數學家們（尤其是研究空間關係的拓撲學家）是如何看待洞（孔）的呢？

在日常語言中，“洞”有幾種不同的含義，一種是地上的坑，另一種則是物體上的開口，如穿山越嶺的隧道或紙上的孔。還有一種是完全封閉的空間，比如乳酪中的氣穴。拓撲學家會說，除了第一個例子外，所有的例子都是洞。但是為了理解為什麼以及為什麼數學家會關心洞，我們必須回顧一下拓撲學的歷史，從它與幾何學的區別開始。

在幾何學中，圓形和多面體等形狀是剛性物體，它們的屬性有長度、角度和麵積等。但在拓撲學中，形狀是有彈性的，就像用橡膠做的一樣。拓撲學家可以自由地拉伸和扭轉形狀。允許剪下和粘接。球體和立方體是截然不同的幾何物體，但對拓撲學家來說，它們是無法區分的。如果你想從數學上證明T恤和褲子是不同的，你應該去找拓撲學家，而不是幾何學家。解釋是，它們有不同數量的洞！

萊昂哈德·尤拉在18世紀開始了對形狀的拓撲學研究。你可能會認為，到那時數學家已經知道了關於多面體的幾乎所有知識。但在1750年，尤拉發現了我認為最偉大的定理之一：

如果一個多面體有F個多邊形面，E條邊和V個頂點，那麼V - E + F = 2。

例如，一個足球有20個白色六邊形和12個黑色五邊形，總共有32個面，以及90條邊和60個頂點。60 - 90 + 32 = 2。這一基本的觀察結果與數學的許多領域都有很深的聯絡，而且非常簡單，可以教給幼兒園小朋友。但它卻躲過了歐幾里得、阿基米德和開普勒等偉大幾何學家，因為它的結果並不依賴於幾何學，而是拓撲學。

尤拉假設多面體是凸的，這意味著連線任意兩點的線段完全在多面體內。不久之後，學者們發現尤拉公式的非凸例外。例如，在1813年，瑞士數學家西蒙·呂維爾認識到，如果我們在多面體上打一個洞，使它更像甜甜圈，改變它的拓撲結構，那麼V - E + F = 0。

有趣的是，雖然尤拉和呂維爾把他們的多面體想象成實心的，但尤拉公式僅用零維頂點、一維邊和二維面來計算。所以尤拉數（V - E + F）實際上是從多面體的二維表面推匯出來的。我們可以把這些形狀想象成空心的貝殼。

此外，重要的是物件的拓撲結構。如果我們用橡皮泥做一個多面體，用記號筆在邊緣上做記號，然後把它搓成一個球，面和邊會變彎，但數量不變。對於任意形狀的球面，它的尤拉數是2；對於像甜甜圈一樣的環面，它的尤拉數是0；對於平面圓盤，尤拉數是1等等。每個曲面都有自己的尤拉數。這種對尤拉公式的拓撲理解最早是在1861年由約翰·林克所寫的一篇文章中提出的。

尤拉數V - E + F，對於球面是2，環面是0，圓盤是1，雙環面是-2。

大約在同一時期，伯恩哈德·黎曼在研究複數中觀察到一種計算孔洞的方法是透過觀察物體在不被分割的情況下可以切割多少次。對於一個有邊界的表面，例如一個有兩個邊界圓的吸管，每次切割都必須在一個邊界上開始和結束。因此，根據黎曼的說法，因為一根吸管只能被割一次，所以它只有一個孔。如果表面沒有邊界，如空心的環面，可以被切割兩次，所以根據這個定義，它有兩個孔。

一根吸管可以切割一次而不斷開，一根空心的圓環可以切割兩次。

昂利·彭加萊是另一個拓撲學大師，他在1895年發表了開創性的文章《拓撲學》。在這部以及後續的五部續作中，彭加萊種植了無數的拓撲種子，這些種子在未來的幾十年裡生長、開花和結果。其中值得注意的是“同源”的概念，彭加萊引入了這個概念來將黎曼的思想推廣到更高的維度。透過同源性，彭加萊旨在涵蓋一切，從吸管到活頁紙上的黎曼一維圓孔，再到乳酪中的二維空洞孔，甚至更高維度。這些洞的數量被稱為該物體的貝蒂數。

同源的現代定義相當複雜，但它大致是一種將特定的數學物件與每一個形狀聯絡起來的方法。我們可以從這個物體中提取出更簡單的形狀資訊，比如它的貝蒂數或尤拉數。

為了瞭解什麼是同源數和貝蒂數，讓我們首先關注一維。我們將從在一個表面上看“環”開始。規則很簡單，這些環可以自由滑動，但它們不能離開表面。在某些表面上，如圓盤或球體，任何環都可以收縮為一個點。這樣的空間具有同源性。但其他表面如吸管或環面，都有繞在孔周圍的環，它們具有非同源性。

環面向我們展示瞭如何形象化貝蒂數。我們可以在環面上畫出無窮多個環，這環擁有一種優雅的數學結構。讓我們把穿過中心孔和環繞管子的一個迴路稱為a（如下圖）。因為一個迴圈可以繞著管子轉一次、兩次或任意次數，而且方向很重要，所以我們可以用a、2a、-a等等來表示這些環。然而，並不是每個環都是a的倍數，比如沿著環面的長周長繞著中心孔的環，我們可以稱之為“b”（圖下圖）。在這一點上，環面上的任何環都可以由a和b組合而成，這意味著環在一維中的貝蒂數為2，與黎曼切的數目相同。

環面上有無窮多個不同的環。有向環路a、b和c都是不同的，但是c可以變形得到環路a和環路b的並集。

如果環c等價於環a和環b的結合，我們寫c = a + b。同源的群結構是在20世紀20年代由埃米·諾特發現的。多虧了諾特的觀察，數學家們現在可以利用代數來理解拓撲。例如，我們可以用數學的方法確定一根吸管、一件t恤和一條褲子都是拓撲結構上不同的物體。因為它們有不同數量的孔。

最後，拓撲學家是如何計算孔的呢？使用貝蒂數字。第0 個貝蒂數（b_0）的是一種特殊情況。對於單個連通形狀，b0 = 1。正如我們剛才看到的，第一個貝蒂數（b_1）是一個形狀的圓形孔的數量（像圍繞圓柱形吸管的圓圈）。龐加萊向我們展示瞭如何在更高的維度下計算同源性以及相關的貝蒂數，第二個貝蒂數（b_2)是空洞的數量（就像那些在球體、環面和乳酪內的空洞）。更一般地說，b_n計算n維洞的數量。

儘管數學家已經對同源有了一個基本的認識，代數拓撲學仍然是一個活躍的研究領域，進一步將代數和拓撲學結合在一起。研究人員也在向其他方向拓展，發展計算數字表示形狀的同質性所需的理論和演算法，構建工具來識別大型資料集（通常位於高維空間）的潛在形狀。

就像許多純粹的數學領域一樣，拓撲學已經證明了它在現實世界的價值，而不僅僅是解決一根吸管有多少洞的問題。