感應引力是量子引力理論中的一種觀點，根據這種觀點，時空的結構不是基本的，而是作為潛在的（仍然未知的）微觀自由度的粗粒度近似（類似於大量的原子或分子形成的氣體）。感應引力是由於“更基本的非引力自由度的動力學的集體運動”而產生的。

圖1，根據感應引力理論，時空連續體可以看作是某些基本微觀結構的宏觀極限。在這裡，我們將研究物理學家泰德·雅各布森提出的一個思想，即愛因斯坦的引力可以從熱力學中得到

在這篇文章中，我們將研究1995年由美國理論物理學家泰德·雅各布森提出的一個思想，即愛因斯坦的引力方程可以從熱力學中匯出。這意味著愛因斯坦的方程可以被看作是一個狀態方程，一個與描述物質狀態的變數相關的熱力學方程（例如，理想氣體定律）。

圖2，法國物理學家薩迪·卡諾被認為是熱力學之父，被認為是熱力學的奠基人時空中的熵和視界

在70年代，墨西哥出生的以色列裔美國理論物理學家雅各布·貝肯斯坦和英國理論物理學家和宇宙學家斯蒂芬·霍金指出，黑洞的熱力學熵與其事件視界的面積成正比。

方程1，貝肯斯坦-霍金熵。

其中G、c、h和k表示牛頓引力常數、光速、普朗克常數和波爾茲曼常數。請注意，透過檢查這個表示式中的常數，我們推斷黑洞位於引力、量子力學和熱力學的交叉點，因為：

G是萬有引力常數，在牛頓萬有引力定律和愛因斯坦萬有引力理論中需要計算萬有引力效應。h是普朗克常數，將光子的能量與其頻率聯絡起來（光子是光的粒子）。k是玻爾茲曼常數，是將氣體中粒子的平均動能與其熱力學溫度聯絡起來的比例因子。圖3，貝肯斯坦-霍金熵是歸因於黑洞的熵，它與視介面積的1/4成比例。

黑洞並不是唯一攜帶熵的時空結構。另外兩個重要的例子是：

德西特(dS)空間中的宇宙學視界倫德勒時空中依賴觀測者的視界（一個代表閔可夫斯基時空的座標系統，它描述了勻加速觀測者）。這種型別的視界，在這裡是中心，有一個熵和一個溫度。後者與觀察者的加速度成正比，它的存在暗示著時空本身編碼了熱力學資訊。圖四，雅各布·貝肯斯坦和斯蒂芬·霍金，第一個證明黑洞的熱力學熵與其事件視界的面積成正比的人。

引用美國著名理論物理學家羅伯特·沃爾德的話，他對引力物理學的研究做出了重要貢獻，比如發現了黑洞熵的一般公式，發展了彎曲時空中量子場論的嚴格公式：

我相信，黑洞和熱力學之間的關係為我們提供了目前關於引力、熱力學和量子物理本質的最深刻的見解。——羅伯特·瓦爾德

我們的結論是，既然我們可以把溫度和熵與時空區域聯絡起來，那麼假定它們的性質可能與宏觀尺度上的物質的性質有一些相似之處也不是不合理的。

這個觀點表明，量子化愛因斯坦方程可能並不比量子化空氣中聲音的波動方程更合適。

泰德·雅各布森和愛因斯坦的狀態方程

正如在引言中所描述的，在1995年的一篇文章中，泰德·雅各布森表明，愛因斯坦的方程可以透過將熱力學定律應用於所謂的倫德勒視界而得到。

這個概念將在下面詳細描述，但要完全理解它，我們首先需要回顧一下愛因斯坦相對論中的一些初步概念。

值得注意的是，如果我們用熱力學的論據來推導愛因斯坦方程，我們就不能用幾何的方式來解釋這些方程。如果我們假設引力本質上是一種熱力學現象，那麼愛因斯坦方程必須用熱力學概念來解釋。換句話說，引力動力學必須根據時空的熱演化來重新表達。

