在國際單位制中，麥克斯韋關於電場和磁場的著名方程是：

這些是在存在電荷函式ρ和電流j的情況下，電場E和磁場B的微分方程。ε₀和μ₀是物理常數，稱為真空的介電常數和磁導率。光速c滿足一個重要的關係式c² = 1/ε₀μ₀。當指定了場的邊界條件時，這些方程完全且唯一地決定了場。

通常，對於給定的邊界條件、電荷和電流結構，人們不會試圖直接求解這些方程。相反，人們發明了許多數學技巧來簡化許多不同型別的問題。然而，理解這些方程式背後的物理原理仍然很重要。

電場和磁場

在電場E和磁場B存在下，速度向量v且速度遠小於c的電荷q受到洛倫茲力的作用：

有趣的是，在相對論的情況下，當力F表示相對論動量的時間變化率而不是經典動量時，這仍然是正確的。洛倫茲力中有兩項。第一個是qE，稱為靜電力。這個力是由靜電荷產生的電場E引起的。第二種力是qv⨯B，稱為磁力。符號⨯被稱為叉積，它表示一個垂直於v和B的向量，其大小為|v||B|sin(θ)，其中θ是v和B的夾角。

文中的一些字元如絕對值等可能會顯示錯誤，或者不顯示，大家見諒。

“右手定則”是一個很有用的助記法，它可以幫助我們記住叉乘中向量的方向。

磁場B由電流產生，並與移動電荷相互作用產生力。電流是電荷乘以速度所以qv是電流項，由此可見，磁力在電流之間起作用。

所以對於我們的目的，靜止電荷透過電場對其他靜止電荷施加力，電流透過磁力對移動的電荷產生作用力。

迴旋運動是洛倫茲力的一個例子。假設一個磁場垂直於一個紙面，一個電子的速度向量，完全在這一頁的平面內。

x符號表示一個指向紙面的均勻磁場。這個力向量（紅色的），是v和B的叉乘，所以根據右手法則，力向量指向圓心。如果一個電荷在均勻磁場中有一個垂直於B方向的初始速度，那麼電荷將以恆定的速度圓周運動。這叫做迴旋運動。

電子管是一種可以展示迴旋運動的裝置。自由電子透過加熱一個小的燈絲並在器件周圍的小區域產生一個電場來產生初始速度。兩個線圈在電子管中產生的電場近似均勻，所以它把電子的運動拉成一個環。當電子撞擊低壓氣體的原子時，它們就會發光。

向量場，場線和通量

電場和磁場都是向量場。向量場是將向量賦值給空間點的函式，如下圖所示，電偶極子的電場向量由 （+1，0）處的正電荷和（-1,0）處的負電荷組成。請注意，為了清楚起見，向量只表示方向而不表示大小。

你可以看到電場向量遠離正電荷指向負電荷。由於作用在電荷q上的力由F=qE給出，這就對應於符號相反的電荷相互吸引，符號相同的電荷相互排斥。我們假定電場的源不移動。

和向量場的向量一樣重要的是電場線。對於電偶極子電場線你們很多人可能都很熟悉。

為了更清楚地瞭解電場線，讓我們把它們和電場向量一起顯示出來：

這張圖顯示了電場線的一些重要性質。

磁力線不僅僅是空間中的曲線，它們也有方向。場線始於源極，並終止於負極。磁力線與每一點的磁力線相切。磁力線永遠不會相交，否則交點的向量會同時指向兩個方向，這是不可能的。磁力線不斷地改變它們的方向。

現在讓我們把重點從電磁學轉到流體動力學上來。假定在源周圍，面積密度為ρ的水的速度在每一點由向量值函式v(r，θ)給出，其中r是到光源的徑向距離，θ是r的位置向量與水平面的夾角。

