1.勻加速直線運動點電荷的電場

宇宙是由物質和空間構成的，二者之間相互作用、相互影響。空間是物質賴以存在的基礎，沒有空間物質就不可能存在。物質的一切性質都需依賴空間才能表現出來，因此可以說，在一定意義上物質的性質是由空間的性質決定的。在真空中由於空間的各向同性以及均勻性，靜止點電荷的電場具有球對稱性，其電場線呈直線放射狀分佈。根據廣義相對論，引力場實質上是時空的彎曲，因此在引力場中靜止點電荷的電場也應該隨著時空的彎曲而彎曲，其電場線也應該變為曲線。由等效遠原理可知，一個均勻引力場和一個勻加速運動參照系等效，因此在勻加速運動參照系中靜止點電荷的電場也應該是彎曲的。下面首先來研究在真空中勻加速直線運動的點電荷的電場。

在此我們不做一般的研究，只對一種簡單的情況加以研究。假設在真空中的慣性參照系S 中有一個正的點電荷q，電荷q原來一直靜止在原點O，從時刻t0=0開始以加速度a 沿y軸正方向做勻加速直線運動。在時刻t 時，電荷q 的速度為v=at，為了簡單起間我們假設v<<c (c為光速)，下面研究在時刻t 時電荷q 的電場。

如圖1所示，在t0時刻，電荷q從原點開始加速，在時刻t 電荷q到達P 點。在此期間，由於電荷的加速運動，它周圍的電場會發生擾動，這一擾動以光速c向外傳播。在時刻t，這一擾動的前沿到達以O為中心，以r0=ct 為半徑的球面上。根據相對論關於光速最大的結論，此時不可能有任何變化的資訊傳到此球面以外，因此球面以外的電場仍是在t0時刻之前原來電荷q 靜止於O點時的靜電場，它的電場線是沿著從O點引出的沿半徑方向的直線，而球面內的電場就是在這段時間內電荷加速運動產生的擾動電場。在電荷的速度遠小於光速的情況下，球面內擾動電場相對於電荷的分佈，可以看作是近似不變的，就好像擾動電場同電荷一起做加速運動。實際上隨著時間的推移，擾動電場不斷地由近及遠的傳播，同時電荷又不斷地產生新的擾動電場。

由於電荷q 做加速運動，球面內擾動電場的電場線不再是直線，而是變為曲線，因此在時刻t，球面內的電場線應該是從此時刻q 所在的P 點引出的曲線。由高斯定律可知，在球面兩側的電場線總條數應該是相等的，而且電場線在通過球面處也應該是連續的，因此用電場線描繪整個電場時，就應該把球面兩側的電場線一一對應連線，如圖1所示。

圖1 在時刻t加速電荷q 的電場。

現在藉助電場線圖來分析球面處的擾動電場。如圖2所示，M為球面上任意一點，r 為從點P 到點M 的徑失，且r 與y 軸的夾角為φ。在球面內過點M 的電場線為曲線PM，在球面外則是沿著直線OM。從O 到M的徑矢r0與y 軸的夾角為θ。點P 距點O的距離為OP=vt/2。由於r0=ct 且v<<c, 因而OP<<r0。

圖2 在球面上點M 處的擾動電場E。(a)，E 被分為Er0和Eθ 兩個分量。(b)，E 被分為Er 和Eφ 兩個分量。

我們來求點M 處的擾動電場E。E 是加速電荷q在O點產生的此時已傳播至點M處的擾動電場。E 的方向是沿著曲線PM在點M處的切線方向。E 可分為Er0 和Eθ 兩個分量(見圖2a)。根據高斯定律，電通量只與垂直於高斯面的電場分量有關，所以電場線在球面處連續就意味著Er0分量仍是由庫侖定律給出的徑向電場，也就是原來點M 處的靜電場，即

---------------------------(1)

Eθ分量就是加速電荷q產生的橫向電場, 即[1]

----------------(2)

由於v<<c，所以Eθ<<Er0，因而可得

--------------(3)

如圖2所示，過點O作OD 垂直於直線PM，並與直線PM 相交於點D。E 的延長線與y 軸相交於點Q，並且與y軸的夾角為β，E 與Er0的夾角為δ。因此可得

----------(4)

---------(5)

---------(6)

---------------(7)

----------(8)

----------(9)

由於

----------------(10)

因此點M處擾動電場E 的大小為

---------(11)