初步的概念

向量和對偶向量

我們首先需要定義什麼是向量和對偶向量。流形可以被定義為在其每個點附近類似於歐幾里得空間的空間。

圖5：一個二維流形M帶有λ引數化的曲線γ

現在考慮λ引數化流形上的曲線γ（見圖5）。它可以由引數方程描述：

方程2：曲線γ在M上的座標，被λ引數化。

圖6顯示了沿圓柱體表面的曲線的示例。它由以下引數方程給出：

方程3，沿圓柱體表面螺旋線的曲線座標的λ引數化方程。圖6，由方程3給出的曲線。

現在考慮一個沿M上γ曲線定義的函式f，它如何沿λ引數曲線變化？

方程4，函式f沿γ曲線隨λ引數的變化。

我們可以確定切向量的分量和函式f的梯度。梯度被稱為對偶向量。用“，”表示偏導數，我們寫：

方程5，向量和對偶向量的分量。

下圖顯示了λ引數化曲線γ的切向量u：

圖7，在P點，與流形相切的平面以及切向量

向量和對偶向量在座標變換下進行不同的變換：

方程6張量

我們現在考慮張量（讀者自行查閱張量的解釋)。向量是(1,0)型別的張量。對偶向量是(0,1)型別的張量。為了得到更高秩的一般張量，我們首先建立：

方程7，(2,0)型張量的一個簡單例子。

它是一種特殊的(2，0)張量，加上幾個像T這樣的張量，就得到了一個(2，0)型的一般張量：

方程8，一般(2，0)型張量的一個例子。

在一個座標變換下，T變換為：

方程9，一個二階逆變張量在座標變換後是如何變化的。

如果有兩個下標，則T是(0，2)型。張量也可以有混合上（下）標，如下面的(1，1)張量：

方程10，混合張量的分量在座標變換後如何變化。李導數

李導數是微分幾何中的一個概念，微分幾何是一門應用微積分、線性代數和多線性代數來解決幾何問題的數學學科。這種型別的微分，以挪威數學家索普斯·李命名，計算張量場沿另一個向量場流動的變化。

圖8，挪威數學家馬略·索普斯·李和他最重要的論文《變形理論》的頭版。

假設我們有一個向量場A，在時空區域內，在A的附近有一條γ曲線。γ的切向量為u = dx/dλ。我們考慮曲線上的兩點，x和x+dx。

圖9，時空區域內的向量場A，兩個點x和x+dx在該區域內，一個包含兩個點的曲線γ，和一個與γ相切的向量。

在dx的無窮小變化下：

方程11，座標的無限小變化（圖9）。

向量A的變換方式如下：

方程12

現在，x+dx中原始向量場的值可以寫成：

方程13

A沿γ曲線的李導數定義為：

方程14，對偶向量A沿著曲線γ的李導數的定義。

切向量u是我們進行李導數的方向。

我們可以用下面的結構更好地理解李導數。任何向量場都是由它所對應的切線場的曲線的同餘來定義的。然後我們畫一條在P點與A相切的曲線（曲線的其餘部分可以是任何形式）。然後我們用λ引數化第一條曲線。我們在P點選擇λ=1，並使用交叉曲線將其他曲線的引數化固定為λ=1。λ在每條曲線上的變化率是由它的切向量決定的。然後在所有的同餘曲線上滑動dλ。注意到穿過Q的交叉曲線和穿過P的曲線是緊密聯絡在一起的，在Q處有一個向量A '與新的曲線相切，因為在Q處有兩個向量，我們可以減去它們。李導數為：

方程15，對偶向量A的李導數的幾何定義。

結構如下圖所示:

圖10，上面描述的幾何結構。

李導數是一個張量表達式，與其表面相反，因為我們可以將其重寫為：

方程16，寫成張量物件的李導數。

對偶變數變換為：

方程17，對偶向量A沿著曲線γ的李導數。

現在考慮一個不依賴於某個座標的向量A，比如某個特定座標系中的x⁰。

方程18，A在某些特定的座標系中並不依賴於x⁰。

*表示對應的等式在一個特定的座標系中有效。因此，我們有一組A不變的x⁰曲線。在這個座標系中：

方程19，A不變的x⁰曲線集的切向量圖11，在A不變的地方，x⁰繼續增加的曲線集。

由方程19可得：

我們可以將方程18重寫為：

這些方程暗示著：

方程20，向量A沿切向量U曲線的李導數。

這個方程表示了A在U方向上的不變性，但是左邊的李導與座標系無關。因此，既然它在一個座標系中為零，那麼它在所有座標系中都為零。

一類-(0,2)張量的李導數為：

方程21

考慮一個張量A與某個座標x⁰無關的座標系。這些可以用兩種不同的方式表達：

用座標表示是方程18以協變的方式來說明，當向量場U與x⁰所在的座標對齊時，Lie導數為零。方程22，以協變的方式表示，當在時空中的某個方向（在這種情況下是U）平移時A是不變的。

