宇宙是如何運轉的？有遵循的規律嗎？

地球是一個球體，我們扔出一個物體，如果速度足夠快，扔出地球的直徑以外，這個物體如何往下掉，如何運動？會如同月球一樣，圍繞地球旋轉嗎？這個速度需要多少？

如果一個圍繞地球旋轉的物體要脫離地球的引力運動時，會受到太陽的引力而做繞日運動？需要多大的速度？更進一步，如果要脫離太陽的引力呢？

行星的運動軌道有什麼規律？各種型別的探測器需要多大的初始速度？

1 開普勒三大定律

1602年底，開普勒運用幾何學知識，闡述了行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過的面積相等。這就是關於行星運動的開普勒第二定律（面積定律）。

1605年初，開普勒偶然想到了橢圓軌道這個概念，他之前認為這個解決方法太簡單，以至於早期的天文學家們都忽略了。在發現橢圓形軌道適用於火星的資料之後，他立即推斷出所有行星都以太陽為中心按照橢圓軌道運動，這就是關於行星運動的開普勒第一定律（橢圓定律）。

1609年， 開普勒利用丹麥天文學家第谷·布拉赫20多年所觀察與收集的非常精確的天文資料（特別是火星軌道的資料）完成了《新天文學》（Astronomia nova）的手稿，但是由於第谷天文臺（第谷後人的財產）的法律爭議，直到1609年才發表。書中闡述了橢圓定律和麵積定律。

1618年，在發表的《世界的和諧》（Harmonices Mundi）一書中闡述了所有行星繞太陽一週的恆星時間的平方與它們軌道半長軸的立方成比例，這就是開普勒第三定律（調和定律，也稱週期定律）。

行星橢圓軌道半長軸a（若行星為圓軌道，則a為圓軌道的半徑）的立方與行星執行週期T平方成正比，即，k就是開普勒常量。太陽系中k的值為。T為執行週期，如地球的運動週期大約為365.25 天。

2 圓周運動與向心力

任何物體在作圓周運動時需要一個向心力，因為它在不斷改變速度（物件的速度的速率大小不變，但方向一直在改變）。只有合適大小的向心力才能維持物體在圓軌道上運動。這個加速度（速度是一個向量，改變方向的同時可以不改變大小）是由向心力提供的，如果不具備這一條件，物體將脫離圓軌道。注意，向心加速度是反映線速度方向改變的快慢。

物體在作圓周運動時速度的方向相切於圓周路徑。勻速圓周運動物體所受合力的方向一直指向圓心，即此來改變速度的方向。

向心力可以使物體不脫離軌道。一個很好的例子是重力。 地面重力給人造衛星必要的力使其在沿軌道運動。

物理學上，向心力與物體速度的平方及它的質量和半徑倒數成正比：

其中 v＝ωr

(v是線速度，單位時間內經過的距離，ω是角速度，單位時間內轉過的角度)。

寫出勻速圓周運動的運動軌跡的引數方程，這方程是一個圓的引數方程，表示勻速圓周運動的質點在每個時刻的位置，是質點的座標，也可以看作是從圓心指向質點的向量。

x(t) = Rcosωt

y(t) = Rsinωt

對 t 求導一次，就得到了小球在每個 t 時刻應當具有的速度。

對 t 求導兩次，就得到了小球在每個 t 時刻應當具有的加速度，加速度的大小。

質量為m的物體以速度v沿曲率半徑為r的曲線運動時所需的向心力F（單位N）為：

其中 v＝ωr

其中：v為線速度（單位m/s），ω為角速度（單位rad/s），m為物體質量（單位kg），r為物體的運動半徑（單位m），T為圓周運動週期（單位s），f為圓周運動頻率（單位Hz），n為圓周運動轉速（即頻率，單位r/s）。

