說出來你可能不信，量子物理學並不是一個很難理解的學科。就像所有的物理理論一樣，它最終只是由一系列規則和數學公式組成。量子物理學與日常經驗物理學唯一的區別是，這些規則可能看起來是違反直覺的、不尋常的。這篇文章不是要教你詳細的量子物理，而是要讓你相信它可以被理解。

測量

在經典物理學中，我們想當然地認為我們可以完全瞭解一個物理系統的狀態。只要有可能製造出一種足夠精確的尺子、溫度計和秤，那麼就有可能以任意高的精度知道一個系統的長度、溫度或質量。我們也理所當然地認為，系統的狀態是獨立於我們的測量工作而存在的。如果我們測量一個房間的尺寸，我們理所當然地認為即使我們停止測量，這個房間的尺寸仍然會保持不變，如果房間的尺寸發生變化，那麼這種變化將是一個可知的物理過程的結果（房子的熱膨脹等），此外，即使我們不測量房間的長度和寬度，我們也理所當然地認為，在任何時候，它的長度和寬度都只有一個值。

當我們開始研究量子物理時，我們必須拋棄這些關於世界的假設。這不僅僅是因為量子系統的精確測量在實踐中是不可能的，還因為量子系統狀態的“精確測量”在物理上不再有意義。量子系統存在於態的疊加中，系統在同一時間處於所有可能的狀態，但是每個狀態都有一個機率振幅，當你測量系統時，在那個特定狀態下觀察系統的可能性有多大。

其中一個最好的例子就是著名的施特恩-格拉赫實驗實驗。

施特恩-格拉赫實驗

這個實驗是奧托·斯特恩和沃爾特·格拉赫在1922年做的。一束中性銀原子透過一個不均勻的磁場，並觀察到銀原子束分成兩束，其中一束向磁場方向偏轉，另一個偏轉方向與磁場相反。

斯特恩-格拉赫實驗示意圖。橫截面如圖所示。注意磁場線的座標軸和方向。

有些原子偏轉與磁場完全平行，有些偏轉與磁場完全反平行，如果每個原子是一個純磁偶極子，磁矩是μ，這就是我們所期望的行為。銀原子與磁場相互作用的勢能則為U=-μ·B，使作用在粒子上的力為F=∇(μ·B)。磁場在x和y方向上非常接近均勻，所以力在z方向上它的大小是：

磁矩的Z分量乘以磁場在Z方向的變化率。

式中，μz為原子磁矩在z方向上的分量。對於繞圓周運動的帶電粒子（如電子繞原子核運動），我們從經典電磁理論中知道，磁矩有兩個貢獻者，第一個是與帶電粒子圍繞力的中心（在這種情況下是原子核）的軌道角動量相關的項：

第二個是與固有角動量相關的項，即帶電粒子繞自身軸的自旋：

在第二個公式中，g是一個稱為旋磁比的無因次量，其值約為2.0023。計算它是非常困難的，所以我們就不計算了。在討論原子中的電子時，我們知道，電子既不像行星繞著太陽那樣繞著原子核轉，也不像小陀螺那樣繞著自己的軸旋轉。它們只是為了實現原子的磁相互作用，在某種意義上，如果這是真的，原子的磁矩就是我們所期望的。

選擇銀原子進行實驗並非偶然。銀的電子構型是：

原子的前46個電子都在閉合殼層中，而閉合殼層沒有淨角動量。此外，泡利不相容原理告訴我們，閉合殼層中的電子自旋將被抵消。這意味著，唯一能對磁矩有貢獻的電子，是5s軌道上的單個電子。由於s軌道沒有軌道角動量，影響銀原子總磁矩的唯一因素是5s軌道上單個電子的自旋。

傳統意義上，我們認為原子的磁矩是隨機分佈的，而銀束透過磁場的結果是會在螢幕上形成一個“噴濺”，反映出原子的隨機方向和大小。但相反，銀束被清晰地一分為二。

上圖是1922年進行的原始實驗的幻燈片。銀原子穿過儀器，在載玻片上形成一層銀。左邊的幻燈片是磁場開啟前的照片。之所以沒有兩個完美的點，是因為銀束是透過一個狹窄的矩形狹縫進行準直的，現代實驗已經糾正了這一點。儘管如此，分裂（只有0.2毫米）是清晰可見的，而且在分裂的中心可以清楚地看到兩束不同的銀束擊中了幻燈片。這表明電子的自旋只能取兩個可能的值，這兩個值經實驗確定為：

自旋總是根據一個特定的方向來測量。通常是z方向。接下來，每當我說“向上/向下任意方向旋轉”或“自旋z+/-”，我的意思是自旋的數值是+/- ħ/2。

這些結果已經足夠令人震驚了，但當我們開始把斯特恩-格拉赫的儀器按順序排列時，事情就變得更有趣了。我們先從測量兩次z方向的旋轉開始。

我們將1000個電子放入第一個儀器中，測量它們在z方向上的自旋，然後把自旋向上的電子送到上面的儀器，把自旋向下的電子送到下面的儀器。我們確保了樣品中電子的狀態是均勻分佈的，因此對任何特定的自旋狀態都沒有淨偏轉。在最初的實驗中，這是透過使用非常熱的銀原子蒸汽來完成的，高溫的熱效應消除了樣品中任何可能的偏差。

