德國哲學家、數學家萊布尼茨
在本文中，我將介紹萊布尼茨的研究，特別是關於數學和哲學。我也將解釋萊布尼茨如何理解證明和分析的概念。最後，我將關注萊布尼茨在神學和形而上學中的作用。
通用表意文字拉丁術語“charactertica Universalis”，在英語中通常被解釋為普遍特徵，是萊布尼茨想象用來表達數學、科學和形而上學概念的一種普遍的正式語言。因此，萊布尼茨希望創造一種可以在通用邏輯計算或微積分推理框架內使用的語言。
萊布尼茨的通用表意文字，他的微積分推理的基礎萊布尼茨意識到，政治或哲學辯論和研究並不遵循數學方法。根據萊布尼茨的說法，數學家也可能像其他人一樣犯錯誤，但他們也有一些工具來發現他們的錯誤。然而，哲學家沒有和數學家一樣的工具，所以他們往往會犯更多的錯誤。哲學中有亞里士多德主義者或柏拉圖主義者，而數學中沒有“歐幾里得”或“阿基米德”主義。根據萊布尼茨的觀點，有必要將思想數學化，以結束由感情而非正義主導的爭吵。
為了使思想形式化，符號和規則必須出現在數學中。正如萊布尼茨解釋的那樣，“普遍性特徵”是揭示我們思維的字母表，並分析基本概念。基於這些概念，所有的事情都將被明確地判斷。因此，主張兩種不同觀點的哲學家之間就不需要發生衝突；他們會坐在一起說，讓我們計算。他們將能夠計算出他們思想的準確性！
萊布尼茨的普遍特徵理論是一種計算公式。這個想法是基於將基本的或不可約的想法與質數相匹配。一個數字表徵了每一個基本思想，即特徵數。讓我們引用萊布尼茨在其關於數值特徵樣本的文章中的例子。假設給我們一對數字(13,5)和(8,7)，分別代表“動物”和“理性”的基本概念，以迴應“人是理性動物”的命題。代表“人”概念的數字將是 ([13 · 8], [-5 · 7]) = (104, –35)。由於素數的數目是無限的，所以一個數、一對數或三組數可以被分配給所有的基本概念。其他複合概念可以透過質數獲得，並且可以對映整個語言。
二進位制數字系統在萊布尼茨之前，二進位制數字系統已經被人所知，但萊布尼茨是第一個系統地、成熟地研究它的人。在一封信中，萊布尼茨寫下了他是如何從無到有創造萬物以及二進位制數字系統的。這是萊布尼茨在神學和數學之間相互作用的一個例子，我將在後面提到。
萊布尼茨遵循畢達哥拉斯的學說，生成萬物的起源或本質是一個數字。眾所周知，在二進位制數字系統中，所有的數字都可以用0和1表示。萊布尼茨將“0”解釋為“虛無”，“1”解釋為“上帝”，他聲稱二元系統象徵著創造，因此萬物都可以在這個系統中表達。對萊布尼茨來說，所有東西都是0和1的混合物。
對萊布尼茨來說，二進位制數字系統揭示了上帝創造一切。在二進位制系統中，任何一個數字可能看起來都不漂亮，但當它們一個寫在另一個下面時，它們在整個系統中的順序似乎很漂亮。同樣，世界上可能有一些東西我們不喜歡，但當我們有了正確的視角，我們就會看到它是完美的。
萊布尼茨的數字神秘主義並沒有就此結束，他還說了一些其他的話，比如上帝喜歡奇數。萊布尼茨說，創世後的第七天在二元系統中是一個非零的數字，他補充了許多關於上帝在6天內創造世界的數字類比。它也指出111點代表三位一體。
現代概念證明科學哲學家Ian Hacking曾指出，笛卡爾不知道當代意義上的證明是什麼。萊布尼茨對現代證明的思考更接近。他認為笛卡爾的數學準確性是獨立於證明的。對於笛卡爾來說，即使一件確切的事情沒有被證明，它本身也是正確的。因此，某物的真值和它的證明是不相關的。
雷內·德斯卡特斯笛卡爾並不是在尋求證明，而是在尋求提供新的數學結果的實用方法。喚起現代證明概念的是，萊布尼茨認識到一個證明是有效的，不是因為它的內容，而是因為它的形式。因此，證明是根據特定的邏輯規則，從特定的恆等式開始，由特定的句子組成的有限個數的序列。如果我們回想一下笛卡爾的方法，他在收集新資訊時非常重視直覺，而在萊布尼茲式的證據感知中，最重要的是找到我們所擁有的句子的“機械的”證據。
他那個時代的思想可能影響了萊布尼茨提出的證明的思想。萊布尼茨對在他的時代出現的證明概念提供了一個合理的解釋。當把幾何作為精度的衡量標準時，很難達到現代證明的概念，這是因為幾何證明主要基於其“內容”。這種證明的有效性取決於它們是否符合所研究幾何物件的已知性質。笛卡兒的幾何代數化開闢了一種將證明轉化為正式形式的途徑。
分析與主語相同或包含謂語的主語稱為分析型的。例如，對萊布尼茨來說，當我們說“所有的人都活著”時，我們的意思是，活著的概念是在作為人的概念之內的，所以這個陳述是分析性的。根據萊布尼茨的理論，所有的數學真理都是合乎邏輯的。