方程22表示張量A在向量U方向上的不變性。

如果我們的時空是對稱的，這個概念就會變得非常重要。例如，如果向量不依賴於時間x⁰或者向量不依賴於沿某個軸的旋轉，用協變的方式來表達這個的方法是說這個張量的李導在合適的方向上是零，無論是在時間上的平移還是沿著軸的旋轉。這個有對稱性的向量就變成了所謂的基靈向量（ Killing vector）。

圖12，德國數學家Wilhelm Killing和他的論文。該論文被加拿大著名數學家A. J. Coleman認為是“五十年來他讀過或聽說過的最重要的數學論文”。基靈向量和對稱性

一個基靈向量是一個向量場ξ，可使沿ξ方向的度規李導數為零：

方程23，基靈向量的定義

如果在給定的座標系中度規不依賴於座標σ*， ξ的α-分量為：

我們也可以寫出ξ和它的α分量為：

方程23表明度規在有ξ點的方向上是對稱的。度規的對稱性叫做等距。

利用李導數的定義，我們得到：

方程24，基靈向量服從的條件。

我們也可以用基靈向量來獲得沿測地線的運動常數。若u與測地線相切，則ξ值符合方程23是很容易證明的，其結果如下：

方程25，用上述方程可以很容易地證明這個方程，它給出了沿測地線運動的常數。

等距線為沿測地線的守恆量提供了原點。更確切地說，基靈向量 ξ產生等距，且在此條件下g不變的變換可無限小地表示為ξ方向的運動。

為了清楚起見，現在讓我們考慮一些基靈向量及其相應對稱性的簡單例子。

示例1

以R³中的度規為例：

方程26

注意，度規不依賴於x、y或z。因此，以下三個向量是對應於平移的基靈向量：

方程27

在R³中還有其他的對稱性。將方程26寫成球座標，度規為：

方程28，方程26用球座標表示。圖13，方程28中變數的定義

由於g的各分量是獨立於ϕ的，

是R³的另一個基靈向量。在笛卡爾座標系下，這變成了：

方程30

繞著另外兩個軸旋轉就得到了另外兩個基靈向量。

示例2

現在考慮一個球對稱時空（例如史瓦西度規）：

方程31，球對稱時空。

因為度規g不依賴於t，也不依賴於ϕ，所以時間平移和繞z軸的旋轉都是等距的例子。有兩個明顯的基靈向量：

方程32

以下量（與單位質量的能量和角動量有關）沿著向量u相切的測地線是恆定的：

方程33，沿測地線u相切的兩個常數。基靈視界

讓我們考慮一個零超曲面（例如，一個光錐）。根據定義，它是一個在每一點的法向量為零的超曲面（它相對於區域性度規張量g的長度為零）。一個基靈視界 Σ 是一個基靈向量場的範數消失的零超曲面。

例如，在慣性座標下的閔可夫斯基時空中，x方向上產生升力的類時基靈向量如下：

方程34，在閔可夫斯基時空中產生x方向升力的基靈向量。

其範數下式給出：

方程35

當ξ值為常數時，它的軌道是用雙曲線表示勻加速觀察者的世界線，且加速度為a = 1/ξ。當ξ→0時，加速度增加，升力基靈向量場產生一個分岔基靈視界。

方程36，與方程35對應的零面。

即所謂的倫德勒視界。

因此，這些零面是基靈視界。由於一個基靈向量ξ與它的基靈視界Σ呈正相關，因此沿著Σ，服從測地線方程：

方程37，表面引力κ的定義。

κ叫做表面引力。對於靜態時空，κ是靜態觀測者在視界附近的加速度，由靜態觀測者在∞處測量。

倫德勒楔

考慮一個任意的時空點p。在區域性，圍繞p的時空是平坦的（由於等效原理）。現在選擇一個包含P的類空間2-surface上的“小補丁”B，並引入黎曼法座標（RNC）。RNC的度規為：

方程38，RNC在p點處的度規。

補丁B上各點的座標為：

方程39

例如，在z方向上新增過去和未來的光片，我們得到：

方程40，過去和未來光片上z方向的座標。

方程40描述瞭如下所示的區域性倫德勒楔。

圖14，倫德勒楔。

現在考慮一張雙曲型時間觀測者接近零面。它們的座標，速度和加速度是：

a是觀察者加速度：

描述近似均勻加速的觀察者。對於這樣的觀察者來說，倫德勒楔的光片形成了倫德勒視界。因果視界是由與觀察者因果相連的點組成的空間區域的邊界。更準確地說，因果視界是一個超曲面，它是指向外並向外移動的光線 （dz/dt>0）和指向外但向內移動的光線（dz/dt<0）之間的邊界。

