在這篇文章中，我打算概述最典型的量子現象之一——糾纏的理論基礎。我的目標是讓那些對數學和（非常基礎的）線性代數有基本瞭解的人都能完全理解。因此，本文的大部分內容將從數學的角度全面理解量子糾纏所需要的背景知識。這些工具來自量子力學（例如，量子態，疊加，可觀察）和數學（例如，複數，張量乘積，特徵向量）世界。我將從數學概念開始，然後是量子力學概念，最後是對結合一切的糾纏的描述。
數學在這一節，我將介紹幾個數學概念，這是理解量子糾纏的基礎。應該指出的是，這些概念並不是包羅永珍的。在量子力學中還有很多其他重要的數學，但在這篇文章中不會涉及。為了簡單起見，我將重點介紹所需的最低限度的數學概念，但嘗試深入地介紹它們。
複數
與糾纏有關的第一個數學概念是複數。一個複數可以表示為：
在這個方程中，z是複數，而a和b是實數係數。在等式的右邊，a被稱為z的“實部”，而ib被稱為“虛部”。
複共軛和大小
一旦你理解了複數，理解它們的兩個重要運算也很容易：複數共軛和求大小。要求一個複數z的共軛複數，只需把虛部的符號反過來。例如，給定上面z的表示式，z的複共軛可表示為（即複共軛運算用z上的上劃線表示）：
如果你掌握了複數共軛，那麼求一個複數的大小也不會複雜。特別地，求大小需要用複數乘以它的共軛複數，然後求乘積的平方根。這個表示式採用以下形式：
複數的極座標表示
雖然一個複數的基本形式並不難掌握，但困惑源於人們可能遇到的不同形式的複數。在某些情況下，人們可能會遇到如下所示的極座標形式的複數，其中等式(i)是尤拉公式的結果。
在上面的形式中，r編碼了複數的大小，將z乘以任何r = 1的複數（這通常被稱為“相位因子”）不會改變z的大小，因為當z乘以這個複數時，r的值將保持不變。理解相位因子對於理解量子力學概念是很重要，因為它們可能出現在許多情況下（例如，相位因子可以用來解釋為什麼量子位只有兩個自由變量表示）。
複數向量
一旦你理解了複數，複數的向量也就沒什麼不同了。事實上，在量子力學中理解這些向量的主要特點通常是學習如何表示它們。首先，我們可以開始構造一個n維的複列向量，如下所示。
對於任何不熟悉量子力學的人來說，這種表示（即，用尖括號和尖括號表示向量）可能看起來很奇怪。然而，上面所示的向量表示法只是量子力學中表示列向量的一種常用方法，它是由保羅·狄拉克發明並推廣的。我們將上面所示的括號向量稱為“ket”向量。Ket符號是表示n維列向量的常用方法，其中向量中的每一項都是複數。但是，為什麼我們叫它ket呢？如果我們定義一個“ket”向量的對偶——“bra”向量（行向量），這個命名就會變得更加清晰。
可以看出，每個ket向量（即n維復向量空間中的列向量）都有一個對應的“bra”向量，它是等維的行向量。給定任意的ket向量，其對應的bra向量可以透過對ket向量求共軛轉置得到（即向量的轉置，取向量中每一項的複共軛），用上式中的匕首上標表示。因此，每個列向量（或稱ket）在bra向量的對偶空間中都有相應的行向量。在量子力學中，我們總是使用“bras”和“kets”（bracket）的構造來表示復向量。例如，量子力學系統的狀態通常表示為一個n維的ket向量。
內積
bras和kets的概念使得復向量的內積的符號非常簡單和直觀。下面的例子演示了任意bra和ket向量的內積。注意，必須計算行向量和列向量之間的內積。我們表示“bra”和“ket”的方式使這很容易記住。
同樣，用bras和kets的內積運算可以很容易地計算出復向量的大小，參見下面（我使用平方大小來避免在整個方程中寫一堆平方根）。
特徵向量，特徵值，和基
除了上面提供的復向量空間的簡單解釋外，線性代數中的幾個概念對於理解糾纏和一般的量子力學是很有用的。第一個概念是基。給定一個n維復向量空間，一個基是由空間內n個線性無關的向量組成的集合。我們稱這個向量集合為基因為空間中的任何向量都可以寫成基中的向量的線性組合。換句話說，基張成了整個n維復向量空間。
線性代數中另一個有用的概念是線性運算元（如矩陣）的特徵值和特徵向量的概念。給定某個線性運算元，該運算元的特徵值和特徵向量可以用下面的恆等式來定義。
