千年未解質數之謎或藏在準晶體結構中？但其實質或許是6N士1的素數公式。

最近，在普林斯頓大學的一項研究中，科學家發現隱藏在素數分佈背後的規律。通過 X 射線研究準晶體材料內部原子排列模式，研究人員發現所得到的結果與數軸上的素數序列之間有著驚人的相似之處。這一結果或將極大提高素數預測的精度。

微軟研究中心的首席研究員 Henry Cohn 雖沒有參與這項研究，但他說：“這篇論文的有趣之處在於，它為我們提供了一個關於質數的不同視角：我們可以將它們視為粒子，還能嘗試通過X射線衍射繪製出它們的結構。這項研究提供了一個優美的新視角，建立了材料科學與晶體散射理論的新聯絡。”

圖 | 普林斯頓大學的研究人員發現質數與某些準晶體材料中的原子位置有相似的排列模式。（來源：Kyle McKernan, Office of Communications）

質數（Prime number），又稱素數，指在大於 1 的自然數中，除了 1 和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有 1 與該數本身兩個因數的數）。其中，大質數是許多密碼系統的基本構造單元。雖然數學家已經研究了素數的一些順序規律，但總的看來質數似乎是隨機地分佈在數軸上的。最小的幾個素數是 2、3、5、7 和 11，隨著數軸的延伸，較大的素數的分佈則變得更加零散。

在最近發表於 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明，質數並不像先前所想的那樣毫無規律的隨機分佈。研究人員發現質數在數軸上的序列與 X 射線在材料衍射出的內部原子排列具有驚人的相似性。普林斯頓材料科學與技術研究所的 Salvatore Torquato 教授和他的同事發現，當考慮大範圍時，質數比之前認為的更加有規律，這一模式即“超齊構體”模式。這項分析或將對數學和材料學領域的研究者提供幫助。

“質數的分佈遠比我們以前認為的要有規律的多”，普林斯頓大學自然科學教授 Lewis Bernard 和 Torquato 教授說，“我們發現質數的分佈表現的就像晶體材料一樣，更準確地說，是一種稱為‘準晶體’的類似晶體的材料。”

Torquato 及其同事發現，當從數軸上很長一段來看時，質數的分佈要比之前所認為的更有規律，屬於所謂的“超齊構體”（hyperuniformity）模式。“超齊構體”材料（hyperuniform materials）具有特殊的長程有序性，包括晶體、準晶以及某些特殊無序系統。目前，科學家在鳥類眼睛中視錐細胞的排列中、某些罕見的隕石中以及宇宙大尺度結構中發現了這種“超齊構體”。

研究者表示，他們在質數中發現的排列模式，跟 X 射線與某些物質相互作用時所得到的模式是一致的。作為化學家的 Torquato 教授非常熟悉 X 射線晶體學，這是一門利用 X 射線來研究晶體中原子排列的學科。比如鑽石或其他晶體，在與 X 射線相互作用的過程會產生可預測的亮點或峰值模式，稱為“布拉格峰”（Bragg peaks）。

相比於典型的晶體材料，準晶材料的布拉格峰排布則更為複雜。典型晶體的布拉格峰會形成規律的有空隙間隔的排布，但在準晶中，任意兩個布拉格峰之間，還可以找到一個新的布拉格峰。

Torquato 及其同事在質數中發現的模式類似於準晶體中原子的排布模式以及一個稱為“有限週期序”（limit-periodic order）系統，但卻稍有不同，所以研究者稱其為“有效有限週期”（effectively limit-periodic）。素數出現在一些具有“自相似性”的陣列中，也就是說在某些較高的數值“峰”之間，有許多組較小的“峰”。

圖 | 將素數看作“原子”，紅點表示非素數，黑點表示素數。研究者發現某些素數與某些類晶體結構中的原子排布有相似的模式。

研究者首先利用計算機模擬研究了將質數作為一串原子與 X 射線相互作用後會發生什麼，然後才發現了這個明顯的排列模式。在今年 2 月曾發表在《物理學雜誌 A》上的研究中，研究報道了所發現的一個令人驚訝的類似於布拉格峰的圖樣，這表明素數的排列模式其實是高度有序的。

在近日的研究中，研究者利用數論方法為前期的模擬實驗提供了有力的理論基礎。研究者發現，儘管質數在數軸上較短的間隔裡是隨機出現的，但在數軸上足夠長的範圍裡，從這些看似混亂的數字中也能找到一定的規律。

一點感慨

時至今日，素數定理已被證明，小於N的素數個數的上限和下限都已經給出，但π(N)的確切值是多少，依然是一個懸而未決的問題，一批又一批的數學家們前赴後繼想登上最高峰，但都以失敗告終，但這並不妨礙後面還有一批又一批的攀登者。所以千年的質數公式的探索不會簡單，如果非常簡單，會引起所有數學家反思的。

已知素數的相關成果還是當今密碼學的基礎。先行網際網路的所有密碼都和素數的規律有關係。素數公式的發現，將使這些密碼變得毫無作用，可以預見不久的將來和密碼賬號有關的所有系統——比如銀行賬戶、郵箱賬號、遊戲賬號等——都將陷於極大的風險之中。

看一看下面一個有關素數在自然整數數軸上，1，2，3。。。。。。N。的一個排列現象，即：

2， 3， 4， 5， 6， 7。

8， 9， 10，1 1 12， 13 。

14 15，16，17，18， 19。

。。。。。。

就象這樣子一直寫下去，你就會發現這樣一個規律：所有素數都排列在6的倍數的兩邊。這樣就可以得出一個所謂求取素數的公式。即：6N士6。這個所謂的求取素數的公式，我曾在上世紀八九十年代的《我們愛科學》雜誌上看到過。被稱為求取素數的公式。

由這個求取素數的公式，由這個求取素數的公式，可以聯想到到上文所說的科學家們所發現的什麼體，對自然數數軸上對素數排序的啟示有什麼關係和侷限性。

首先肯定的是：發現的這個所謂的體必須是六面體及六的倍數面體。如果是其他面數的題，誠然與自然數整數數軸上素數的排列規律毫無關聯。

其次要說的是，如果一個小朋友推著一個鐵環在數軸上滾上幾圈是肯定整不出素數在數軸上的排列規律的，如果拿一個六邊形的鐵環在數軸上整幾圈，倒能整出上面所說的素數的排列規律來，這裡要著重說明的是，無論有面的體，還是多邊的環，只要頂點相同，反應到數軸上的點一樣多。這樣說，用體說話，倒是白白的浪費了。