普朗克常數縱橫談

（清風科普於2020年2月13日）

19世紀末，與經典力學和經典電磁學並駕齊驅的，是經典熱力學。當時，人們普遍認為能量（如光）是連續的，而物質（如水）是不連續的。

01. 經典物理學頭頂的兩朵烏雲：

然而，連續的能量會存在著一個嚴重問題：即“高階能量的紫外輻射”。這就是著名的 “黑體輻射” 與 “紫外災難”，被英國科學家開爾文形象比喻為飄浮在經典物理學上空的兩朵烏雲之一。

另一朵烏雲是 “邁克耳遜－莫雷實驗” 與 “以太說破滅”。這朵烏雲對經典物理學中的 “波” 的傳播需要介質 “以太” 提出了挑戰。以太（Ether），最早源於古希臘哲學家亞里士多德所設想的一種瀰漫於空間的物質。後來被經典物理學奉為真理數千年，正如聲音的傳播需要“空氣” 做為介質， 不會有人質疑。但正是因為有了對 “以太” 這朵烏雲的質疑和破解，才會引出後來的 “光的波粒二象性”，這對經典物理學是顛覆性的革命。

為了消除第一朵烏雲 “紫外災難”，普朗克於1900年，在其新建的 “黑體輻射” 公式中，添加了一個量綱，做為粒子角動量的物理常數h，其數值：h=6.62607015×10^-34 J·s

（焦耳·秒）[來自第26屆國際計量大會(CGPM)表決透過的精確值]。普朗克常數記為h，用以描述能量子大小。在量子力學中扮演重要角色。

附帶：也很重要的基本物理常數，叫玻爾茲曼常數：

k =1.3806505×10^-23J/K（焦耳/開爾文）

02. 黑體輻射的研究成果：

說明：在黑體輻射研究中，出現多個物理表示式。其中，普朗克定律更適用於綠光中波中頻領域，維恩近似值更適用於藍紫光短波高頻領域，瑞利-金斯定律更適用於紅光長波低頻領域。

瑞利-金斯公式在長波或高溫情況下，同實驗結果相吻合。但在短波範圍，能量密度則迅速地單調上升，同實驗結果矛盾。這就是物理學史上最著名的 “紫外災難”。瑞利-金斯公式的嚴重缺陷，深刻揭露了經典物理的困惑，從而對輻射理論和近代物理學的發展，起了很重要的推動作用。科技發展有一條不成文的鐵律：“有質疑，才有進步！”

03. 普朗克常數的發現：

普朗克在1900年研究物體熱輻射的規律時發現，只有假定電磁波的發射和吸收不是連續的，而是一份一份地進行著，計算的結果才會與試驗結果相吻合。這樣的一份份能量叫做能量子，簡稱量子。