假設源位於藍點處，邊界S是一個半徑為r的圓，每秒有多少水流過這個邊界？

量綱分析是解決這類問題的好方法。我們需要以kg/s 為單位的量，已知面積密度的單位是kg/m²，速度單位是m/s。我們可以把它們結合起來得到單位面積上的動量，其單位是 kg/m⋅s。如果我們可以從這個量中消去1/m的單位那麼我們就會得到正確的單位。這讓我們想到了對ρv沿曲線C對長度l積分，但ρv是一個向量我們要求一個標量，所以我們需要引入點積。因為水流過S，我們可以很自然地猜測曲線C應該是圓S，這個向量應該是指向圓外的單位向量。結果證明這是正確的方法，這個問題的答案就是量：

這叫做向量場v在邊界S上的通量。一個三維向量場透過一個表面或一個二維向量場透過一個曲線的通量可以解釋為告訴我們向量場在表面或曲線上“流動”了多少。如果v是任意向量場，S是包圍v區域（體積或面積）的邊界（曲面或曲線），那麼我們也有非常重要的散度定理，我們在這裡提出，但無需證明：

因此，總通量邊界的體積等於的積分∇⋅v內卷，所以我們可以認為∇⋅v通量離開每一個點在訴數量∇⋅v叫做的散度，這是前兩個的主題的麥克斯韋方程。這樣，在體積邊界上的總流量就等於在體積內的∇⋅v 的積分，因此我們可以把∇⋅v看作離開v內每個點的流量。∇⋅v的數量叫做v的散度，它是麥克斯韋方程的前兩項。

高斯定理

這就是高斯定理的微分形式。我們先考慮積分形式。設S為封閉曲面，S所圍成區域的總電荷量為q，則：

所以高斯定理告訴我們，電場透過S的通量是，被S包圍的總電荷除以介電常數。這個定理的一個重要特徵是，S可以是任何完全封閉電荷分佈的表面，而透過該表面的通量是相同的。

用散度定理得到微分形式：

注意，一般來說，ρ是位置的函式。我們將不考慮它也是時間函式的情況，因為那將需要狹義相對論。

微分形式可以認為是應用於包圍空間中每一點的無限小球體的積分形式。

高斯定理告訴我們一些有用的資訊：

如果ρ(x,y,z)是正的，那麼通量離開點(x,y,z)是正的，如果ρ(x,y,z)是負的，那麼通量離開點(x,y,z)是負的。這就證實了我們先前的觀點，即磁力線起源於帶正電荷，終止於帶負電荷。如果空間區域內沒有電荷，那麼任何進入該區域的電場線都必須退出該區域。

讓我們推導庫侖定理來證明高斯定理。假設點電荷Q位於原點，測試電荷Q位於距離原點r處。由於F=qE，這個問題可以透過q求出E來解決。設高斯曲面S是一個以原點為中心，半徑為r的球體。讓我們先寫出高斯定理：

單位向量是徑向的，半徑為r的球面的微分面積元dS為r²sin(θ)dθdφ，其中φ和θ如圖所示：

因此：

由於對稱，我們可以看到電場只取決於到原點的距離，所以我們可以將它和r從積分中提出來：

E必須是徑向的，因為電場作用在兩個電荷之間的線上：

得到F=qE時的庫侖定律：

高斯磁學定律

這個定律告訴我們所有的磁場都是無散度的。這意味著：

在磁場存在的情況下，進入或離開任何區域的淨磁通均為零。任何進入任何區域的場線必須退出該區域。所有的磁場線形成閉合的迴路。磁場線沒有源點和匯點。同樣地，我們可以說磁單極在經典電動力學中不存在（它們是否存在於量子電動力學中還沒有定論）。

高斯磁學定律最重要的用途是定義向量勢。

保守場

如果粒子在三維力場中沿著任意形狀的曲線運動會怎樣？假設F是一個力場，粒子沿著曲線C運動，曲線C可能形成也可能不形成一個閉合的環路。在曲線上的任意一點，我們可以說F是一個有三個分量的向量（為了讓特殊字元正常顯示，這裡用圖片表示）：