眾所周知，伊曼努爾·康德透過努力改變萊布尼茨的現實概念，引入了分析-綜合的區別。康德認為，分析性的先驗知識是透過使用邏輯而獲得的資訊。綜合先驗是利用時間和空間直覺所獲得的資訊。康德認為，算術線與幾何線是在本能的基礎上先天合成的。在這裡我們想要強調的是，萊布尼茨對分析和正義性的暗示（儘管康德已經改變了這些含義）塑造了弗雷格和羅素等邏輯學家的基本主張。20世紀初，他們試圖把所有的數學陳述都歸結為邏輯。此外，萊布尼茨的“公理可以被證明”的思想很可能影響了邏輯學家。此外，萊布尼茨自己也試圖用數學證明的方法來證明這些原理。
萊布尼茨的證明概念和分析概念是互補的，因為在證明的過程中，從另一個陳述中推匯出的任何陳述都符合分析的概念。
數學與上帝到目前為止，我們已經接觸到萊布尼茨的一些數學觀點。本文提出的一個問題是，萊布尼茨的數學方法不能與他的神學、形而上學或哲學觀點區分開來。我們在上面提到過，例如，萊布尼茨不理解二進位制數字系統作為一個算術問題。正如佈雷格所引用的，對萊布尼茨來說，數學和神學就像是通往上帝的梯子上的臺階。要理解萊布尼茨，他所假定的數學、神學和形而上學之間的關係都是需要解決的問題。這種複雜的問題不能在這篇簡短的文章中詳細討論，我將只闡述幾點，以給讀者一個概念。
萊布尼茨希望他的數學成就能引起人們對他的哲學和神學思想的注意。萊布尼茨個人層面的“機會主義”反映了他所處時代社會階層的另一種機會主義。到中國的基督教傳教士利用歐洲的數學成就給中國人留下深刻印象，後來將他們基督教化。事實上，對萊布尼茨來說，普世特徵法是向那些不相信上帝的人展示真理的最安全的方法，因為它會像一個尺度一樣測量和顯示一切事物的精確值。換句話說，傳教士用這種計算方法向非基督徒展示真理的事實將足以使他們皈依基督教！
萊布尼茨用數字來表示普遍特徵是有形而上學基礎的。萊布尼茨對柏拉圖所說的“上帝創造萬物是根據尺度、數字和重量”這一信念進行了探討。萊布尼茨認為，有些物體沒有重量，所以它們的重量無法計算；有些物體沒有尺寸，所以它們的長度無法測量，但任何東西都可以計算。總之，數字是一切事物的本質。
根據萊布尼茨的說法，上帝是一位完美的數學家。創造的行為以“神性數學”發生。萊布尼茨在他的著名論文《論事物的終極起源》中說，萬物的起源是“形而上學的機制”或“神聖的數學”。世界上的一切事物都是按照一定的尺度和規律而存在的，這些規律不僅是“幾何的”，而且是“形而上學的”。
對萊布尼茨來說，一個有自由意志的世界，即使存在殘酷和邪惡，也比一個沒有殘酷、邪惡和自由意志的世界要好。這就是上帝創造了一個充滿邪惡的世界的解釋。在所有可能的世界中，為什麼上帝以這種方式創造了這個世界，而不是另一種方式？
在萊布尼茨看來，這是一個完美的世界。所以，作為一個理想的數學家，上帝計算了所有可能的世界，並創造了其中最好的。一個最好的例子是獅子是危險的動物，但沒有它們，這個世界將不那麼完美。此外，我們對這個世界幸福程度的評估僅限於我們迄今所知道和經歷的事件。然而，上帝選擇了這個完美的世界，考慮到所有的時間和所有的創造。萊布尼茨在這方面給出的另一個例子是，一個出生在監獄裡的人不能透過環顧四周來判斷整個世界是邪惡的。畢竟，對萊布尼茨來說，個人只看到一個特定的部分，而上帝透過考慮所有的因素來決定。
相反的結果大衛·希爾伯特為萊布尼茨思想的正式數學形式辯護，並相應地提出了一個程式。欽佩萊布尼茨的哥德爾證明了不完全性定理，並表明諸如“通用表意文字”這樣的程式註定會失敗，不僅是在哲學上，甚至在數學上。
萊布尼茨把形而上學和神學部分地建立在數學的水平上，帶來了嚴重的問題。從某種意義上說，萊布尼茨把一切都歸結為計算。例如，他把上帝簡化為一個解決數學問題的計算器。這似乎是自相矛盾的，但很明顯，這樣一個上帝在沒有數學解答的問題上沒有發言權。萊布尼茨說，在某些地方，即使是上帝也不能做永恆的工作。當他把上帝塑造成數學家時，萊布尼茨明白，即使是上帝也不能勝任數學家能勝任的工作。比如說，上帝不能進行無限的操作。儘管如此，他仍然可以看到結果。
此外，萊布尼茨認為，在具有絕對數學精度的情況下，其本身不可能存在不止一個一致的數學系統。這就提出了一個萊布尼茨並不感興趣的問題，即上帝使用的是哪種數學。到目前為止，數學在萊布尼茨的所有思想中都佔有重要的地位。他認為，數學家必須是哲學家，正如哲學家必須是數學家一樣。萊布尼茨說他的形而上學是數學的，可以用數學來寫。
萊布尼茨說：“我一開始是哲學家，但後來成了神學家。”今天，如果有人想要理解萊布尼茨的哲學，他們仍然會遇到主要問題，那就是萊布尼茨作品中數學與哲學、形而上學和神學的關係。