序言：時空座標系能夠驗證相對論假說，且驗證過程簡單易懂。

在前面兩篇文章中我們分別使用兩種方式推出了四維時空的時空座標系，那麼該時空座標系是空有其表還是能夠解決實際問題？在本篇中我們將使用該時空座標系對於相對論的各類效應，如時間膨脹、同時的相對性、雙生子悖論等一一進行推演，透過實際的推演過程來驗證時空座標系的實用性。

一、時間膨脹假說

狹義相對論最著名的預言就是“時間膨脹”假說。其定義是：所有相對於一個慣性系統移動的時鐘都會走得較慢(時間膨脹作為假說被提出後，先後被多次成功驗證)，而時間變慢的度量有如下公式計算：

時間膨脹公式

上述公式中，被稱為洛倫茲因子，是時間膨脹效應的重要引數。

下面我們使用新建立的四維時空座標系來思考時間膨脹現象。在新的座標系下，我們假設有飛行員O駕駛飛船以ｖ的速度從空間中A點移動到B點，計時員X和Y分別在A和B點進行計時。時刻，飛行員從A點出發，時刻，飛行員抵達B點(對應於四維時空圖中的B'點，此時計時員X和Y的時空位置分別為A'和B'點)。則對應的四維時空圖如下所示：

上圖中，其中A點是飛行員出發位置，B點是飛行員擬到達的三維空間位置。 A'點和B'點分別對應飛行員到達後四維時空的當前位置，飛行員速度為v。飛行員在四維時空圖中的運動軌跡為：AB' ；計時員X在四維時空圖中的運動軌跡為：AA'。

在此時空圖中，涉及到2個關於時間的變數，我們分別定義為：

飛行員經歷時間 t 計時員經歷時間 t'

在此時空圖中，飛行員經過的三維時空距離A'B'為三維速度與其經歷時間的乘積：

(1)

飛行員經過的四維時空距離AB'為四維運動速度c與其經歷時間的乘積：

(2)

計時員X經過的四維時空距離AA'為四維運動速度c與X經過時間的乘積：

(3)

由於AA'、A'B'與AB'分別為直角三角形的三邊，因此根據勾股定律，有如下公式：

(4)

等式兩邊同時除以 ，並開方後可得：

(5)

此時，相對論中時間膨脹效應得以證明，飛行員所在參考系的時間相比於靜止的計時員變慢，其變慢的係數等於洛倫茲因子。

而從飛行員O的角度來看，飛行員O認為自己靜止不動，而計時員X則以v的逆向速度運動，則從飛行員O的參考系繪製的時空圖如下：

那麼從飛行員O的角度來觀察，自己經歷的時間長度要小於計時員X經歷的時間長度，而兩者的比值仍然為洛倫茲因子。因此時間膨脹效應在參考系之間是等效存在的。

二、同時的相對性

狹義相對論另一個推導假設為：不同慣性系下，對於事件的同時性不能達成一致。那麼下面還用四維時空圖來進行分析。

在S1時空片中同時發生了M和N事件，那麼還是分別從計時員X和飛行員O的視角來觀察這兩個事件，有如下時空圖：

從計時員X的視角來看，M和N事件在S1時空片上同時發生；但是飛行員O卻有不同觀點，從圖示可見，事件M和N在飛行員座標系中投射事件的時間座標分別位於M'和N'，因此從飛行員O的視角來看，他會先看到事件M(對應M')，後看到事件N(對應為N')。因此從飛行員O的角度，事件M先於事件N發生。

三、雙生子悖論

雙生子悖論是由法國物理學家保羅.郎之萬在1911年提出。設想實驗內容為：一對雙生兄弟，其中一個跨上宇宙飛船作接近光速的長程太空旅行，而另一個則留在地球。結果當旅行者回到地球后，我們發現他比他留在地球的兄弟更年輕。那麼如何使用我們構建的新座標系來理解這一事件呢？

我們還是使用飛行員O的示例來說明，假設飛行員O在抵達B'點之後迅速返航，返航速度仍為v，則根據我們之前的規則，可以構造如下時空圖：

雙生子悖論

在以上時空圖中，我們可以看到，當飛行員O從時空片的A點出發，經過速度為v的往返運動抵達時空片的位置A'之後，計時員O卻已經隨著時空片的運動以c的速度抵達了時空片的 A''位置。此時兩人經歷的時間值對比為：

(6)

以上數值符合狹義相對論的預測結果。

透過對於時間膨脹、同時的相對性以及雙生子悖論的推演，我們發現該時空座標系能夠很好地滿足狹義相對論的各項假說，且其推演過程相比於傳統的公式推演更加簡單易懂。