如上所述，特徵向量只是一個向量，線性運算元的應用將其簡化為與常數相乘。這個乘法中的常數是特徵向量的相關特徵值。對於一個線性運算元，這樣的特徵向量可能存在很多，但是不會有超過z個正交特徵向量存在，其中z是線性運算元的列數和行數的最小值。
克羅內克積
克羅內克積是應用於任意大小的兩個線性運算元上的運算。通俗地說，它是外積在矩陣空間中的推廣。克羅內克積可以形式化如下圖所示。
換句話說，克羅內克積取大小為(m x n)和(p x t)的輸入線性運算元，然後輸出一個維數為(mp x nt)的塊矩陣。克羅內克積的視覺化如下圖所示。
克羅內克積並不難理解。此外，應該注意的是，克羅內克積也可以應用於向量（即輸入具有任意維數），如下圖所示。
克羅內克積——以及類似的張量積——實際上在許多不同的情況下都會出現。例如，給定兩個量子態（例如，自旋態或量子位元），這些量子態可以透過取其狀態向量的克羅內克組合成一個單一的系統。類似地，給定兩個觀測值（即厄米特運算元），這些觀測值可以用克羅內克積在一個多粒子系統上組合成一個單一的觀測值。然而，因為我們沒有引入任何量子態、可觀察態或量子系統的概念，很可能這些句子都沒有任何意義。所以，讓我們來學習一些基本的量子力學吧。
量子在這一節中，我將對量子力學的基本思想進行簡短的介紹。同樣，我只介紹在高層次上理解糾纏所必需的最小概念。因此，對量子力學概念的介紹絕不是詳盡無遺的。
一個簡單的宣告
對於那些不熟悉量子力學的人來說，這一節中概述的概念會有些令人費解。總的來說，量子力學研究的是非常小的物體的行為，這與我們人類對周圍世界的感知截然不同。因此，這種行為常常是違反直覺的。量子系統行為最令人困惑的方面是它們具有不確定性（也就是說，受機率控制）。這種不確定的行為在經典力學中沒有意義。例如，如果我們連續多次測量一個物體的質量，我們期望每次都得到相同的結果。在量子力學中，系統的狀態和系統的測量之間的關係是根本不同的。
量子態
量子態從根本上不同於經典態，知道量子態並不意味著我們知道它的一切，這種狀態的行為是不確定的，我們只能知道與這種狀態的不同可能性相關聯的機率。一般來說，最簡單的量子態就是一個ket。記住這一點，一個量子態可以寫成關於一些基，如下：
在這個等式中有一些重要的東西需要理解。首先，構成基的集合（即上面等式右邊的向量）都是相互正交的。此外，所有的係數（即上面等式中的標量）都是簡單的複數。我們通常將這些係數稱為“機率振幅”（稍後將對此進行解釋）。因此，我們在這個方程中所做的就是把量子態寫成在復向量空間中形成任意基的集合的線性組合。因為我們的量子態只是一個向量，這沒有什麼特別的。從前面的討論中，你應該知道向量空間中的任何向量都可以被表示成構成該空間中的基的向量的線性組合。
測量
量子態的有趣之處在於我們如何選擇基。特別地，我們構造這個基，使它的每個向量代表我們系統的一個可能的狀態。因此，量子態僅僅是其可能狀態的線性組合。儘管這種說法可能看起來很荒謬，但請記住，在我們的量子態和我們測量量子態時得到的結果之間存在著巨大的差異。也就是說，測量的結果將不是可能狀態的線性組合。相反，它是基中的一個向量。當我們測量量子態時，這種測量將導致狀態“坍縮”為其基上的一種狀態（也就是說，測量會擾亂狀態，使它變成別的狀態）。哪一個？這個問題的答案是不確定的。但是，我們可以得到機率，量子態在它的基礎上坍縮到任何一種狀態如下：
如上所示，在測量的基礎上，量子態崩潰到某一狀態的機率是由與該狀態相關的機率振幅的平方給出的。所以，雖然機率振幅不是機率，但它們的大小用來表示與量子態測量相關的機率，從而揭示了為什麼我們稱它們為機率振幅。因為我們的量子系統中的機率如上所示，我們一般假設量子態是一個單位向量（即，使機率和為1），從而得到如下所示的等式：
疊加
如果你仔細理解上面的部分，你會注意到量子態定義中一個非常重要的細節。當我們測量量子態，它有一定的機率存在於任何基態中（儘管其中一些機率可能是0）。換句話說，如果量子態是一個n維復向量，這個單一的狀態可以同時表示n種不同的狀態！這個概念是量子力學的基礎，叫做疊加。在經典系統中，我們的狀態必須存在於一種可能的狀態中（例如，計算機中的位元不能同時是1和0），而在量子系統中，狀態可以以一定的概率同時處於多個狀態。然而，當我們測量這個量子態時，它必須坍縮成它的基上的可能狀態之一。
