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人人都可以理解高斯玻色取樣問題

　　大家也都知道了，“九章”光學裝置實驗的是一個叫“高斯玻色取樣”的問題。那首先肯定應該理解什麼是“高斯玻色取樣”的問題。

　　彆著急！只要你耐心地讀完本文，我保證只要識字的人基本上都能理解這個看似高深的問題。我們先從一個最簡單的例子開始。

兩個一摸一樣的小球落到兩個一摸一樣的袋子裡

　　我們首先來設計一個實驗，而這個實驗和拋硬幣有點類似，也就是檢驗一個事件發生的機率。實驗臺的上面有兩個一摸一樣的小球，實驗臺的下面有兩個一摸一樣的袋子，每個小球落下來，會以一定的機率掉進兩個袋子裡，就像拋硬幣，正反面以一定的機率出現。拋硬幣實驗中正反面出現的機率一般認為相等，但在這個實驗中，小球分別落進兩個袋子裡的機率可以設定為不同的值。

　　最終可能有三種狀態：或者兩個球都掉進左邊的袋子；或者兩個球都掉進右邊的袋子；或者每個袋子裡都有一個小球。假定第一個小球都以0.3和0.7的機率落進第一個袋子和第二個袋子，第一個小球都以0.5和0.5的等機率落進第一個袋子和第二個袋子。我們來計算一個簡單的機率問題：

　　每個袋子裡都有一個小球的機率是多少？

小球以設定好的機率掉進兩個袋子裡

　　這是高中數學中最簡單的入門機率問題。每個袋子裡都有一個小球的機率包含兩種情況：

　　情況１：第１個球落進第１個袋子，同時第２個球落進第２個袋子，機率是0.3*0.5

　　情況２：第２個球落進第１個袋子，同時第１個球落進第２個袋子，機率是0.7*0.5

　　所以：每個袋子裡都有一個小球的機率是0.3*0.5＋0.7*0.5＝0.5

　　再進一步，這個問題可以用一個簡單的矩陣運算來表示。矩陣就是把一些數排成方陣，然後可以定義一些運算。上圖中小球落進兩個袋子的機率可以用一個兩行兩列的矩陣來表示：

兩個小球落進兩個袋子裡的機率矩陣

　　每個袋子裡都有一個小球的機率是下面這個公式，需要計算兩次乘法，和一次加法：

二維矩陣的積和式

　　如果我現在告訴你，計算上面公式中的機率P就是個２維高斯玻色子取樣問題，你是不是不相信？

　　沒錯，這就是一個２維高斯玻色子取樣問題。

　　上面這個計算P的公式，就是二維矩陣的積和式，也就是一個矩陣中不同行並且不同列的所有元素的組合的乘積的和。對於２維矩陣，需要兩次乘法。

　　很簡單，我們可以把這個問題推廣到高維矩陣。

ｎ個一摸一樣的小球落到ｎ個一摸一樣的袋子裡

　　我們是從2個球，2袋子開始的。現在來看看如果有3個球，3個袋子，那每個袋子裡都只有一個球的機率是多少？實際上就是每個球落進不同袋子裡的組合。篇幅所限，我們就不把所有的組合列舉出來了。很簡單，我們發現是有3*2種組合，每種組合需要算2次乘法，最後再算5次加法。

三個球落進三個袋子裡的機率矩陣

　　如此類推：

　　2個球2個袋子：2種組合，每種組合需要算1次乘法，最後再算2-1次加法。

　　3個球3個袋子：3*2種組合，每種組合需要算2次乘法，最後再算3*2-1次加法。

　　4個球4個袋子：4*3*2種組合，每種組合需要算3次乘法，最後再算4*3*2-1次加法。

　　5個球5個袋子：5*4*3*2種組合，每種組合需要算4次乘法，最後再算5*4*3*2-1次加法。

　　n個球n個袋子：n*(n-1)*...*4*3*2種組合，每種組合需要算n-1次乘法，最後再算n*(n-1)*...*4*3*2次加法。

　　很顯然，隨著n的增大，乘法和加法的次數增長比翻倍都快。

　　這就是一個典型的指數複雜度問題。

大白話總結：什麼是高斯玻色取樣問題？

　　高斯玻色取樣問題就是計算ｎ個小球隨機落進ｎ個袋子裡，然後求解每個袋子裡都只有一個小球的機率。

　　這個問題看似簡單，但人類目前的經典計算能力，肯定無法算出55個球，平均落進55個袋子裡的機率。

數學專業用語總結

　　用數學術語來表述，高斯玻色取樣問題，數學上等效為計算一個ｎ維隨機矩陣的積和式。矩陣的積和式是計算方法領域的一個難點，有很多研究的文章和結論。如果矩陣中元素有一定的規律性，可能還會存在簡化和最佳化演算法。但如果矩陣中的元素是高斯獨立同分布，隨機矩陣的積和式肯定是一個指數複雜度問題。

　　矩陣的積和式計算在很多領域都有應用，比如有些人工智慧卷積網路最佳化最後會收斂到一個積和式計算問題。如果真能解決矩陣的積和式計算問題，還是非常有意義的。

　　至於“九章”是否解決了積和式計算問題，我們下一篇文章再介紹。

　　再補充一些結論，大家瞭解一下即可：

　　事實上，如果矩陣的元素是非負實數，ｎ維矩陣的積和式並不是一個指數複雜度問題。我們文中用實數來示例，只是為了便於理解。但如果矩陣的元素是複數，ｎ維矩陣的積和式是一個指數複雜度問題。這是理論上已經證明的。和積和式對應，矩陣的行列式計算不是指數複雜度問題。

　　所有這些結論，在上一篇文章中，我們介紹的第２篇參考論文中都有詳細的介紹。

物理學背景

　　按照由淺入深的原則，我們最後介紹一點物理學的背景。高斯玻色取樣問題起源於物理學中粒子的統計學研究。玻色是一位印度的物理學家，英文名字叫Boson。根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，在玻色子的某一個能級上，可以容納無限個粒子。可以簡單把玻色子理解為無法區分的粒子，也就是我們上文中比喻的一摸一樣的小球。光子是玻色子的典型。

　　和玻色子對應的是費米子 ，在一組由全同粒子組成的體系中，如果在體系的一個量子態（即由一套量子數所確定的微觀狀態）上只允許容納一個粒子，這種粒子稱為費米子。可以把費米子想象為每個都不一樣的小球。兩個電子永遠不會處於同一個能級上，所以電子是費米子的典型。

九章計算機解決了隨機矩陣的積和式計算問題了嗎？

　　請關注本號，我們在下一篇文章中介紹，九章光學裝置是如何試圖驗證高斯取樣計算問題的。