在進行了大量的實驗後，其結果直觀上是我們所期望的。一半的電子自旋向上，一半自旋向下。此外，第二次測量自旋的z分量並不會改變自旋的狀態，這也符合我們經典的預期。

現在我們來測量z分量和x分量。

左邊的裝置的效果是，準備兩束電子，一束電子都自旋z+，另一束電子都自旋z-。我們發現，這對x方向的自旋分量沒有任何影響。這可能看起來很可疑，但它似乎並沒有立即與我們的古典直覺相沖突。

現在我們來看看測量z分量會發生什麼，然後是x分量，然後再次是z分量。

當我們在測量了x分量後，沿著z方向測量自旋分量時，我們看到電子似乎“忘記”了它之前自旋z分量的值。沿著一個軸反覆測量自旋並不會改變結果，但當我們試圖在另一個軸上測量時，準備好的狀態就被破壞了。

當這種情況發生時，我們說在z方向的自旋分量和在x方向的自旋分量是不相容的可觀測值，即不可能同時知道它們的值。如果我們知道一個電子自旋為z+或z-，那麼我們所能說的關於x分量的測量將以50/50的機率返回自旋為x+或x-。

我們如何將這些想法形式化呢？

量子系統

在經典力學中，一個系統是由它的廣義座標及其相關動量來表示的。例如，由一個質點沿著x軸運動所組成的系統的狀態，可以由（x(t)， p(t)）完全確定，它告訴你任何時刻質點的位置和動量。

在量子力學中，一個系統由它的波函式來確定。對於連續量子系統，例如氫原子中的電子，波函式可以寫成ψ(r, t)，這個波函式絕對值的平方給出了t時刻在r點找到電子的機率。對於離散系統，例如電子的自旋，我們可以用ket向量來表示波函式：

對於其他方向的自旋，我們適當地包含一個下標x或y。當自旋被測量時，我們得到了自旋上升的機率為α²，自旋下降的機率為β²。我們說∣ψ⟩是所謂的基態∣+⟩和∣-⟩的疊加。

在狀態∣ψ⟩下準備的系統將被測量為狀態∣φ⟩的機率為|⟨φ∣ψ⟩|²。 ⟨ψ∣被稱為bra向量。bra ⟨ψ∣被稱為ket∣ψ⟩的偶向量。它是透過先對∣ψ⟩的列向量表示進行轉置，然後對其元素進行復共軛得到的。例如：

如果一個系統存在∣ψ⟩，那麼顯然它處於∣ψ⟩機率為1的狀態。因此|⟨ψ∣ψ⟩|² ，從而 ψ∣ψ⟩=1。如果已知一個系統處於一種基態，那麼它處於另一種基態的機率為零，因此 ，⟨+∣-⟩ = ⟨-∣+⟩ = 0。這兩個合起來就構成了標準正交性。這就是上面的1/√2的由來，它被稱為標準化常數，它保證了狀態向量有單位大小。我們來看看它是怎麼來的。給定∣ψ⟩= A(∣+⟩+ i∣-⟩)（上面列向量的ket向量形式），找到一個使∣ψ⟩被規範化的矩陣，即具有單位大小。

現在讓我們做另一個例子來加深我們對方括號符號的熟悉。考慮狀態∣ψ⟩ = (4/5)∣+⟩ + (3i/5)∣-⟩。沿z軸測量自旋分量的可能結果是什麼？它們發生的機率是多少？

第一步通常是標準化狀態向量，但你可以檢查ket是否已經標準化，所以我們可以跳過這個。測量的可能結果是什麼?自旋是量化的，它唯一可能的值是+ħ/2和-ħ/2。那麼機率呢？我們用我們已經建立的演算法。

現在，我們對數學機制有了一些基本的瞭解，我們現在準備回答這個問題，在斯特恩-格拉赫實驗中，電子發生了什麼，使它們“忘記”自旋的z分量。假設第一個斯特恩-格拉赫儀器已經準備好了一束處於自旋向上狀態的電子束，因此∣ψ⟩=∣+⟩。為了找出下一個裝置發現電子自旋在x方向上的機率，我們只需執行相同的演算法：

所以我們現在可以計算電子在x方向上自旋的機率：

因為機率和為1，電子在x方向上自旋的機率也是1/2。如果在∣-⟩狀態下給該儀器輸入電子，結果將完全相同。因此，我們可以得出這樣的結論，如果已知電子處於∣+⟩或∣-⟩狀態，那麼電子在x方向上自旋向上或向下的機率必須是50/50。現在假設電子剛剛離開斯特恩-格拉赫儀器，它在x方向的自旋狀態被測量為自旋向上。當它透過斯特恩-格拉赫測量z分量的儀器輸入時，電子仍然自旋向上的機率是多少？計算方法與上面完全相同：

這與之前的實驗結果一致，粒子沒有“記憶”它是自旋z+還是z-。當我們測量自旋的x分量時我們破壞了這條資訊，而且沒有辦法恢復它。我們永遠不可能知道電子自旋的完整狀態，我們只能知道機率，因為知道它的任何一個狀態就排除了知道其他狀態的可能性。