喬治·康托爾在孩童時期就表現出了明顯的藝術傾向，他是一位傑出的小提琴家。1867年，22歲的他在柏林大學完成了他的博士論文《在數學中，提出問題的藝術比解決問題更有價值》。康托爾以富有深度的思想家而聞名於世，他長大後敢於提出並回答一個最深刻、最根本的問題：

無窮大有多大？

康託在19世紀70年代、80年代和90年代為這個問題的答案引入了激進的新思想，使集合論成為純數學的一個新分支。

康托爾的早期生活

喬治·康托爾於1845年3月3日出生在聖彼得堡。他的父母是丹麥人。他的母親瑪麗來自一個俄羅斯血統的音樂家家庭，他的父親喬治·沃爾德馬爾是一個非常成功的商人，先是在聖彼得堡做批發代理，後來是城市股票市場的經紀人。

康託的父親和母親

康托爾深受父親的影響，父親對文化和哲學有著濃厚的興趣，在他兒子上中學和大學期間，父親一直給他的生活和事業提供很多有用的建議。然而，儘管認識到他兒子的數學能力，他仍然固執地試圖強迫他的兒子從事工程，認為這是一個比數學更有前途的職業。

教育康托爾8歲時的成績。

康托爾的學校生涯就像許多極具天賦的數學家一樣，他的才華早在15歲之前就得到了展現。早在聖彼得堡，康托爾就接受了私人輔導課。在德國，他先是在法蘭克福的達姆施塔特非古典學校上私立學校，1860年進入威斯巴登體育館。他以優異的成績畢業於達姆施塔特的實科中學，並於1862年開始他的大學學習，他先是學習了兩年的工程，然後轉到瑞士聯邦理工學院學習數學。在他父親死於肺結核的第二年，他得到了一大筆遺產，並轉到柏林大學學習。

850年柏林洪堡大學（當時是弗里德里希·威廉大學）

在柏林，康托爾參加了恩斯特·庫默、利奧波德·克羅內克和卡爾·維爾斯特拉斯的講座，這些人對算術的興趣對康托爾早期的工作產生了很大的影響。1866年，他在當時世界數學思想之都哥廷根大學大學度過了夏季學期。他1867年的學位論文和1869年的畢業論文都是關於數論的，特別是高斯在其《算術》研究中遺留下來的一個突出問題，即不定丟番圖方程ax²+by²+cz²= 0的解，也被稱為勒讓德方程。

職業生涯早期(1870 - 73)

有些人認為，康托爾後來開創性的工作可以追溯到他最早的研究生論文。事實上，在康托爾致力於三角級數理論的研究中，我們確實可以發現他早期對“連續統”的興趣的痕跡。在柏林的維爾斯特拉斯和黑爾的海涅的影響下，康託關於三角級數定理的第一篇論文於1870年3月完成並發表，旨在利用無窮三角級數，加深了對任意給定函式表示的收斂性的理解。從黎曼的三角級數和複變函式的工作出發，康託在文中證明了以下定理：

康托爾唯一性定理（1870）：每個函式f：ℝ→ℝ最多隻能有一個三角級數表示。

如果一個函式f(x)由一個對所有x都收斂的三角級數表示，那麼這個表示是唯一的。1871年，他強化了這個結果，證明即使級數在任意給定區間內的有限個數點上發散，其唯一性也成立。這一結果是當時許多最偉大的思想家都曾嘗試過的，其中包括海涅、彼得·狄利克雷和伯恩哈德·黎曼，他們只能證明在某些有限的情況下它是成立的。

他在1872年發表的下一篇論文《論三角級數理論中一個定理的推廣》進一步擴充套件了這一結果，給出了點集P的一個邊界點的定義，該邊界點的每一個鄰域都包含無窮多個P點。P的一階導數是P的所有邊界點的集合，二階導數P "是一階導數P '的所有邊界點的集合，以此類推。這一定義為點集拓撲奠定了基礎。

集合論

《斯坦福哲學百科全書》將集合論描述為“現代數學最偉大的成就之一”，集合論被廣泛認為是由康托爾在1873-1884年間所做的研究所建立的。特別地，集合論的起源可以追溯到康托爾於1874年發表的一篇論文，題為《關於所有實數集合的性質》。它提出的最基本和最重要的結果是實數的不可數性。

在短短的五頁裡，康託的論文提出了三個重要的結果：

實代數數的集合是可數的；在每一個區間[a,b]中都有無窮多個不包含在任何數列中的數，結果就是實數的集合是無窮無盡的。

本文的其餘部分將致力於解釋第三個結果的含義，即實數的不可數性。為此，我們先從幾個基本概念開始。

什麼是集合？

集合是元素的集合。由3、4、5組成的集合用{3、4、5}表示。

可數性

可數集合是指具有與自然數集合的某個子集相同基數的集合。

可數性是集合論中的一個重要性質。可數性的直觀解釋是“列表性”，即集合的元素可以寫在一個列表中。最固有的可數集合是自然數集ℕ，因為ℕ的元素是計數數本身。我們知道，它們在數量上是無限的，所以稱為可數無限。對於其他集合，形式上，宣告一個集合是可數的，意味著集合的元素可以與自然數集合ℕ的元素一一對應，即：

