韓啟超 趙啟林南京工業大學 南京 211816
摘 要：針對複合材料具有可設計性以及經典差分進化演算法自身的缺陷，提出一種改進的差分進化演算法對複合材料層合板進行以鋪層角為設計變數、蔡- 吳（Tsai-Wu）強度準則為約束條件、層合板強度最大為目標函式的最佳化設計。考慮差分進化演算法在尋優過程中個體間差異越來越小，採用隨機選擇突變策略和增加擾動機制的方法，增大個體間差異，避免演算法陷入區域性最優解。透過數值算例和工程算例驗證了改進的差分進化算具有較好的全域性收斂性。
關鍵詞：複合材料層合板；改進差分進化演算法；最佳化；全域性最優
中圖分類號：TB332 文獻標識碼：A 文章編號：1001-0785（2020）01-0093-04
0 引言複合材料為新型材料，其強度高，剛度大，質量輕且具有可設計性，在航空航天、機械、船舶、建築等工程領域得到廣泛應用[1]。各向異性作為複合材料的突出特點，導致複合材料最佳化設計中設計變數種類很多。傳統的最佳化設計方法大多基於數學梯度資訊，要求設計變數是連續的；初始點的選擇也對最佳化結果影響很大。故傳統演算法具有一定的侷限性。
差分進化演算法（Differential Evolution, 以下簡稱DE）效能優越，其在國際進化演算法大賽中多次獲得較好名次[2]。作為一種進化類演算法，DE 演算法同樣存在缺陷，如在尋優過程中易出現陷入區域性最優點，個體出現早熟現象等[3]。本文對演算法進行改進。1）突變策略改進初始群體中的每個成員被隨機分配一個突變策略和相關引數值，群體成員（目標載體）使用指定的突變策略和引數值產生後代（試驗載體）。如果生成的試驗向量優於目標向量，則用試驗載體保留突變策略和引數值，試驗載體成為下一代親本（目標載體）。如果目標載體優於試驗載體，則用新突變策略和對應的相關引數值隨機重新初始化目標載體。透過對突變策略和後代中相關控制引數的更好組合可使後代產生的可能性增加。採用的突變模式為 [4]
式中：Gauss(0,1) 為隨機產生的高斯序列，F0 為初始變異率，Fmin、Fmax 取值範圍一般為0.4 ～ 0.95。
2）人為增加擾動向量差分進化演算法在迭代到一定次數時隨機選取種群中的個體進行操作，有
式中：Halton(0,1) 為產生的Halton 隨機序列。改進的差分進化演算法可克服易陷入區域性最優解的缺陷。對複合材料層合板的最佳化分析表明，改進的演算法可進一步最佳化複合材料層合板的力學效能。1 改進的差分進化演算法1.1 演算法流程差分進化演算法是一種模擬自然界生物進化的智慧演算法，透過基於向量差分形式的變異操作和基於機率選擇的交叉操作進行個體進化迭代。1）初始化種群透過隨機數生成器產生一定大小的初始種群，表示式為
式中：rand 表示隨機生成一個[0,1] 之間的數，aj、bj (j=1,2,…,D) 表示第j 個變數的最小邊界和最大邊界。2）突變策略和控制引數初始群體中的每個成員被隨機分配一個突變策略和相關引數值。3）變異操作採用差分策略實現變異，一種常見的差分變異的實施方法是：從目標種群中隨機選取兩個不同的個體，將這兩個個體對應的向量進行差分縮放，隨後選擇當前種群中的最優個體和第三個個體進行差分縮放，最後進行向量相加，形成新的個體即變異個體。表示式為
式中：F 為縮放因子，xi,g 表示第g 代種群中的第i個個體，xbest,g 表示當前種群中的最優個體。本文的縮放因子F 在每一代都會自動更新，生成方式為
值得注意的是，在執行完變異操作後，需要對解的有效性進行驗證，有必要判斷“染色體”中每個“基因”是否滿足邊界狀態。對於不滿足條件的“基因”，可以採用生成初始種群的方法，即透過隨機數生成器重新生成。4）交叉操作交叉操作的作用是交換目標個體和交叉個體的資訊，生成新的個體即試驗個體，試驗個體同時保留目標個體和變異個體的資訊。以個體的每個元素作為物件分別產生一個隨機數，根據產生的隨機數決定實驗向量的對應元素來自目標向量還是變異向量。表示式為
式中：CR 為交叉機率，jrand 為[1, 2, ... , D] 的隨機整數。5）選擇操作採用父代個體和中間個體一對一的貪婪選擇策略，有助於提高演算法的多樣性，根據當前種群和試驗種群中對應個體的適應度決定進化到下一代的個體，表示式為