只有F在路徑方向上的分量起作用，所以我們取它與êₜ的點積，並對路徑的微分長度元素dl進行積分：

有一類特殊的力場叫做保守場，可以寫成勢能函式的負梯度，F=-∇U。如果是這樣，那麼線積分微積分基本定理告訴我們：

這意味著對於保守力場，質點從A點運動到B點所做的功只取決於這些點，而不取決於所選擇的路徑。事實上，這通常是作為一個保守力場的定義但是保守場的定義是由勢梯度產生的向量場是完全等價的，一個力場F是保守的當且僅當F = -∇U。

從這個方程也可以清楚地看出，如果粒子沿著任意閉合曲線C運動，那麼所做的功是0。我們這樣寫：

積分符號中的圓表示積分路徑是一個閉環。

除了散度定理，學習電磁學你必須知道的另一個定理是斯托克斯定理，我在沒有證明的情況下給出了它。對於以C為邊界的任意曲面S：

由此我們也可以立刻看到一個保守場的另一個等價定義：因為F是保守的，那麼它是一個函式的梯度，而且因為∇⨯(∇a)對於任何函式a都是0，我們看到∇⨯F=0當且僅當F是保守的。我們可以把∇⨯F看作是一個場引起圍繞一個點旋轉運動的趨勢。這個量被稱為F的旋度，它是麥克斯韋方程的下兩項。

麥克斯韋-法拉第方程

這是連線E和B的兩個方程中的第一個。它告訴我們，在沒有磁場的情況下，E是一個保守場。為了解釋這個，我們先從我們知道的勢能和動能開始。

物理系統將隨著時間的推移以一種允許它們最小化其能量的方式進化。它們透過做功將勢能轉化為動能。在保守場中，一個粒子在一個閉合的環內運動是不做功的，所以一個保守力場不可能使一個初始靜止的粒子在一個環內運動。閉合軌道的出現取決於初始速度，就像行星運動的情況一樣。

假設我們想讓一個最初靜止的帶電粒子在一個閉合迴路中運動。這意味著，我們必須使電場是非保守的，所以我們必須使它的旋度為非零。我們求助於量綱分析。因為E的單位是N/C，∇⨯E 的單位是N/C⋅m，我們知道B的單位是特斯拉（1T = N⋅s/C⋅m）。因此∇⨯E的單位是 T/s。由於∇⨯E是向量場，這意味著，如果我們想讓一個帶電粒子在一個封閉的迴圈中運動，我們必須讓它暴露在一個以T/s為單位的向量場中。

既然-∂B/∂t是一個以T/s為單位的向量場，這有可能就是我們要找的量，而麥克斯韋透過解釋法拉第的實驗資料確定了∇⨯E=-∂B/∂t。

我們可以用這個方程推匯出法拉第歸納法，即：

這個量ℰ被稱為線圈中的電動勢，單位為伏特，是透過線圈所包圍區域的磁場通量。電動勢是單位電荷在環上移動一圈時所做的功，因此：

根據斯托克斯定理：

然後根據麥克斯韋-法拉第方程：

對時間的偏導數從積分中提出來變成了普通的導數，因為這個積分不依賴於位置。根據定義，這個積分是B透過C環的通量，這樣就證明完了。

這就解釋了為什麼電路附近變化的磁場會在電路中產生電流。

安培全電流定律

最後我們得到安培定律。安培定律讓我們完成了建立一個完整統一的電磁學和電磁波理論的過程。

讓我們從∇⨯B=μ₀j的原始形式開始，它在沒有時間時仍然成立。這告訴我們一個點周圍磁場的迴圈與這一點的電流成比例。式中積分形式為：

也就是說，B繞一個閉合迴路的積分，正比於透過這個迴路的總電流。作為演示，我們可以用這個來找出導線周圍的磁場。在這種情況下，切向量是在極角方向，所以如果我們把導線放在一個半徑為r的虛環的中心，那麼dl =rdθ。那麼：

