樹大根深，山高“根”深！樹大招風，山大也招“風”！

如果我們在地球表面想測量引力產生的加速度，有很多可行的方法可以做到這一點：

測量自由落體中物體的速度，測量一個定長擺的週期，或者簡單地計算一個物體下落一定距離需要多長時間，

還有很多其他的方法。但現代科技如此發達，我們也可以隨身攜帶一個加速計，來測量加速度。我們在以前的物理課上學過地球表面的物體都會受到一個向下的加速度，數值為9.81米/秒^2。但事實證明，這只是地球表面所有點的平均加速度。在現實生活中，加速度的值有一些實質性的變化，原因有四：

地球正在自轉。

這是最簡單的一個原因。如果地球靜止不動，根本不旋轉，那麼我們的地球就會是一個完美的球體。但是地球旋轉得越快，在赤道就會鼓脹的越高，在兩極附近就會被壓縮。因此我們的地球比一個平面圓或者一個完美的球形物體看起來更像一個橢球體，其赤道半徑比極地半徑大31公里。

就太陽系內的世界而言，其實地球旋轉的速度並不是很快。

例如，矮行星妊神星（Haumea）的赤道半徑據估計是其極地半徑的兩倍，這就是由於它難以置信的快速自轉造成的。由於兩極更靠近天體的中心（更靠近行星稠密品質的中心）因此兩極的引力也更強，而赤道的引力更弱。雖然這種現象在地球上不那麼明顯，但道理是一樣的。

在地球上，北極的重力加速度略高於平均水平，為9.83米/秒^2，而在赤道“只有”9.79米/秒^2。看起來差別並不大，但卻是可以測量到，假如我們在極低和赤道處各放一個相同的擺鐘，一個月的時間足以讓赤道的擺鐘慢一個多小時！

地球受到其他天體的引力作用。

潮汐力不僅適用於海洋。當然，我們的液體海洋（形狀不確定但體積固定）比地球上的固體岩石更容易被潮汐力推、拉和變形，但潮汐力也同樣會影響地球地殼的形狀。雖然差別影響不大，但這些力量確實存在。就像木衛一（離木星最近的大衛星）這樣的星球，由於木星強大的潮汐力作用，其地殼經常被撕裂，大量熔岩噴出淹沒地表，然後重新冷卻。雖然它只是一個衛星，但其比任何一個行星的地質還要活躍。

這也是為什麼，在太陽系的所有衛星中，木衛一是唯一一個表面沒有隕石坑的衛星。在地球上，真正影響地球形狀的只有月球和太陽。儘管這些影響很小，但它們也可以測量到，其作用方式與地球自轉的作用相同：通過使我們離地心更近或更遠，從而改變地球的重力加速度。

地球具有的地質特徵。

就像巨大的山脈和峽谷，它們改變了我們與地球中心的距離。牛頓的萬有引力定律告訴我們：任意兩個物體之間的力（也就是加速度，因為F = ma）隨著它們之間距離的平方變弱。距離增加1%左右，這些物體之間的力下降約2%。(這個可以看公式自己算出來。)

因此，當我們站在一座大山的山頂上時，離地心的距離比在海平面上時更遠。當我們在海底時，比在海平面更接近地球的中心。

但是，如果我們站在山頂上，整個山的品質都在腳下，這肯定會對重力加速度有點貢獻，站在海面上，腳下是整個海洋，即使在空中飛行，下方的空氣品質也會把我們拉向地心。雖然距離增加了，但品質也增加了。這樣考慮的話，山頂的重力應該比預期值要大一些。

所以我們需要做的就是讓衛星飛到地球上方並繪製出地球表面的重力圖，測量出繞地球軌道執行時每一點的引力。

測量的結果似乎也不奇怪：在地球海拔最低的地方（最靠近地球中心的地方）重力加速度最大，而地球海拔最高的地方（離地球中心最遠的地方）重力加速度最小。這是意料之中的，因為地球的密度隨著向中心移動會急劇增加。

但是構成山脈的岩石（地殼的岩石）的密度約為2.7 g/cm^3，或略小於水密度的三倍，而地球的總密度是水密度的兩倍。如果一直向下到核心，密度預計會是表面密度的五倍。

所以如果我們把所有這些都考慮進去：地球內部的結構，山脈，海洋，大氣等等。有些事情就有點不符合事實。如果我們精確的測量了山頂和海底的重力，就會發現一件奇怪的事情：山頂的重力遠遠低於我們的預期值！這就引出了最後一個，最意想不到的問題。

地殼“漂浮”在地幔之上，山脈就像漂浮的冰山

我們發現山脈下的地殼比海洋下的地殼要厚得多！不考慮被海洋或山脈取代的大氣，這就是自由空氣修正。不考慮海平面以上有“額外的山”（或任何陸地），這就是布格修正。

但上頂上重力過低與預期值是怎麼回事？如果想要得到一座高出海平面的山，就必須記住地殼漂浮在地幔之上，這意味著地球上最厚的地殼出現在最高的山脈，最薄的地殼出現在最深的海溝！

如果我們想要到達地幔，最好的辦法就是潛入海底並在那裡進行挖掘，“只要”穿過大概3公里的地殼，就可以達到地幔，而不是爬上喜馬拉雅山。這個概念被稱為地殼均衡補償，實際上是由著名的英國天文學家喬治·艾裡發現的。

它闡明地殼的各個地塊趨向於靜力平衡的原理，即在大地水準面以下某一深度處常有相等的壓力，大地水準面之上山脈（或海洋）的品質過剩（或不足）由大地水準面之下的品質不足（或過剩）來補償。

也就說，雖然在海平面上有品質過剩的山體，但在山體下有巨大的山根，其密度相對於地幔較低。雖然海底上海洋密度較低，明顯品質不足，但這裡的地殼很薄，有密度較大的地幔作為品質補償。一般來說，山根深度基本上是山高的5.6倍，其實就是阿基米德原理。看下圖。

因此與直覺相反，如果我們想要腳下的品質最少，就需要爬到最高的山峰。

即使是我們所能看到的最高的山脈，也有很大一部分位於地下，從地幔中佔據了很大一部分體積。如果你想知道為什麼一座山的高度是有極限的，那是因為在它在開始擴張之前，地殼能穿透地幔的深度是有限的。也就是說山越高，山根越深。

當我們把牛頓萬有引力這樣簡單的概念應用到一個新的情況，比如地球的層面，它告訴我們，科學仍然充滿了違反直覺的驚喜。