連續測量
一旦我們測量一個量子態，這個態就會坍縮成一個新的態，對應於一個基向量。那麼，如果我們第二次對我們的狀態進行同樣的測量會發生什麼呢？我們100%會得到相同的結果。為什麼？在我們第一次測量我們的狀態之後，假設（不失一般性）這個狀態在基中坍縮為第i個向量。那麼，我們新的量子態表示如下：
顯然，對上面顯示的量子態進行同樣的測量將產生一個確定的結果。這突出了量子力學中一個非常重要的問題。一旦我們對我們的量子態進行測量，狀態就會坍縮成不同的狀態（也就是說，由於測量，狀態會被修改）。因此，我們在量子力學中進行測量的順序和方式是非常重要的。如果我們想要對我們原始的量子態進行重複測量，我們就必須在每次測量之前“準備”這個量子態（即，構造一個以某種方式存在於相同疊加中的量子態）。
量子態的例子，量子位元
為了鞏固量子態的概念，給出一個量子系統的具體例子是有用的，這個量子系統有點簡單，但在現代研究中非常有用——量子位元，或“qubit”。在經典的計算機中，我們有位的概念，它對應於0或1的值。每個位元必須存在於這兩種可能的狀態中的一種，並且許多位元可以組合在一起形成複雜的計算機系統。位元的可能狀態可以很容易地表示為：
量子位元與位元相似，因為它具有相同的基態。然而，對於量子位，我們考慮復向量空間（與實向量空間相對）。單個量子位可以這樣表示：
在這個方程中，基向量的定義與位元相同。此外，如果我們測量一個量子位，結果將是0或1。然而，量子位元可以以這些可能狀態的疊加形式存在，這使得它可以比經典位元編碼更多的資訊。這樣的一個系統可以在叫做布洛赫球的東西中被視覺化，如下圖所示。
可見（測量）
基於到目前為止給出的量子態的定義和測量，你可能會認為可能的狀態（即我們用來寫量子態的基礎）一定是憑空而來的。當我們測量時，我們怎麼知道可能的狀態是什麼？這個問題在量子力學中可以用可觀察的概念來回答（有時它被稱為可測量的）。這個名字很好地解釋了這是什麼——可測量（或可觀測）代表了量子系統中可以測量的量。具體而言，可測量為厄密線性運算元，如下式所示：
從上面的方程可以看出，厄米矩陣就是等於它的共軛轉置的矩陣。這種形式的矩陣有一些有用的性質。首先，厄密矩陣的所有特徵值都必須是實值。此外，厄米矩陣的特徵向量是一個完整的集合（即形成一個標準正交基）。在上面的等式中，這些性質意味著運算元H有一組歸一化特徵向量，這些特徵向量構成復向量的n維空間的基。因此，這個空間中的任何向量都可以寫成這個厄米特運算元的特徵向量的線性組合。因此，給定一個可觀察物件（即厄米特算符），我們就可以以熟悉的方式展開給我們的任何量子態。
上面的方程與量子態解釋中給出的方程完全相同。然而，現在應該從一個稍微不同的角度來看待這個表示。給定一些任意的量子態，我們可以將其展開為與某些可觀察到的特徵向量的線性組合。然後，這些特徵向量對應於可能的狀態，量子態可能會在對上述可觀察物件進行測量後崩潰。該測量的可能輸出（即得到的結果）是可觀察到的特徵值。具體來說，在進行測量後，無論坍縮到哪個狀態，其對應的特徵值都會被測量。由於厄米特運算元的特徵值已知是實值，測量的結果將是一個實值。
我們如何知道我們的測量結果會是什麼？
建立一個多量子位系統
在繼續解釋糾纏之前，理解量子力學中簡單的系統如何組合成複雜的系統是很重要的。一般來說，多個系統可以透過克羅內克積來組合在一起。因為這個陳述很模糊，我將使用一個具體的例子來提供更好的解釋。
從前面的討論中，我們知道了如何表示單個量子位元。然而，如果我們在一個系統中有兩個量子位呢？讓我們首先考慮在這個雙量子位系統上進行測量的可能結果。如果我們知道測量的可能結果（即我們的組合系統的基狀態），那麼我們可以把兩個量子位元系統的任何狀態寫成這些基狀態的線性組合。因為每個量子位可能提供0或1的測量，我們有以下測量的可能性：00、01、10和11。我們可以構造這些組合狀態的向量表示，方法是取它們各分量的克羅內克積。這如下式所示，其中構造了一個二量子位系統的所有可能狀態：
注意這些狀態構成了復向量的四維空間的基。上面顯示的狀態揭示了一個更普遍的模式，即一個有n個量子位元的系統，可以表示2^n種狀態（在上面的情況下，有2²= 4種可能的狀態）。考慮到兩個量子位元系統的這些可能狀態，這個組合系統中的量子狀態可以很容易地表示為：