角速度用連線物體和圓心的半徑轉過的角度θ跟轉過這個角度所用時間t的比值來表示，即：ω＝θ/t，比值ω叫作勻速圓周運動的角速度。在國際單位制中角度的單位是弧度，時間單位是秒，角速度單位是弧度/秒。角速度ω與週期T的關係是：ω＝2π/T，角速度和線速度的關係是v＝ωr。在實際應用中，人們也常用轉速來描述作勻速圓周運動物體的快慢。所謂轉速是指作勻速圓周運動的物體每秒轉過的圈數，用符號n來表示。角速度與n的關係是：ω＝2πn。

3 太陽對行星的引力提供行星軌道運動的向心力

是一個常量，所以(∝表示成比例)

即萬有引力分別與M和m成正比。

設F=a(M)m，a(M)是M的函式；

設F=b(m)M，b(m)是m的函式；

r不變時，m與M無關，a(M)與b(m)無關。

當m為固定值時，F∝a(M)∝M，設a(M)=cM

帶入F=a(M)m，得F=cMm

所以 F∝Mm

牛頓得出萬有引力公式：，其中G是一個常量，稱為萬有引力常量。

4 萬有引力常量

推匯出

1797年夏，英國物理學家卡文迪許(H.Cavendish）著手改進米歇爾的扭秤。1798年，卡文迪許利用扭秤，成功地測出了引力常量的數值，證明了萬有引力定律的正確。

用準直的細光束照射鏡子，細光束反射到一個很遠的地方，標記下此時細光束所在的點。

用兩個質量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球。由於萬有引力作用。扭秤微微偏轉。但細光束所反射的遠點卻移動了較大的距離。

卡文迪許解決問題的思路是，將不易觀察的微小變化量，轉化為容易觀察的顯著變化量，再根據顯著變化量與微小量的關係算出微小的變化量 。

此實驗的巧妙之處在於利用光的反射將微弱的力的作用進行了放大。

在卡文迪許的實驗中，對於萬有引力公式，除了G以外，所有量都是已知的，於是可從方程直接求出G。其值為。

在數值上等於兩個質量都是1kg的物體相距1m時的相互作用力。

4 黃金代換公式

在理想情況下，物體在天體表面的重力大小（mg）等於天體對物體的萬有引力(F)大小。設天體表面一個物體質量為m，中心天體質量為M，g為天體表面的重力加速度，r為天體半徑，已知引力常量為G，得：

＝ mg

得。

在卡文迪許測出引力常量G之前，這個公式可以直接用來替換未知的G，價值堪比黃金，所以叫黃金代換公式。

5 宇宙速度

作為前置知識的相關資料和公式：

重力加速度：

萬有引力常數：

地球半徑：

地球質量：

太陽質量：

太陽與地球之間的距離：

5.1 第一宇宙速度（環繞速度）——7.9km/s

物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的最小發射速度。

人造衛星在地面附近（高度忽略）繞地球做勻速圓周運動時（真空環境中依靠慣性滑行），其軌道半徑近似等於地球半徑 （以地心為基準），其向心力為地球對衛星的萬有引力，其向心加速度近似等於地面處的重力加速度。

