什麼原因導致哈勃紅移？是光波隨著宇宙的膨脹被“拉長”了，還是因為遙遠的星系遠離我們而產生的光的多普勒頻移？

簡而言之，都是。多普勒頻移解釋是對“拉伸光”解釋的線性近似。從一個視角切換到另一個視角相當於（彎曲的）時空中座標系的變化。

在深入討論細節之前，展示兩個座標系的圖片。左邊的系統對應於多普勒頻移解釋：隨著星系逃離我們，它們的徑向座標增加。右邊的系統稱為共動座標系：它們與逃逸的星系一起擴充套件，所以徑向座標保持不變。

兩個座標系

詳細的解釋需要看弗裡德曼-羅伯森-沃克（FRW）的時空模型。著名的“膨脹氣球散佈星系”提供了一個視覺類比；就像任何類比一樣，只看表面它會誤導你，但認真理解能得到一些深刻的領悟。

直接在氣球上繪製座標系。它們定義了共動座標（在圖片的右邊）。想象一下兩個斑點（“星系”）嵌入在橡膠表面。散斑的運動座標隨氣球的膨脹而變化，但散斑之間的距離卻不斷增大。在共動座標系中，我們說斑點不移動，但“空間本身”在它們之間伸展。

例如，一個蟲子開始從一個斑點爬到另一個斑點。在第一隻蟲子離開一秒後，它兄弟開始跟著它移動。（把蟲子想象成兩個光脈衝，或者一束光中連續的波峰）顯然蟲子之間的間隔會在它們的旅行中增加。在共動座標系中，光在其旅程中被“拉伸”。

現在我們切換到圖片左邊的座標系，這個座標系只在一個鄰域內有效（但是足夠覆蓋兩個散斑）。想象一個乾淨、柔韌、無拉伸的貼片，在一個斑點處貼在氣球上。貼片貼在氣球表面，當氣球膨脹時，氣球會在貼片下面滑動。（蟲子在貼片下面爬行）我們在貼片上畫出座標系。在貼片座標系（我稱之為貼片座標系）中，第二個斑點離第一個斑點逐漸遠去。所以在貼片座標系中，我們可以把紅移看作是多普勒頻移。

這在視覺上有吸引力嗎？我認為是這樣。但這個解釋忽略了一個關鍵點：時間座標。FRW時空完整地配備了一個特殊的時間座標（稱為共動或宇宙學時間）。例如，一個共同運動的觀測者可以通過周圍散斑的平均密度或宇宙背景輻射的溫度來設定時鐘。（從純數學的觀點來看，共動時間座標是由某種對稱性決定的）。

GR為我們提供了一個可以選擇的無限時間座標，但是讓我們來看看宇宙學時間。注意，這不是狹義相對論中通常的選擇：儘管兩個散斑快速分離，但它們的宇宙學時鐘保持同步。與通常的SR影象不同的是一個更深層次的事實：除了氣球表面明顯的“空間”曲率外，FRW時空也有“時間”曲率。事實上，並不是所有的FRW時空都具有空間曲率，但（有一個例外）都具有時間曲率。

讓我詳細說明一下。在貼片座標系中，蟲子（光脈衝）參與了所謂的哈勃流：蟲子以速度c相對於氣球表面移動，所以以速度c+v相對於貼片移動，v是氣球表面相對於貼片的速度。當然v會隨著距離變化，但是根據哈勃定律，在距離r處，v=Hr 。現在如果蟲子朝著貼片移動而不是遠離貼片，他們在貼片座標系中的速度應該是c-v而不是c+v。可以說，它們將逆流而上與膨脹的流動空間作鬥爭。更不巧的是，光速在貼片座標系中是各向異性的。

讓我們用這兩種方法計算紅移的程度。首先用多普勒頻移的方法，如前文所述，這是一個近似方法，僅當以下兩個假設成立時適用。第一，斑點必須足夠近，以至於它們不會快速地遠離彼此；第二，在光波從一個斑點傳播到另一個的時候哈勃“常數”H不能變化太多。

先來討論一個蟲子（換言之，一個波峰）在宇宙學時間t_0時刻出發，第二個蟲子在t_0+∆t時跟上。所以週期為∆t（我們假設∆t很小）。我們使用的是一個座標貼片，其中第一個散斑不移動，而兩個散斑都使用宇宙學時間，因此我們使用固定源、移動接收器的多普勒公式的標準非相對論推導是合適的。假設第一個蟲子在t_1時刻到達“移動的”散斑，徑向座標為r。第二個蟲子在t_1+∆t時刻穿過相同的座標線（或者說到達r）。此時，散斑移動到了r+Hr∆t處。因此第二個蟲子必須以相對速度c（散斑和蟲子都由哈勃流攜帶）彌補附加分離量Hr∆t，所以到達散斑的時間不同：

∆t+Hr∆t/c

所以週期增加了Hr∆t/c。而光波的波長與其週期成正比。設λ為初始的光波長，∆λ為波長的變化，並設z=∆λ/λ（標準符號）。有：

z=∆λ/λ=(Hr∆t/c)/∆t=Hr/c

（有一點值得討論：以上假設了週期∆t在傳播過程中不變，我們並沒有假設在蟲子之間的距離中傳播的波長不變，事實上也沒有。但是週期∆t確實變化了，因為我們假設哈勃常數H不變。）

“拉伸”的理論更簡單。在這裡，徑向座標記為r_1，不變。距離在宇宙學時間t時為r=R（t）r_1，距離改變了。這裡的R（t）為膨脹係數，更多關於R如何隨著時間t變化的細節在FRW模型中。現在需要的就是R和H的關係。顯然，退行速率是（dR/dt）r_1，並且由哈勃定律可知，它等於HR（t）r_1（退行速率和距離成正比），r_1消去有：

H=(dR/dt)/R

我們假設在t=t_0時初始波長為λ；經過一段時間到達了第二個散斑，它被拉伸了(R(t_1))/R(t_0 ) .所以

z=∆λ/λ=(R(t_1))/R(t_0 ) -1=(R(t_1 )-R(t_0 ))/R(t_0 )

但是根據通常的微積分極限，R(t_1 )-R(t_0 )≈（dR(t_0 )/dt）(t_1-t_0).對時間的估計是依據距離除以速度，t_1-t_0=(R(t_0)r_1)/c=r/c

所以，z≈(dR(t_0 )/dt r/c)/R(t_0 ) =Hr/c

這裡再強調這個公式不適用於大的紅移，在大紅移中哈勃常數H會發生很大的變化。

參考資料

1.Wikipedia百科全書

2.天文學名詞

3. math- Misner