於可以闡明這個偉大的理念了。
無窮原則：
為了探究任意一個連續的形狀、物體、運動、過程或現象（不管它看起來有多麼狂野和複雜），把它重新想象成由無窮多個簡單部分組成的事物，分析這些部分，然後把結果加在一起， 就能理解最初的那個整體。
06 石巨人和無窮這一切的難點就在於，我們需要和無窮打交道，這件事說起來容易做起來難。雖然謹慎而有限制地利用無窮是微積分的秘訣和它強大的預測能力的來源，但無窮也是微積分中最令人頭疼的問題。就像《科學怪人》中的怪物或者猶太民間傳說中的石巨人一樣，無窮往往會掙脫主人的控制。就像所有表現人類狂妄自大的故事一樣，怪物不可避免地會攻擊創造出它們的人。
微積分的創造者意識到了這種危險，但仍然發現無窮的魅力不可抗拒。當然，它偶爾也會發狂，帶來悖論、困惑和哲學災難。不過，數學家每次都能成功地征服無窮怪物，理順它的行為，讓它重回正軌。最終， 一切總會變好；微積分給出了正確答案，有時候就連它的創造者也無法解釋其中的原因。駕馭無窮並利用它的力量，這種慾望是一條貫穿微積分的2500年曆史的敘事線索。
07 曲線、運動和變化無窮原則圍繞著方法論主題構建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關，也與謎題有關。最重要的是，有三個謎題促進了微積分的發展，它們分別是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。
圍繞這些謎題的豐碩研究成果，證明了純粹好奇心的價值。關於曲線、運動和變化的謎題乍看上去可能並不重要，甚至還深奧到令人絕望；但因為它們涉及豐富多彩的概念性問題，再加上數學與宇宙的結構有著密不可分的聯絡，所以這些謎題的解決方案對文明的程序和我們的日常生活產生了深遠的影響。我們將在接下來的章節中看到，無論是在手機上聽音樂，在超市鐳射掃描器的幫助下輕鬆結賬走人，還是利用GPS裝置找到回家的路，我們都是在收穫這些研究帶來的好處。
一切都始於曲線之謎。在這裡，曲線的含義非常寬泛，指任何形式的曲線、曲面或曲面體，比如橡皮筋、結婚戒指、漂浮的氣泡、花瓶的輪廓或者一根義大利香腸。為了讓物體儘可能地簡單，早期的幾何學家通常只專注於探究它們的抽象、理想的曲線形狀，而忽略它們的厚度、粗糙度和織構。比如，數學中的球面被想象成一張無限薄且光滑的正圓形膜，而不是像椰子殼那樣有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形狀。
即使在這些理想化的假設條件下，曲線形狀也會帶來令人困惑的概念性難題， 因為它們並非由平直的部件構成。三角形和正方形很容易理解，立方體也一樣，它們都是由直線、平面和幾個角連線在一起構成的。計算它們的周長、表面積或體積，也不是一件難事。不管是在古巴比倫、古埃及、古代中國和古印度，還是在古希臘和古代日本，全世界的幾何學家都知道如何解決這些問題。但是，圓形物體則很棘手。沒有人能算出一個球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長和麵積，在古代也是一個難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便於理解的平直部件。總之，所有彎曲的東西都難以捉摸。
微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生於幾何學家對圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個時代的“喜馬拉雅山脈”，這並不是說它們造成了什麼重大的實際問題（至少一開始不是），而是說它們激發了人類的冒險精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險家一樣， 幾何學家之所以想解決曲線問題，是因為它們就在那裡。
有些幾何學家堅持認為“曲線事實上是由平直部件構成的”，這種觀點帶來了突破性進展。儘管這不是事實，但我們可以假裝它是真的。那麼，唯一的問題就在於，這些部件必須無窮小，而且數量無窮多。透過這個巧妙的構思，積分學誕生了，這是人們對無窮原則的最早應用。我們會用幾個章節的篇幅來介紹無窮原則的發展歷程，不過它的本質早在萌芽期就簡單直觀地展現出來了：如果我們讓顯微鏡的鏡頭不斷接近圓（或其他任何彎曲且光滑的物體），可觀測到的那部分曲線看上去就會變得平直。所以，透過加總所有平直的小部件來計算我們想要的曲線形狀的相關資訊，至少在原則上是可行的。