根據定義，直接由萬有引力提供物體勻速圓周運動所需向心力：

從面得到：，根據黃金代換：，

解得：

由於地球在自轉，因而在發射衛星時，利用地球的自轉（由西向東），可以儘量減少發射人造衛星時火箭所提供的能量，而且最理想的發射場地應該是地球的赤道附近。

發射之處，由於地球的自轉，使得衛星具有一初速度，其大小為：

由於地球自轉而獲得的動能（假設某衛星的質量是）：

利用地球自轉，在赤道利用火箭發射衛星時可節省的能量。

5.2 第二宇宙速度（逃逸速度）——11.2km/s

物體掙脫地球引力束縛，離開地球的最小發射速度。

（第一宇宙速度用力的概念來推導，第二宇宙速度用功的概念來推導。）

先看一個簡單的問題: 地面上有一個質量為m的物體，以初速度V0豎直向上丟擲，它能上升多高？

很明顯，由於物體一直受到重力的作用，而且重力與其運動方向相反，重力是阻止物體向上運動的，重力對物體做負功，或者說，物體要克服重力做功：W=m·g·h

如果物體沒有初速度，也就沒有動能，是無法克服重力做功的，就是說，物體自己是不會跳起來的！必須別人推它獲得初速度，也就有初動能：

在物體上升的過程中，物體由於要克服重力做功，本身的動能會越來越小，重力勢能會越來越大，直到動能耗盡，Ek(top)=0，全部轉化為勢能為止，達到最高點，此時：Ek=0Ep=mgh （重力勢能）這個重力勢能就是初始動能轉化來的：

由此可以算出物體能達到的最大高度：

物體在耗盡了動能之後，不會呆在最高點不動，馬上就會掉下來！為什麼？

因為地球還對它有引力，也就是重力，會把它拉回地面，掉下來。不過你力氣越大，扔得越高，直到看不見，不過要小心，它還是會砸下來的。所以，我們用手是不能把一塊石頭扔上天的！

一定要把它扔上天，那就只好用火箭發射了。好在現在火箭越來越牛。那麼扔上天是什麼意思？就是不再掉下來，而且，再也不回地球了，去太陽系遨遊，升級為太陽的人造衛星！

怎麼可能？地球不是一直吸引它嗎？當它動能耗盡，不是還會拉回來嗎？呵呵，不會。因為，我們一直生活在地球，被重力嚇怕了，其實，有一個重要的細節我們忽略了，那就是，重力並不是不變的，而是隨著距離的增加猛減的。這個，老牛同志（牛頓）早就說過了，重力不過是萬有引力的一種而已：

萬有引力定律說明，隨著距離的增加，引力按距離的平方減少，也就是說，如果我們能把石頭扔到無窮遠的話，地球的引力就無窮小了，可以不計。所以，理論上，是可以扔出去的！那麼怎麼計算要多大的速度呢？那我們就要算出從地面到無窮遠j時重力做了多少功。那還不容易：W=mgh∞

苦也！這個功是無窮大！那就意味著要無窮大的速度，無窮大的力！錯！

我們站在地面思考問題時，總是把重力簡化為G=mg，這個公式，只適合地面。

實際上它是隨距離變化的：

所以上面的公式中是不能用mg代表所有點的重力的，每個點受到的重力都是不同的。

在地球引力場中，移動物體時克服引力所做的功。很顯然，物體上升得越高，需要做的功也就越多。但同一物體在不同高度處所受地球引力並不相等，隨著物體高度的增加，地球引力將逐漸減弱。當物體與地球的距離趨於無窮大時，地球對它的引力也就趨於零，這時物體就脫離了地球的引力場。因此，物體由地球表面上升到無限遠處克服地球引力所做的功為一定值。這一數值可用下面的方法進行推算。

如上圖所示，因各處的引力不等，設物體m從地球E的引力場中從處移動到處。

我們可把的一段距離分成許多極小的等分Δx。

和地球中心的距離分別為；先求出每一等分中的平均引力，然後求出透過每一等分時物體克服地球引力所做的功，這些功的總和，就是物體從移動到克服地球引力所做的功。如果物體依靠消耗自身的動能來完成它所需做的功，那麼它從移動到克服地球引力所做的功，就等於它動能的減少。