表示式：εₙ=nhv（n=1，2，3…）

簡式：E=hv

其中，ν為輻射電磁波的頻率，h為普朗克常數。在不確定性原理中，粒子位置的不確定性×粒子速度的不確定性×粒子質量≥普朗克常數h。

千克（kg）的定義由普朗克常數決定，其原理是將移動質量1kg物體所需機械力換算成可用普朗克常數表達的電磁力，再透過質能轉換公式算出質量。

在物理學的基本常數中，有些是透過實驗觀測發現的，如真空光速c 、庫侖常數e、真空磁導率μ₀、真空電容率ε₀等。

有些是建立在相關定律或定理時被匯出的，如牛頓引力常數G、阿伏伽德羅常數NA 、玻耳茲曼常數kB 等。

而普朗克常數h，則完全是憑藉著普朗克的聰明智慧的大腦創造性地發現的。然而，它卻是物理學中一個實實在在的、具有非凡意義的、神奇的自然常數。

04. 普朗克常數的特殊意義：

①能頻當量：

可用光電效應實驗來驗算普朗克常數：

h=△Ek/△f=6.63×10⁻³⁴（J/Hz）（焦耳/赫茲）…（1）

電子脫出功：W=△Ek

W反映電子物質波動能△E與光子電磁波頻率k的對應關係，可稱之為能頻當量。

當量關係，是應對、應激、應變、投影、迭代、轉換等超對稱關係的量綱分析法。

②功熱當量：

能量增量與熱量增量的當量關係，可稱之為功熱當量：

k'=△E/C△T =4.18（J/cal）（焦耳/卡路里）…（2）

電流熱效應中的熱量與電流的當量關係或電阻參量，可稱之為熱電當量：

R=Q/I²t...（3）

④能溫當量：

平均動能與絕對溫標的當量關係，可稱之為能溫當量：

k=2Ek/3T=1.38×10⁻²³J/K...（4）

05. 普朗克常數的普適性意義：

就光電效應而言，

普朗克常數之所以很小，

是因為電子質量極小：

m=9.11×10⁻³¹kg（公斤）

而紫外線的光子頻率：

f>c/380nm=7.9×10¹⁴ Hz（赫茲）

普朗克常數，揭示束縛電子變成自由電子所需要的臨界性的光子頻率f₀或電磁輻射能E₀。

作為光電效應方程，從公式（1）不難推匯出：λ=2hc/mv²...（5）

（h普朗克常數，m費米子質量，v粒子速度，c光速，λ波長）

其意義在於：在大型強子對撞機中，當質量為m的費米子，其速度v被加速到接近光速c時，即v→c時，公式(5)可改寫成：

λ=2hc/mc²=2h/mc...（6）

換句話說：費米子是一種物質波，也叫移動波源，當測地線迴圈速度達到光速v=c，其激發的極限頻率：

f₀=½mc²/h...（7）

公式(7)可寫成h的定義式：

h=½mc²/f₀...（8）

其中費米子質量很小，極限頻率很高，因而h極小。況且m，c，f₀都是常數，故h是不可改變的常數。

在正負電子對撞機中，

1個電子被加速到v→c，

而其Ek→½mc²時，

所激發光子的極限波長：

λ₀=2h/mc=4.85（pm）（皮米）

極限頻率：

f₀=c/λ₀=6.18×10²¹（Hz）（赫茲）

同理，在超大型強子對撞機中，質子被加速到v→c，質子動能Ek→½mc²時，激發光子的極限波長：

λ₀=2h/mc=2.64（fm）（飛米）

該光子的極限半徑：

r₀=λ₀/2π=0.42（fm）（飛米）

並伴隨有光子的極限頻率：f₀=1.14×10²³（Hz）（赫茲）

長度換算關係：m（米）

1mm（毫米）=10^-3m

1μm（微米）=10^-6m

1nm（奈米）=10^-9m

1pm（皮米）=10^-12m

1fm（飛米） =10^-15m

1am（阿米）=10^-18m

當然，如果能將α粒子加速到接近光速，所激發的光子波長約比質子激發波長小4倍，約0.1fm，是宇宙中波長最短的光子了。

注意：為與光電效應協調，建議把康普頓波長公式λc=h/mc修正為λ=2h/mc，把德布魯伊波長λd=h/mv修正為λ=2h/mv。

06. 約化普朗克常數（ћ）：

①若以eV·s（電子伏特·秒）為能量單位，則

h=6.62607015×10^-34

÷1.602176 634×10^-19eV·s

=4.1356676969×10^-15 eV·s（電子伏特.秒）

②能量×時間：J.s（焦.秒）是h的能量子單位；動量×位移量：N·m·s（牛頓·米·秒），是h的角動量單位。

約化普朗克常量ћ（又稱合理化普朗克常量）是角動量的最小衡量單位，ћ是一個量子的內稟角動量。注意ћ在h上有一條橫槓，讀作 "h拔" 。

④有時使用角頻率 ω=2πν ：E=nћw

許多物理量可以量子化。譬如角動量量子化。 j為一個具有旋轉不變數的系統全部的角動量， j₂ 為沿某特定方向上所測得的角動量。其值：

j₂= j（j+1）ћ2= mћ，

j= 0，1/2，1，3/2，2，... ；

m= -j，-j+1，...，j

因此，ћ可稱為 "角動量量子"。

⑤普朗克常數也使用於海森堡不確定原理。在位移測量上的不確定量（標準差） Δx，和同方向在動量測量上的不確定量 Δp有如下關係：ΔxΔp≥ћ。

⑥光電效應，光逐出每個電子的動能Ek，Ek可表示為：Ek=hv-Φ；Φ表示功函式，就是從物質表面逐出電子需要的最小能量。

07. 普朗克基本單位：（計算公式省略）

①普朗克最小體積：

Vp=10^-99 cm³（立方厘米）

（這也是宇宙大爆炸前的奇點體積，顯然比夸克體積還小，小到可以忽略不計。所以說宇宙奇點，時間為0，空間為0。）

②普朗克尺度：

Lp=1.61624（12）x10^-35m（米）

[供參考：夸克直徑10^-18m。

括號內（12）表示 “末位正負誤差值”，理解成：

Lp=1.61624±0.00012x10^-35m（米）]

Tp=1.416833(85) × 10^32k

（k為開爾文，熱力學華氏溫度單位）

④普朗克能量：

Ep=6.6260693（11）×10^-34J.s（焦.秒）

=4.13566743（35）×10^-15e∨.s（電子伏特.秒）

⑤普朗克質量：

mp=2.176 51(13) × 10^-8kg（公斤），=0.0217651 ± 0.0000013 μg（微克）

[普朗克質量相當於質子質量的1千億億倍，而質子質量是電子質量的1836倍。質子和電子的質量單位也可用Me∨/c表示（百萬電子伏特/光速）。

質量的本質是靜止的能量，能量的本質是運動的質量。當基本粒子達到光速時，能量趨於最大值為1，質量趨於最小值為0 。但不同的基本粒子之間，能量或質量大小又不同，如質子能量是電子能量的1836倍 ]。

⑥普朗克密度：

ρp=10^63個量子/cm³

（地球物質密度用克/cm³，天體物質密度用噸/cm³，宇宙物質密度用 “個量子/cm³”）。

⑦普朗克時間：

tp=10^-43秒

（即宇宙大爆炸的初始時間）

補充：秒的換算關係

1ms (毫秒) =10^-3秒

1μs (微秒) =10^-6秒

1ns (納秒) =10^-9秒

1ps (皮秒) =10^-12秒

1fs (飛秒) =10^-15秒

[供參考：用鐳射閃擊治療眼角膜的方法有兩種：全飛秒和半飛秒，可以人為有效控制。巳知光速約30萬公里/秒，若基本粒子以光速飛行，每移動1釐米，會用去0.33納秒（ns）。電子速度接近於光速，即v→c，換算後得出，電子繞核轉一圈，所花的時間是0.628飛秒（fs）。

如果以普朗克時間10^-43秒作為基本單位，等價於1秒鐘，那麼電子繞核轉一圈，需要多長時間呢？巳知1年=3.15x 10^7秒，1億年=3.15x 10^15秒，1億億年=3.15x 10^30秒，電子繞核轉一圈0.628x10^-15秒。

如果把普朗克時間10^-43秒等價於1秒，那麼不難換算出來：電子繞原子核轉一圈，所花的時間約為2百萬億年，而太陽系環繞銀河中心轉一圈只是2.8億年，宇宙大爆炸至今才138.2億年時間。可見，1秒對我們日常生活而言轉瞬即逝，但相對於普朗克時間而言，簡直就是最最慢長的地質年代。]