如果存在從S到自然數ℕ={1,2,3，…}的內射函式f，則集合S是可數的。如果能找到這樣一個f也是滿射，則S被稱為可數無限集，或可數集。

例如偶數集合(2n|n∈ℕ)：

我們看到兩個集合的元素可以一一對應，因此我們可以確定偶數集合也是可數的。

可數性使我們可以根據集合所包含的元素的數量來進行比較，而不需要實際計算任何東西，並透過這種方式來推斷有限集和無限集的相對大小。從實際考慮，讓我們想象一個有100個座位的教室來說明這個有限的情況。如果教室裡擠滿了學生，我們就可以推斷出學生的數量與座位數量的關係。如果座位是空的，座位集要比學生集大。如果沒有空座，有的學生還站著，則學生的集大小要大於座位集的大小。

有理數的可數性（1873）

康托爾首次發表關於集合可數性的研究是在1873年，當時他證明了有理數ℚ是可數的。他的證明相當優雅和直觀：

讓我們首先提出，這組有理數ℚ是可數的。為了證明這個命題，讓我們把所有有理數排列在一個無限表中：

然後，從左上角開始，從左到右45度移動對角線，從1/1開始，然後是1/2和2/1，然後是3/1，2/2和1/3，以此類推。寫下遇到的每一個新數。

它不僅是有序的，而且與自然數的自然順序一一對應。這證明了有理數的可數性ℚ。

實代數數的可數性（1874）

一年後，在他1884年的論文中，康托爾證明了實代數數是可數的。實數代數數是實數ω，滿足如下公式，aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ + … + aᵤ= 0。也就是說，實代數數是非零實多項式的根。它們是可數的，即：

所有代數實數的集合可以寫成一個無窮數列。

康托爾在他1874年的論文中證明了這一點：

實代數數可數性的證明（1874）

對於每一個多項式方程的形式

係數為a的整數，定義它的指數為係數的絕對值加上方程的次數之和：

指數2的唯一方程是ω = 0，所以它的解0是第一個代數數。指數3的四個方程是2x = 0，x + 1 = 0， x - 1 = 0, x2 = 0。它們的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作為他的代數數列表中的第二項和第三項。

注意，對於每個指數，只有有限的方程，每個方程也只有有限的根。根據指數的順序和在每個指數內增加數量級來列出新根，這樣就建立了列出所有代數數的系統方法。和有理數一樣，與自然數的一一對應證明了代數數的集合必須是具有可數性的無窮。

實數的不可數性

康託將可數性作為一個概念的最富有成效的運用出現在他1874年論文的第三個結果中，他證明了實數的不可數性。實數ℝ是一個連續的值，可以表示一條直線上的距離。任何實數都可以用無限小數表示出來，例如8.632、0.00001、10.1等等，其中每個連續數字都以前一個數字的十分之一為單位來計算。實數不可數的表述等價於：

給定任意實數序列和任意區間[α ... β]，可以在[α ... β]中確定一個數η，η不屬於給定的實數序列，因此，我們可以在[α ... β]中確定無窮多個這樣的數η數。

他最初的證明（康託的第一個不可數性證明）是這樣的，基於博爾扎諾-韋斯特拉斯定理：

實數ℝ不可數性的證明：

假設我們有一個無窮實數數列，

這個數列是隨機生成，而且數字之間互不相同。那麼，在任意給定區間(α ... β)內，可以確定一個數η，使其不出現在數列(i)中，這樣的η是無窮多的。

序列(i)的前兩個數位於這個區間的內部（邊界除外），可指定為α'， β'，讓α' < β'。讓我們指定數列(α' ... β')的前兩個數α"， β"並且α" < β"。同樣地，構造下一個區間，以此類推。

因此，根據定義，α', α" ...是序列(i)的確定數，其指數是遞增的。序列β'， β"， ...也是如此。此外，數列α'， α"…總是增加的，而數列β'， β"，…總在減小。

在第一種情況下，這樣形成的間隔的數目是有限的。在這種情況下，讓最後一個是（αᵛ…βᵛ）。因為它的內部最多可以是序列(i)中的一個數，所以可以從這個區間中選擇一個不包含在(i)中的數η，從而證明了定理。