根據萬有引力定律，如果用G表示萬有引力常量，M表示地球的質量。物體在P0處所受的引力為；物體在處所受的引力為

因為相距極近，物體在間所受萬有引力的平均值可以近似地等於兩處引力的比例中項，即：

同理，物體在P1、P2間所受的平均引力為

……

物體在間所受的平均引力為

物體從的過程中克服萬有引力所做的功為：

*

即

物體從P1移動到P2時克服萬有引力所做的功為：

……

同理，物體從Pn -1移動到Pn時克服萬有引力做的功為：

把以上各式相加，得到物體從P0移動到Pn整個過程中克服萬有引力所做的功為：

物體從處克服萬有引力所做的功，在數值上就等於物體在兩處物體與地球組成的系統的重力勢能之差，它的值只與的位置有關，而與物體移動的路徑無關。

如果物體在處的速度為v，它的動能就為，物體之所以能克服萬有引力做2

功，正是因為它具有這些動能。由機械能守恆定律可知，如果只考慮克服地球引力做功，物體所具有的動能應滿足下列條件：

即物體應具有的速度為：

在以上的推導過程中，我們沒有考慮物體在運動過程中克服空氣阻力做功，也沒有考慮太陽及其它天體引力的影響。在實際情況下，要使物體從，所需的動能應更大些。

由以上推導得出的速度表示式可知，使物體從地球表面r = R處出發而脫離地球，即到達處，物體所具有的速度即為第二宇宙速度，所以第二宇宙速度為：

根據黃金代換：，

= 11.2 km/s

其實在推導第一宇宙速度（環繞速度）和第二宇宙速度（逃逸速度）的時候，我們已經發現逃逸速度是環繞速度的根號2倍了（）。

以上推導過程實際已經隱含了引力熱能公式。

當物體掙脫地球引力飛向據地球無窮遠處時，物體動能和勢能都為0焦耳，根據機械能守恆定理，在地球上發射時動能和引力勢能之和也應該為0焦耳， ，即：

化解得到：

5.3 第三宇宙速度推導——16.7km/s

地球上物體飛出太陽系相對地心最小速度稱為第三宇宙速度，它的大小為16.7公里/秒。

首先，我們發射衛星時可以利用地球的公轉速度，因此，先求解地球繞太陽的公轉速度，即：

解得：

然後，我們不考慮地球影響（或假設地球不存在），以太陽為參考系，那麼在地球附近的物體具有的動能與勢能之和為：

若該物體能掙脫太陽引力，則應該滿足 ，即：

解得

地球公轉速度（29.8km/s）小於這個逃離速度(相對於太陽)，所以地球無法逃離太陽引力。第三宇宙速度是相對於地球的，地球公轉速度是相對於太陽的。

其實在推導第一宇宙速度（環繞速度）和第二宇宙速度（逃逸速度）的時候，我們已經發現逃逸速度是環繞速度的根號2倍了。因此上述相當於地球逃逸太陽的速度（）。

前面已經說過，發射衛星時可以利用地球的公轉速度，因此得到：

也可以理解為是相對地球的速度，即以地球為參考系的速度。

剛才我們求解得到時是假設地球不存在的，現在把地球還原，則發射速度還要克服地球引力作用（達到第二宇宙速度），即：

推導第二宇宙速度有動能和引力勢能的關係：

可得：

注意上式可以直接理解為：發射的動能還需要附加一個物體從地球上逃逸的動能。

簡單地說，發射動能相當於地球從太陽系逃逸後，物體再從地球上逃逸。當然這個說法不完全正確，因為涉及到一個相對速度和參考系的變化！

最終解得：

（4）其他幾個宇宙速度

地面上的物體在充分利用地球公轉速度情況下再獲得這一速度後可沿雙曲線軌道飛離地球。當它到達距地心93萬公里處，便被認為已經脫離地球引力，以後就在太陽引力作用下運動。這個物體相對太陽的軌道是一條拋物線，最後會脫離太陽引力場飛出太陽系。

5.4 第四宇宙速度

物體擺脫銀河系引力束縛，飛出銀河系的最小發射速度，大約為110-120km/s。

5.5 第五宇宙速度

物體飛出本星系群的最小發射速度，由於本星系群的半徑和質量均未有足夠精確資料，因而無法準確得知大小。估計本星系群大小為500-1000光年，照這樣計算，至少需要1500-2250km/s 的發射速度才能飛離。

5.6 第六宇宙速度

假設宇宙之外還有別的世界，要擺脫宇宙到達另一個世界，需要的最小發射速度，這就是第六宇宙速度，該宇宙速度是否存在，不得而知！

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