彎曲時空中的量子場論的一個著名結果是，對於以均勻固有加速度運動的觀察者來說，閔可夫斯基真空狀態表現為粒子在所謂安魯溫度下的“熱浴”。

方程42，安魯溫度匯出狀態方程

現在讓我們詳細考慮雅各布森的推導所需要的幾何結構。注意，下面的結構不是在過去的視界上，而是在未來的視界上。然而，結果並沒有改變。此外，從現在起，從貝肯斯坦-霍金熵中，我們將只保留常數G和h。

幾何結構

圖16是整個結構。考慮時空M中的點p和包含p的無限小鄰域。對於一個小的、區域性平坦的鄰域，我們可以定義一個由時間座標t引數化的類空間。

圖15，一個由時間座標t引數化的類空間

p點位於t=t₁位置，位於類似於空間的codimension-one超表面Σ₁上（codimension-one表示由於M的維數為d=4，亞流形 Σ₁的維數為d=4 - 1=3）。現在來介紹一個類似於空格的codimension-two，大致是扁平的patch P₁（d=2的子流形），在P₁內部構造一個區域性慣性座標系。

相對平坦度的選擇表明，相對於patch P₁而言，零一致性的膨脹係數θ≈0，剪下張量σ≈0。這是必要的，因為在這個分析中，系統選擇處於熱力學平衡。

我們現在引入一個封閉的空間型codimensional -two 表面 B₁，使得P₁⊂ B₁ ，然後選擇一個未來向內的null direction（空一致性），這個空一致性的來源是B₁。B₁內部的類空區域是R₁。沿著全等和切向量選擇一個仿射引數λ：

方程43，切向量沿著全等性向未來遞增。

這個一致性會生成一個空的超表面H。在t=t₂，在一個包含著另一個類空間補丁P₂的類空間的codimension-two 表面B₂，H相交於另一個類空間的超表面 Σ₂。因此，P₁演變成了P₂。我們用R₂來表示B₂內部的區域。

注意H是圖14中加速觀測者的區域性倫德勒視界。因此，我們可以選擇一個近似的基靈向量場ξ為H的產生量，並間接地定義為：

公式44

對於仿射引數λ，方程44給出了κ。區域性倫德勒視界的面元為：

方程45，區域性倫德勒視界的表面元素。

其中dA為codimension-two類空間截面面積元素。

圖16，文字中描述的幾何結構的插圖。

然後我們定義流過視界的能量，假設它全部是熱量。熱被解釋為能量流動成宏觀上不可觀測的自由度。剩餘熱流為：

方程46

從結構上講，我們的熱力學系統對應於區域性倫德勒視界以外的自由度，即相對於R₁區域。相對於δQ, H的變化值是δA = A₁-A₂，其中 A₁和A₂分別是相對於P₁和P₂的最初和最終區域。它由以下積分給出：

方程47，當δQ與H交叉時，H的面積變化。

其中，θ是視界發生器的擴充套件，定義為：

方程48，視界產生點的面積變化。

當δQ穿過H時，H的面積變化（減少）δA = A₁-A₂。

雅各布森接著做了兩個重要的假設，克勞修斯關係的正確性，這是連線熱、熵和溫度的基本關係：

方程49，克勞修斯關係式

在區域性因果視界中，並且系統是全息的，因為熵S與視界A的面積成比例：

生成視界的零測地線同餘的演化可以用Raychaudhuri方程來描述：

方程51

其中σ是剪下張量。張量R是裡奇曲率張量。

對Raychaudhuri方程積分，代入δA積分，利用S和A的比例，我們得到：

方程52，熵變。

克勞修斯關係表明：

對於任意一個k的選擇。利用能量-動量守恆和一些簡單的張量代數，我們最終得到了愛因斯坦在p點的場方程（EFE）：

方程53，愛因斯坦的運動方程作為狀態方程。

α的選擇是與EFE和貝肯斯坦-霍金熵的一致性所必需的。注意，由於p是任意的，這個結果表明愛因斯坦的場方程在整個時空中都是服從的。