多個世紀以來，世界上最偉大的數學家都在努力探究這個難題的解決辦法。不過，透過共同的努力（有時還伴有激烈的競爭），他們終於在破解曲線之謎上取得了進展。我們將會在後面看到，今天與其相關的副產品包括：電腦動畫電影中用來繪製逼真的人物頭髮、服裝和麵部的數學工具，以及醫生在給真正的患者做面部手術之前，先給虛擬患者做手術時用到的計算工具。
當人們清楚地認識到曲線不只是幾何變換的結果時，對曲線之謎的探索達到了狂熱的程度。曲線是破解大自然奧秘的鑰匙，它們自然而然地出現在飛行球的拋物線軌跡中，也出現在火星圍繞太陽旋轉的橢圓軌道中。此外，在歐洲文藝復興後期顯微鏡和望遠鏡蓬勃發展之時，曲線還出現在可根據需要彎曲和聚焦光線的凸透鏡中。
於是，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽系中的運動之謎。透過觀察和巧妙的實驗，科學家在最簡單的運動物體中發現了迷人的數值模式。他們測量了鐘擺的擺動，記錄了球滾下斜坡的加速下降過程，還繪製了行星在天空中的執行軌跡。這些模式之所以讓發現者欣喜若狂（這是真的，當約翰尼斯·開普勒發現了行星運動定律時，他自稱陷入了“神明附體的狂熱”狀態），是因為它們似乎表明一切都出自上帝之手。從更世俗的角度看，這些模式強化了大自然具有深厚的數學根基的主張，就像畢達哥拉斯學派一直堅稱的那樣。唯一的問題是，沒有人能解釋這些不可思議的新模式，或者至少無法用已有的數學知識來解釋它們，即使是當時最偉大的數學家也無法用算術和幾何來完成這項任務。
問題在於，運動是不穩定的。在滾下斜坡的過程中，球的運動速度一直在變；在圍繞太陽旋轉的過程中，行星的運動方向也一直在變。更糟糕的是，當靠近太陽時行星的運動速度更快，而當遠離太陽時它們的運動速度減慢。那時，人們並不知道該如何處理這種以不斷變化的方式不停改變的運動。早期的數學家已經得出了描述最簡單運動——勻速運動——的數學公式，即距離等於速度乘以時間。但是，當速度改變而且是持續不斷地改變時，一切都變得不確定了。事實證明，運動跟曲線一樣，也是一座概念上的珠穆朗瑪峰。
我們將在本書的中間章節裡看到，微積分的下一次重大進步源於對運動之謎的探索。就像在破解曲線之謎時一樣，無窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創造性假設是，速度不停變化的運動是由無窮多個無限短暫的勻速運動組成的。為了直觀地說明這句話的意思，想象一下你正坐在一輛由新手司機駕駛的汽車裡，車速忽快忽慢。你緊張地盯著車速里程錶，它的指標隨著汽車的每一次顛簸而上下移動。但在1毫秒（0.001 秒）內，即便是駕車技術最差的人也無法讓車速里程錶的指標大幅移動。那麼，在比1 毫秒短得多的時間間隔（無窮小的時間間隔）內， 指標根本不會移動，因為沒人能那麼快地踩油門。
這些想法共同構成了微積分的前半部分——微分學。它不僅是在研究不斷變化的運動時處理無窮小的時間和距離變化所需的理論，也是在解析幾何（主要研究由代數方程定義的曲線，在17世紀上半葉風靡一時）中處理無窮小的曲線平直部件所需的理論。的確，代數曾一度令人瘋狂。它的普及對包括幾何學在內的所有數學領域來說都是一大福祉， 但它也創造出諸多難以駕馭的新曲線，有待人們去探索。17世紀中期，位於微積分舞臺中央的曲線之謎和運動之謎相互撞擊，在數學界引發了混亂和困惑。走出喧囂之後，微分學漸趨成熟，但仍有爭議。有些數學家因為草率地利用無窮而受到批評，有些數學家則嘲笑代數就是一堆符號的拼接。在這樣的爭吵聲中，微積分的發展時斷時續，非常緩慢。
之後，有一個孩子在聖誕節那天出生了。這個微積分的拯救者年幼時看起來完全不像一個英雄：他是一名早產兒，沒有父親，3歲時又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日後會在世界上留下空前絕後的印記。