複雜系統的可觀測值
如果我們想將較小系統的可觀測物件組合成一個組合系統的單個可觀測物件，我們將取它們的克羅內克積。例如，單個量子位系統的恆等運算子（即，這是一個厄米矩陣，因此是一個可觀察的）是一個2x2矩陣。為了形成一個兩個量子位系統的單位運算元，我們將取兩個單位運算元的克羅內克乘積，形成一個4x4單位矩陣。這個4x4單位矩陣是兩個量子位組合系統的單位運算子。類似的邏輯也適用於不同型別的可觀察物件。
糾纏現在，我們終於對量子力學有了足夠的瞭解，對量子糾纏有了基本的瞭解。量子糾纏理論假設存在一個複雜的系統，由幾個更小的組分組成。我們剛剛概述了量子系統是如何結合在一起的，我將繼續使用相同的示例——一個多量子位系統——來解釋糾纏。我將從引入乘積態的概念開始。換句話說，乘積態是一個組合系統可以存在的最簡單的狀態。它是由系統內各個組分狀態的乘積形成的。例如，請看下面的等式，它將兩個單獨的量子位態結合在一起，形成一個兩個量子位系統的乘積態：
在上面的方程中，前兩行表示單個量子位元的量子態，最後一行表示乘積態。積態是由兩個單獨量子態的積形成的。在這種情況下，取不同量子位量子態的乘積，生成一個二量子位系統的積態。在這個方程中，積態向量中的每一個項都對應於兩個量子位系統中每個基態的機率振幅。有趣的是，如果仔細檢查積態，就會發現測量兩個量子位系統的任何一個組成部分的機率是獨立的。要理解這一點，請看下面的表格，我使用了完全相同的乘積態，但是給上面顯示的機率振幅指定了具體的值。表中的所有值表示基狀態的測量機率（即，基狀態列在每個條目的左上角）：
檢查上表中的積態，在組合系統中測量第一個量子位的機率為0（或1）是0.5（即，與單獨測量量子位的機率相同）。同樣的觀察也適用於第二個量子位。仔細檢查上述積態後，可以清楚地看出，如果第一個量子位被測為0（不失一般性），第二個量子位被測為0（或1）的機率仍然是0.5。換句話說，在組合系統中測量一個量子位不會給我們任何關於另一個量子位值的額外資訊。在組合系統中，兩個量子位元的測量機率並不相互依賴——不存在糾纏。乘積狀態的這一特性源於這樣一個事實，即乘積態中的所有機率振幅都表示為其每個獨立分量的機率振幅的乘積。然而，在一個組合系統中構造狀態是可能的，而這種狀態不能表示為乘積態。例如，考慮以下兩個量子位系統的狀態：
如果你嘗試很長時間，你會意識到，以上兩個量子位量子態不能表示為單個量子位態的乘積。我們將其稱為“非積態”，上面所示的非積態的向量表示可以在下面的方程中看到：
如果我們考慮上述量子態的測量機率，我們會注意到一些有趣的事情。假設我們對第一個量子位進行測量，它會坍縮為0。如果我們測量第二個量子位，我們會得到什麼結果？有趣的是，當測量第二個量子位時，有100%的可能會崩潰為0如果第一個量子位壓縮為1，就會出現類似但相反的現象。換句話說，一旦我們測量了第一個量子位，第二個量子位的狀態就知道了——我們的兩個量子位系統中的量子位是糾纏的。
因此，透過這個例子，我們對糾纏的意義有了一個基本的理論理解。也就是說，糾纏量子態是那些不能被表達為其單個元件的積，導致系統元件的測量相互依賴（即，測量系統的一個元件將提供關於其他元件的額外資訊）。顯然，這個想法超出了上面給出的兩個量子位元的例子，並且可以在日益複雜的量子力學系統中觀察到。
雖然第一眼看上去糾纏態並不令人印象深刻，但意識到系統的糾纏態並不依賴於距離是很重要的。因此，如果我們像上面所示的那樣準備一個兩個量子位的狀態，然後把我們系統中的每個量子位都移得非常遠（例如，假設我們把包含第二個量子位資訊的裝置運到火星上，而把另一個留在地球上）。一旦我們測量了第一個量子位元，第二個量子位元的狀態就會立即被確定。因此，當第一個量子位被測量時，這個資訊的傳播速度就比光速快，這被愛因斯坦描述為“遠距離的幽靈行為”。儘管這看起來可能很荒謬，但量子糾纏的這些特性已經被實驗驗證，證明了現實的本質與我們所感知到的有些不同。例如，這是否意味著瞬間移動是可能的？
結論總而言之，糾纏態可以被描述為一個量子態（由多個更小的組分組成）測量機率相互依賴。系統的成分相互糾纏，導致一個成分的測量結果影響系統中其他成分的測量結果。