同時，試驗載體和目標載體競爭優勝者的突變策略和相關引數值被保留，進行下一次迭代。6）擾動操作作為基於遺傳機制建立起來的新的最佳化演算法，不可避免地存在一些缺陷，具體表現為伴隨著進化的進行，種群中個體的多樣性越來越差，收斂速度越來越慢，有可能導致演算法陷入區域性最優解。故有必要在迭代後期增加擾動，增強個體多樣性，表示式為
式中：Halton(0,1) 為產生的Halton 隨機序列。
1.2 演算法試驗為分析改進後演算法的尋優能力，進行二維Shubert測試函式（見圖1）試驗，測試函式為
圖1 二維Shubert 函式影象
該函式是一個典型的非線性多模態函式，在其可行域記憶體在多個區域性最優點，很難找到全域性最優解。設種群大小為20，最大進化代數為40，變異率為0.5，交叉率為0.9。分別採用標準差分進化演算法和改進差分進化演算法求解，結果對比見圖2。
圖2 尋優對比
可以看出，改進後的差分演算法較標準演算法效能更加優越，在較短的迭代週期內即可找到全域性最優解。
2 最佳化設計問題描述複合材料層合板結構如圖3 所示。
圖3 層合板結構示意圖
圖中，n 為鋪層個數，t 為鋪層厚度，θ 為鋪層角。複合材料層合板最佳化設計中，需要注意：1）適應度函式適應度函式按照蔡- 吳（Tsai-Wu）張量理論，採用最先一層失效強度對複合材料層合板進行最佳化設計[5]。蔡- 吳（Tsai-Wu）張量理論的強度比方程為
式中： Fxx、Fx、Fyy、Fy、Fss、Fxy 均為強度引數，Xt 為縱向拉伸強度，Xc 為縱向壓縮強度，Xt 為橫向拉伸強度，Yc 為橫向壓縮強度，S 為平面剪下強度，σx 為縱向應力，σy 橫向應力，σy 剪下應力，R 為強度比。求解得到各層強度比，最小單層的強度比R(i) 即為最先失效層，可以繼續載入的許用應力倍數R(i)-1 為適應度函式[6]，適應度函式為F(i )=min(R(i)-1) i=1,2,...,n2）目標函式G( j )=max(F(i )) i=1,2,...,m3）設計變數在複合材料層合板最佳化問題中，變數為鋪層角，記為θ(i)，其中i 表示層合板第i 個鋪層角度，θ 表示含有n 個鋪層角度的序列。4）染色體編碼在複合材料層合板的鋪層設計中, 其纖維鋪設角度的離散值為0°、±45°、90°[7]。
3 最佳化算例某複合材料板力學引數見表1，幾何引數為長度0.6 m、寬度0.4 m，厚度1.25×10-6 m，層數16。該層合板四邊簡支約束，承受90°纖維方向拉伸載荷以及0°纖維方向拉伸載荷均為400 kN。分別用基本差分進化演算法和改進差分進化演算法進行最佳化設計。
改進差分進化演算法最佳化結果如表2 所示。由於層合板具有對稱性，故表2 中只包含一半的鋪層角度。分析最佳化結果可知，外載荷會對層合板附加較大的剪下力，故增加±45°的鋪層。最佳化過程中適應度值從0.350 1提高到0.648 5，可知該層合板的強度有一定的提升。
圖4 為經典差分進化演算法和改進差分進化演算法的尋優能力對比。可知，經典差分進化演算法在進化到20 代陷入了局部最優解，目標函式值不再發生變化。而改進差分進化演算法突變策略和相關控制引數隨著迭代進行動態調整，且增加了擾動個體，進而增加了種群的多樣性，故可找到全域性最優點，顯示了改進演算法的優越性。
(a) 經典差分進化演算法
（b）改進差分進化演算法圖4 演算法尋優能力對比
4 結論採用改進的差分進化演算法開展以層合板強度最大化為目標的最佳化工作，為克服差分進化演算法易陷入區域性最優解的缺陷，最佳化複合材料層合板力學效能指標，提出一種改進方法。透過動態調整控制引數和在選擇操作後增加擾動機制，可提高個體差異性，避免經典差分進化演算法在迭代求解時陷入區域性最優解。透過數值算例和工程算例證明改進的差分進化演算法更易於找到全域性最優解，改進的差分進化演算法將層合板的強度提升了18%。
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