在第二種情況下，構造區間的數目是無限的。那麼，因為它們總是在不斷地增大，而不是無限地增大，所以這些數α， α'， α'，…有一個確定的邊界值αʷ。同樣適用於數字β， β'， β"，…因為它們總是在變小。設其邊值為βʷ。如果αʷ= βʷ，η = αʷ= βʷ不能包含在我們的序列(i)中。然而，如果αʷ< βʷ，然後區間[αʷ ... βʷ]內的所有η值以及它的邊界滿足它不包含在序列(i)中的要求。

無限集

我反對使用無窮量級作為完成的東西，這在數學中是不允許的。無限只是一種說法——高斯，1831年

到目前為止，我們遇到的所有集合的元素都是無限的，這意味著它們會無限延伸。然而，我們也證明了它們的“大小”是不一樣的，或者至少，它不能與自然數一一對應。也許更矛盾的是，我們已經看到無窮集（自然數）的無窮子集（例如偶數）可以變成一對一的對應關係，這就產生了無窮集的一個特殊性質，即：

集合A是無限的，當且僅當，A和集合X之間存在一一對應並且X是A的一個真子集

這個由戴德金創造的特性，看起來似乎是自相矛盾的，因為直覺上認為一個整體的元素總比它的某些部分的元素多。這意味著，如果兩個無限集包含相同數量的元素，那麼：

它們之間一一對應；任何整體的大小必須大於它的任何部分的大小；

那麼，一個無限集合中的元素的數量就不能被認為是它大小的度量。它表明無限集合的元素在某種意義上“數不勝數”，考慮到你永遠不可能把它們全部數出來，也因為在這個領域用數字來衡量大小的概念沒有什麼意義，如果一一對應表示集合的大小是相同的，那麼所有的無窮集似乎都是相同的。

基數

那麼我們該如何研究無窮集的性質和差異呢？1874年，康托爾發現了不可數無限集的存在性。1878年，康托爾開始了一項更廣泛的研究，他稱之為基數，即集合的大小。集合A的基數通常用|A|表示，有時用card(A)表示。

康托爾對基數的定義

我們可以稱之為“冪”"或"基數"，因為我們的思維能力，從集合M中抽象出各種元素的性質和它們所被賦予的次序，便產生了一般的概念。

或者更簡單地說，基數是用於度量集合大小的自然數的泛化。利用基數性，康托爾能夠正式回答他反覆問戴德金的問題，即一個正方形是否可以對映到一條直線上，每條直線上的點是一一對應的，即：

定理：所有實數有序對（即實平面）集合ℝ²的大小與ℝ相同。

這個定理出現於康託1878年的論文《A contribution to manifold theory》，並且可以用以下方式優雅地證明：

證明|ℝ²| = |ℝ|

證明所有點（x，y）（0 < x，y < 1）的集合可以雙射對映到(0,1]上。考慮點（x，y）並將x,y寫成其唯一的十進位制數形式，示例如下：

請注意，x和y的數字被分成了組，總是指向下一個非零數字。現在我們把數字z∈（0,1）與（x，y）聯絡起來，寫下第一個x群組，然後是第一個y群組，然後是第二個x群組，以此類推。因此，在我們的例子中，我們得到：

由於x和y從某一點開始都不為零，我們發現z的表示式仍然是一個不終止的小數展開。從z的展開，我們可以立即讀出原像(x,y)，並且對映是雙射的。

所以，再次矛盾的是，二維平面ℝ²確實可以雙向（一對一對應）對映到一維直線ℝ上。歸納地說，我們可以把結果擴充套件到更高的維度。它違反直覺的本質導致康託著名地宣佈：

我證明了它，但我仍然無法相信。

無限的基數

當康託在1878年轉而研究無窮基數時，他已經意識到存在著兩種這樣的“冪”，點集（如自然數）和連續體（如實數）。在他1883年的論文《Foundations of a General Theory of Manifolds》中，他介紹了兩個無窮之間的區別，超限的和絕對的：

超限數是指“無限”的數，因為它們比所有有限數都大，但不一定是絕對無限的。

同樣由康託提出的絕對無限ω，可以認為是一個比任何可以想象或不可想象的有限或超限的量都大的數。超限的數在量上是可增加的，而絕對是不可增加的。他所想到的特殊的超限數，是他透過研究某些無窮集的可數性（如自然數）和其他無窮集的不可數性(如實數)而意識到的。他分別把它們的基數ℵ₀和ℵ₁標記為前兩個“無窮大數列”，都小於絕對無窮大ω。

連續統假說（1878）

在自然數（ℵ₀）和實數（ℵ₁）的基數之間沒有無限的基數。

康托爾和他的六篇論文̈。

然而，它的第一次出現是在1878年的一篇論文中，他在文中寫道：

問題來了，一條連續直線的不同部分，也就是可以在其中構想出的不同無限流形點，是如何與它們的冪有關的。

讓我們拋開這個問題的幾何表象，用一個實數的線性流形來理解無窮多個不同實數所能想到的所有集合。如果將具有相同冪的流形放入相同的類中，而將具有不同冪的流形放入不同的類中，那麼線性流形將分為多少類？

