在這篇簡短的介紹性文章中，我將帶你進入一個奇異的質數世界的小旅程。這一切都始於法國一個男孩的出生，他後來成為那個時代最偉大的科學家、哲學家和數學家之一。

馬林·梅森生於1588年9月8日。他是一位牧師、科學家和數學家，研究各種有趣的東西，從樂器上的振動弦到不同的數學領域。從某種意義上說，梅森在當時是一個科學標杆，與伽利略、笛卡爾、帕斯卡、皮埃爾·德·費馬等科學家和哲學家通訊。

他最著名的是他對某些型別的質數的研究，現在被稱為梅森質數。這些質數實際上早在梅森出生前2000年就已經被研究過了，但他列出了其中一些質數的列表，這個列表變得非常有名。

人們試圖證明列表上的數字是質數（有些實際上不是），這個任務令人生畏。

例如，梅森聲稱2^127-1是素數。1876年盧卡斯證明這是正確的。75年後才有人發現一個更大的質數，它仍然是迄今為止人工發現的最大質數。

幾何和

假設我們有一個形式的和：

s(x) = 1 + x + x² + x³ + ⋅⋅⋅ x^(n-1)

這裡：

質數

在繼續之前，讓我們定義一個梅森素數。

梅森素數是這種形式的素數， 2^n-1。

​當然，不是所有這種形式的數字都是質數，但它證明了以下是正確的。

如果2^n-1是素數，那麼n便是素數。

​讓我們用反證法證明這個命題。

如果n不是素數，那麼2^n-1也不是素數。

證明：

假設n是一個合數。那麼我們可以把a, b∈ℕ寫成n = ab（a, b > 1）。根據上面冪和的封閉形式，我們現在有：

這就證明了定理。

這種形式的數，無論是素數還是非素數，都叫做梅森數。注意，相反的說法是不正確的。例如 2¹¹ - 1 = 23 ⋅ 89。

這個定理表明，如果我們把搜尋限制在質數指數的梅森數，那麼尋找大素數會更有效。然而，當指數變大時，梅森素數在梅森數中變得非常罕見。

一個謎團

目前已知的最大素數是梅森素數，而大素數在網路安全和密碼學中起著至關重要的作用，密碼學是一門資訊編碼和解碼的科學，它的很多演算法，比如RSA，很大程度上依賴於質數，因此這些數字在我們的現代社會中很重要即使梅森自己從來沒有想到這一點。

梅森他不能證明是否有無限多個梅森素數，尤拉也不能。這仍然是一個懸而未決的問題。

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