​我們生活在一個三維物理空間裡，這看似很偶然，可是用拓撲學、幾何學、量子力學、幾何代數什麼的隨便那麼一想，發現可能是必然的哦。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

道生一，一生二，二生三，三生萬物。

——老子《道德經》

有些事兒，不能細想，細想起來能把自己嚇一跳，比如我們的物理空間是三維的這件事兒。我們的物理空間是三維的，這個認識來自人類對運動自由度的感知。運動起來有三個自由度，曰上下、曰左右、曰前後，這一點地球人都知道，而且很早就知道了。德國文學家席勒（Friedrich Schiller, 1759-1805）談空間的維度竟然會借俺們中國的孔老夫子之口，用Sprüche des Konfuzius (孔夫子的箴言)為題謅了幾句詩：

Dreifach ist des Raumes Maß (空間的尺度是三重的)

Rastlos fort ohn' Unterlaß (不停地向遠處延展)

Strebt die Länge fort in's Weite (長度綿延不斷)

Endlos gießet sich die Breite (寬度無邊)

Grundlos senkt die Tiefe sich (深度無底)......

這意思是說，我們的物理空間是三維的、無限的，可以用R3表示，R代表實數。文學家體認到的物理事實，都是堅實的物理事實。

那麼，問題來了，為什麼我們的物理空間是三維的呢？或者說，我們的物理空間是三維的有什麼特別的益處或者講究嗎？

一個不假思索就能得到的答案是，空間的維度應該足夠多，而從三開始才能算多。在中文裡，三人為眾，眾人的人數就是不定的 (indefinite) 了，而在一些太平洋島國的文字裡，數字乾脆就只有一、二、多。這說明三就給人以足夠多的感覺了，不過這麼解釋不夠科學。科學點兒的論證可以以拓撲學的面目出現。假設我們認定生命遵從熱力學第二定律，需要攝入物質以維持其有序結構，用大白話說就是生命的具體過程至少要包含吃喝和拉撒這兩種功能。從空間的角度來看，我們假設從吃喝所需的入口 (inlet) 到拉撒所需的出口(outlet) 的連線 (connection. 不懂這個詞不足以談廣義相對論和微分幾何) 是個一維的結構 (D=1，不能再少了)，那麼能夠承載這個一維結構的結構就至少是三維的。在二維空間裡，一個有限大小的生命個體如果要建立起一個從其表面上一點 (作為入口) 到另一點 (作為出口) 的連線，則這個連線會硬生生地把它剌成兩半兒 (圖1)。這說明原來說它是一個有

圖1. 二維空間裡的有限生命無法建立起從其表面上一點到另一點的連線。

物理的空間維度可以更高嗎，比如D=4？或者，既然自然選擇了D=3 ，那有什麼令人心悅誠服的講究呢？筆者順著這個思路一想，發現還真有。容筆者宣告，如下論證用的是科學且論證過程貌似科學，但論證過程未必嚴格。

首先，有等式 3-2=1，和 3=2(2+1)/2 。這是想說什麼呢？這是想說彎曲流形在平直空間裡的鑲嵌問題。對於任意的一個n-維的黎曼流形 (簡單地理解為光滑的物體就行)，施萊夫利 (Ludwig Schläfli, 1814-1895) 於1873年猜測其一塊有限區域（原則上應假設其是彎曲的）的展開鋪平一般要求一個 n(n+1)/2 維的鑲嵌空間。我們假設這個關於鑲嵌空間維度的最低要求是正確的 (有興趣的讀者請去研究納什鑲嵌定理)。至少對於二維流形，比如球面，確實能夠在三維的平直空間裡展開鋪平。這意味著，在三維空間裡生活的我們，能用平直的皮革去縫製球面。此外，注意，3-2=1， 二維彎曲流形放在三維平直鑲嵌空間裡，還有一個自由度的冗餘，可以用於產生形變。這提供了驅動球類運動起來的可能性 (圖2) 。這個物理空間是三維的事實保證了我們能製作球且能享受各種球類運動的歡樂。如果物理空間是四維的，二維的球面當然可以鑲嵌入四維空間了，在其中還可以有兩個自由度的驅動。這下麻煩了，四維空間裡的二維球面運動會很複雜，估計絕大部分人就玩不來了——三維空間裡還有人玩不來球 (面) 呢。沒有球類運動的世界裡人類如何生存，難道讓大家整天研究幾何不成？

圖2. 三維空間裡可以有一般拓撲意義上的球，還留出個自由度供其形變。

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圖3. 三維空間裡點源發出的東西之濃度與距離的關係示意圖

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​上述這些內容，構成我們物理學的主要內容，其成立的前提是物理空間是三維的。有趣的是，描述其中物理所用到的數學指向了三維空間的特殊性。假設，更高維的空間就不提了，我們是生活在四維空間中的，那能否還能發展出理解這個物理世界的數學呢？以筆者的理解，那是相當地不樂觀。這樣想來，還真幸虧我們是生活在三維空間的。

有善於抬槓的讀者也許會說，四維物理空間的智慧生物所發展出的數學，也許是指向四維空間才是合理、碰巧得喪心病狂的呢？誰知道呢，也許吧！