透過一個歸納過程，該定理表明，由這個排序原則產生的線性流形的類數是有限的，而且確實等於2。

我們知道基數0，1，2…無窮基數ℵ₀，並且進一步證明實數的基數大於ℵ₀。康託關於連續統假說的論述是，實數的基數是繼ℵ₀之後的下一個超限數，即：

這意味著沒有集合的基數大於自然數ℵ₀，且小於c，c是實數的基數。ℵ₁在這個意義上超越了除了它本身以外的任何可數基數集合，只有透過ℵ₁，才能將其他基本數字相加得出。

試圖證明

康托爾在他生命中剩下的許多年裡都在努力證明連續統假說是正確的。他的直接策略是使用點集P的派生集P⁽ⁿ⁾來測量它的基數。正如伯特蘭·羅素所言：

一般來說，一階導數由所有的點組成，這些點的鄰域內堆積著無窮個集合項，而隨後的導數，在任何鄰域都能得到不同程度的集中。因此，很容易看出為什麼導數與連續性相關，為了保持連續，集合必須儘可能地集中在包含集合的任何部分的每個鄰域中。

因為求導過程不一定在可數的無限次迭代後終止，康託繼續這個過程到超限。當這種策略失敗後，康託轉向了他所謂的“間接策略”，這是1883年出版的《總量通論基礎》的主要主題。策略是基於他的冪理論的基數，即引入一個類的超限資料可用於計算任意無限集的大小。在這個系統中，連續統假說將透過確定連續統的冪在超限數的“尺度”上的位置來證明，它是第一個不可數的超限數。

康託花了許多年的時間試圖解決連續統假說。有一天他以為自己找到了證明其正確性的證據，第二天他又找到了證明其謬誤的證據，第二天又找到了證明其正確性的證據，後來才發現他所有的證據都是無效的。

心理健康

1884年5月，在他首次證明實數字不可數性的十年後，康託第一次遭受了嚴重的精神崩潰。大多數歷史學家認為，這次崩潰的原因是康托爾與柏林大學的利奧波德·克羅內克之間持續不斷的爭論，以及連續統假說的明顯難以證明。我們可以從康託寫給瑞典數學家米塔格-萊弗勒的信中讀到，康託的第一次精神崩潰發生在他剛從愉快的巴黎之旅回來時，他在那裡遇到了其他數學家昂利·彭加萊。康託寫道，他非常喜歡彭加萊，並且很高興地得知，這位偉人理解了他的超限集合理論及其應用。此外，他寫道，他花了很多時間參觀畫廊和博物館，沉浸在他對歌劇和戲劇的熱愛中。據報道，康託的精神崩潰發生在他回到德國處理家庭事務後不久。

最後幾年

1884年住院治療後，直到1899年康托爾才有再次入住療養院的記錄。那一年，他最小的兒子去世了，據報道康託失去了對數學的熱情。1903年，朱利葉斯·康尼錫發表了一篇論文，試圖反駁超限集理論的基本觀點，康託認為這是一種公開的羞辱。儘管恩斯特·澤梅洛在不到一天後就證明了報紙的無效性，康托爾仍然心有芥蒂，甚至暫時開始質疑上帝的存在（康托爾是一個虔誠的基督徒）。

儘管康托爾繼續尋求柏林大學的職位，但他將留在黑爾大學直到他去世。在他生命的最後20年裡，他一直處於慢性抑鬱的狀態，為他關於集合理論的有爭議的觀點辯護，主要是反對來自德國其他數學家的批評。1913年康托爾退休，在第一次世界大戰期間生活在貧困和營養不良的痛苦中。1917年6月，他再次進入療養院，最終在1918年1月6日死於心臟病發作。

失樂園

1900年，德國數學家大衛·希爾伯特將連續統假說列為決定20世紀數學未來的23個最重要問題之一。他的預測被證明是準確的，就像其他數學家試圖證明或反駁康託猜想一樣，導致了迄今為止集合論中一些最深入的工作。

直到1940年，奧匈邏輯學家庫爾特·哥德爾透過證明集合論的其他公理無法證明連續統假說的一致性，證實了它的一致性。23年後，美國數學家保羅·科恩透過證明集合論的其他公理無法證明連續統假說，確立了它的獨立性。康托爾猜想的一致性和獨立性意味著有可能建立滿足連續體假說和其他不滿足連續體假說的有效集合理論模型。認識到這個和其他無法證明的陳述的存在，改變了數學作為一門嚴格的邏輯學科的本質，促使希爾伯特在1926年為坎特利集合論辯護時宣佈：

從康托爾為我們創造的天堂裡，沒有人能驅逐我們——大衛·希爾伯特。

淚目！