說起π大家可能並不陌生，從小學我們就知道π是圓周率，其值大約是3.14。但是數學家們是如何計算π的準確的值的呢？是畫一個巨大的圓來測量嗎？或者是割圓術嗎？其實都不是，現代數學家們用的是π的恆等式。

先舉一個恆等式的例子：

此式兩邊同乘4就可以得到π的一個計算式。神奇的是，一連串有理數經過加減後可以得出無理數π。可以發現，等式右邊是正奇數的倒數交錯加減而得，計算到一定的位數就可以得到π的一個近似值，但是由於此式收斂速度太慢（也就是說，用這個公式計算小數點後同樣位數的π的近似值需要很長時間），精確計算中不太會使用此公式。下面的各個公式的證明較難，這個公式較簡單，可以由函式y=arctan(x)在x=1處的泰勒展開式直接得出。

我們也能通過無窮項的乘積來計算π，例如：

也可以通過連分數的形式求出：

還可以通過加和的形式得到：

這個式子經過簡單推導又可以得出一系列關於π的恆等式：

人們也用較小數值的反正切值來計算π，比如：

印度歷史上最著名的數學家之一拉馬努金提出過許多關於π的各種求和公式，喜歡用直覺匯出公式，可謂神來之筆，留下的大量公式後來引發了大量研究，令後世數學家敬仰和迷惑。比如：

這個公式明顯比前面的正切式更漂亮。

這個公式如此複雜，直到計算機出現之後才得到具體應用。當然，拉馬努金也提出過非常簡單的計算方法，比如：

這個式子直到小數點後8位都是正確的，比355/113≈3.14159292精確很多。

要想更為精確的計算π的值，可以用以下這個等式：

在這個級數中，每增加一項，就能增加31位數。當k=0時，筆者算出的π為3.141592653589793054428…，與標準值3.14159265358979323846小數點後前15位相同，而且此差距可能是由於計算能力有限引起的。

現在，隨著超級計算機的飛速發展，我們可以知道π的小數點後十萬億位的數字，其實只需要幾十位數就能使得宇宙尺度內的圓的周長誤差不到一個氫原子直徑，但是對π的計算可以作為檢驗計算機計算能力的一種好方法。