他先是解決了微積分的“聖盃”問題，發現了將曲線的各個部件重新組合起來的方法，而且是簡單、快速和系統性的方法。透過把代數的符號與無窮的力量結合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無窮多條簡單曲線（用變數x的冪來描述，比如x2、x3、x4 等）的和。僅用這些“食材”，透過加一點兒x、少許x2 和滿滿一湯匙x3，他就可以“烹飪”出他想要的任何曲線。它好像一個主配方，使調味品、肉和菜合而為一。有了它，牛頓就能解決關於形狀或運動的任何問題了。
之後，他破解了宇宙密碼。牛頓發現，任何型別的運動都可以分解為每次移動一個無窮小步，而且每個時刻的變化都遵循用微積分語言表述的數學定律。他僅用幾個微分方程（他的運動和萬有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的執行軌道在內的所有現象。牛頓的驚人的“世界體系”統一了天和地，掀起了啟蒙運動，改變了西方文化， 對歐洲的哲學家和詩人產生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·傑斐遜和《獨立宣言》的起草。
在我們的時代，當NASA（美國國家航空航天局）的非裔美國數學家凱瑟琳·約翰遜及其同事（小說和熱門電影《隱藏人物》中的女主人公）設計宇宙飛船的飛行軌道時，牛頓的思想為她們提供了必要的數學計算方法，從而鞏固了太空計劃的基礎。
在破解了曲線之謎和運動之謎後，微積分轉向了它的第三個由來已久的謎題——變化之謎。永恆不變的唯有改變，儘管這句話是老生常談， 但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天；今天股票市場上漲， 明天股票市場下跌。受到牛頓正規化的鼓勵，後來的微積分研究者提出了一些問題：是否存在類似於牛頓運動定律的變化規律？有沒有適用於人口增長、流行病傳播和動脈中血液流動的定律？微積分可用於描述電訊號沿神經纖維傳導的方式，或者預測公路上的交通流量嗎？
在執行這項宏大計劃的過程中，微積分一直在與其他科技領域合作， 為實現世界的現代化做出了貢獻。透過觀察和實驗，科學家得出了變化定律，然後利用微積分求解並做出預測。比如，1917年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應用於一個簡單的原子躍遷模型，從而預測出一種被稱為受激發射的神奇效應。他對這種效應進行了理論闡述：在某些情況下，穿過物質的光能激發出更多波長相同和傳播方向相同的光，並透過一種連鎖反應產生大量的光，形成強烈的相干光束。幾十年後，這個預測被證明是正確的。第一臺可執行的鐳射器在20世紀60 年代初建成，從那時起，光碟播放機、鐳射制導武器、超市的條形碼掃描器和醫用鐳射器等裝置都離不開鐳射。
變化定律在醫學領域並不像在物理學領域那樣為人熟知。然而，即便被應用於基本模型，微積分也能對挽救生命做出貢獻。比如，我們在後面會看到一個由免疫學家和艾滋病研究者建立的微分方程模型，在針對HIV 感染者的現代三聯療法的形成過程中起到了什麼作用。這個模型提供的見解推翻了“病毒在人體內處於休眠狀態”的主流觀點；事實上， 病毒每時每刻都在與人體免疫系統進行著激烈的戰鬥。在微積分提供的這種新認識的幫助下，至少對那些有機會採取聯合療法的人來說，HIV感染已經從幾乎被判了死刑的疾病轉變為可控制的慢性疾病。
《微積分的力量》，由中信出版社出版
不可否認的是，我們身處一個不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無窮原則固有的近似性和出自主觀願望的想法。比如，在亞原子領域，物理學家不能再把電子想象成像行星或炮彈那樣沿光滑路徑運動的經典粒子。根據量子力學，在微觀尺度上，電子的運動軌跡會發生抖動，變得模糊不清和難以確定，所以我們需要將電子的行為描述成機率波，它不再遵循牛頓運動定律。然而，在我們做了這樣的處理後，微積分又一次勝利歸來，它透過薛定諤方程描述了機率波的演化過程。
儘管這令人難以置信，但它卻是事實：即使在牛頓的物理學行不通的亞原子領域，他的微積分也依然有效。事實上，它的表現相當出色。我們將在後文中看到，微積分與量子力學共同預測出醫學成像的顯著效果，為MRI（磁共振成像）、CT（計算機斷層成像）掃描和更加神奇的PET（正電子發射斷層成像）奠定了基礎。
現在是時候去更深入地瞭解宇宙的語言了，當然，我們這趟旅程的起點是“無窮”站。