從圖2b可以看出，E 的方向不在徑矢r 的方向上，而是向加速度的反方向發生了偏轉，且E 與徑矢r 方向的夾角等於∠QMP。如果把E 分為Er 和Eφ 兩個分量，其中Er 為E 在徑矢r 方向上的分量，Eφ為E 在徑矢r 垂直方向上的分量(見圖2b)，則

----------------------(12)

-----------(13)

E 可以用向量式表示為

-----------(14)

假設有一個勻加速運動的參照系S'，加速電荷q 相對於S' 系始終靜止。如果在S' 系中觀察，電荷q 周圍的擾動電場相對於電荷q 的分佈是固定不變的，並且根據等效原理，該電場同電荷q 在與S' 系等效的引力場中靜止時的電場相同。

在S 系中，在v<<c 的情況下，電荷q 周圍的擾動電場與在S' 系中近似相同，並且隨著時間的推移之前在電荷q 周圍擾動電場的分佈是近似不變的，也就是說在電荷q 周圍相對於電荷q 任意一點處的擾動電場是一近似恆量，所以電荷q 周圍任意一點的擾動電場都可以用式(14)近似表示，此時式中r表示該點距電荷q 的距離，φ 表示電荷q 到該點的徑矢r 與加速度方向的夾角。由於v = αr0/c ≈ αr/c, 因此，當v<<c時，我們可以得到r<<c2/a, 這就是上式中r 的取值範圍。如果加速電荷為負電荷，則負電荷與正電荷產生的擾動電場大小相等方向相反。

E 在加速度方向的分量為

-------------(15)

2.電荷系的相互作用品質

假設在慣性參照系S 中，有一個由兩個正的點電荷q1和q2組成的電荷系，兩電荷間的距離為r，電荷系的總品質M包括兩電荷自身的品質以及兩電荷間的相互作用品質。在此我們不考慮兩電荷間的萬有引力作用，於是兩電荷間的相互作用品質就只有電磁相互作用品質。

圖3：加速電荷系產生的自作用力。(圖中用虛線箭頭表示電荷系的內力F' )

電荷系在外力F 作用下，沿力F 的方向做加速度為a 的勻加速直線運動，從q1到q2的徑矢r 與加速度方向的夾角為φ，如圖3所示。以v表示電荷系的速度，並假設v<<c且r<<c2/a。根據牛頓第二定律，有F = Ma。因為兩個電荷都在作加速運動，所以其中每一個電荷都將受到另一電荷產生的擾動電場的作用力。根據式(15)我們可以得到電荷q1、q2產生的擾動電場在加速度方向的分量，然後可以求出作用於電荷q1、q2上的擾動電場力在加速度方向上的分量分別為

-----------(16)

和

--------(17)

把F′1和F′2相加得其合力為

---------(18)

上式的結果為負值，表示F' 與加速度a 的方向相反。這說明電荷q1、q2之間的相互作用力在加速度方向上不能相互抵消，因此電荷系將受到一個與加速度方向相反的作用力F′，該力不是外力，而是電荷系內部的自作用力。F' 與外力F 的方向相反，它將反抗外力對電荷系運動狀態的改變，它體現了電荷系的慣性，因此F' 屬於電荷系產生的慣性力。由於慣性品質是物體慣性大小的量度，而慣性力F' 與慣性品質等效，因此F' 必然對應於一定的慣性品質。如果用m' 表示與F′ 對應的慣性品質，則F′＝－m'a。將此式代入式(18)可得

-----------(19)

品質m′ 屬於電荷系所有，它就是電荷系的相互作用品質。因為m′ 與2－sin2φ成正比地隨φ 變化，所以不同的φ值對應的m′ 值也將會不同。當φ＝0時，m′取最大值q1q2/(2πε0c2r)，當φ＝π/2時，m′ 取最小值q1q2/(4πε0c2r)。這表明品質m′ 的值將會隨著加速度相對於電荷系的方向而變化，因此品質m′ 具有“方向性”，它是由於電荷系自身結構的方向性而產生的。在式(19)中，當q1、q2為異號時m′ 為負值，表示電荷系的慣性品質減少。

由於電荷系的相互作用品質具有“方向性”，而電荷q1、q2自身的品質是固定不變的，所以電荷系的總品質也具有“方向性”。

從上面的敘述中，我們可以得出電荷系的品質隨著加速度相對於電荷系的方向而變化，這表明物體的品質不是固定不變的，而是有方向性的。

參考文獻

[1] 張三慧.電磁學[M].北京：清華大學出版社，1999:373-377.