這形式化了繞著導線的磁場的右手定則：

在時間無關的情況下，E總是保守的，因為它的旋度是零。但是我們已經看到，即使在時間無關的情況下，B也只是在一個沒有電流的區域中保守的，而最有趣的問題涉及電流附近的區域。此外，磁力F=qv⨯B絕不是保守的，因為它取決於速度。所以我們不能把B看作保守場。

在物理學中，波動方程是一種形式為：

運算元的∇²稱為拉普拉斯運算元：

k是波在空間中傳播的速度。如果函式f是一個向量場，那麼向量的每個分量都滿足這個方程。讓我們假裝不知道位移電流，試圖得到自由空間（沒有電荷或電流）的波動方程。麥克斯韋方程組就會是：

我們從向量微積分恆等式 ∇⨯(∇⨯A)=∇(∇⋅A)-∇²A開始，其中∇²A表示將拉普拉斯運算元應用於A的每個元件函式。由於∇⋅E=∇⋅B=0，這意味著∇⨯(∇⨯E)=-∇²E 為電場， ∇⨯(∇⨯B)=-∇²B為磁場。在自由空間中，如果 ∇⨯B=0 ，那麼我們不能得到正確的方程。對於E，我們得到：

對於B，我們得到：

為了解決這個問題，我們必須加入位移電流。當然，我們不能因為位移電流會給出我們想要的方程就插入它，我們需要證明它。為了做到這一點，我們假設問題在 ∇⨯B=μ₀j的方程中。取兩邊的散度∇⋅(∇⨯B)=μ₀∇⋅j，由於一個旋度的散度總是零，這意味著總是有∇⋅j=0。但事實並非如此。電流服從連續性方程：

這個方程表示，一個區域內電荷的變化率為流出該區域的淨電流的負值。如果∇⋅j 為正，使得有淨流出電荷，則該區域內的電荷必須減少，如果∇⋅j 為負，則相反。

這意味著我們必須：

ρ是某個向量場的散度。幸運的是，高斯定理告訴我們有一個向量場，它的散度等於ρ，它就是 ε₀E。如果我們將 ε₀∇⋅E代入ρ，並從兩邊消去散度，則得到正確的方程：

這給了我們正確的麥克斯韋方程：

現在我們可以得到正確的波動方程：

對於E。那麼對於B：

這就是為什麼這些方程是以麥克斯韋命名的，儘管麥克斯韋並沒有發現它們所描述的定律。正是他巧妙的想法將位移電流引入安培定律，使經典電磁學理論得以最終統一。

結論

如果你能堅持到最後，那你應該為自己感到驕傲。這是相當困難的事情，我們只是觸及了表面。如果有足夠的興趣，那麼下一篇文章將對有關相對論的一些觀點進行擴充套件。

協方差

協方差原理說，物理定律必須對宇宙中所有的觀察者來說都是一樣的，也就是說，描述這些定律的方程形式必須在所有參照系中都是一樣的。

假設兩個座標系S和S '的原點沿x軸以恆定速度V相對運動。

兩個座標透過伽利略變換聯絡起來：

我們只考慮E的x分量的一維波動方程，協方差原理告訴我們，如果有人在S中觀察到電磁波並確定波動方程是：

那麼在S '中的觀察者測量同一波時，必須觀察到它們座標下的方程：

我們可以透過在座標上做一個伽利略變換來實現嗎？利用變換和鏈式法則，偏導數變換為：

那麼：

這意味著存在一個問題，它不是波動方程就是變換。它不可能是波動方程，因為麥克斯韋方程已經被實驗驗證過了，所以問題在於變換。為了解決這個問題，我們必須放棄我們對世界的一些最基本的想法，而引入狹義相對論。