粘度為μ，密度為ρ的不可壓縮牛頓流體，受靜水壓力p和加速度g的作用，其運動可以描述為滿足納維爾（葉）－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的速度向量場V：

我們用複數形式來表示這一個方程，因為它以向量的形式表示了三個方程

這些方程式是以克勞德-路易·納維爾和喬治·斯托克斯爵士的名字命名的。

納維爾-斯托克斯方程方程是一個微分方程，它對空間中每一點的無限小流體的速度V施加規則。結果可以解釋為浸沒在流體中的測試粒子的運動或流體本身的運動。

假設V的x，y，z分量分別為u，v，w。單位向量在x，y和z方向將被寫成x，y和z。

如果你上過一些基礎的物理或微積分課程，你可能會認識∇運算元，並理解標量函式的拉普拉斯函式∇²f和向量函式的散度∇⋅F 。在納維爾-斯托克斯方程中有兩個向量微分運算元，你們可能不熟悉。第一個是向量拉普拉斯運算子∇²V，第二個是運算子 (V⋅∇)V。幸運的是，我們很容易理解這些運算子的含義。拉普拉斯向量對向量函式的每個標量分量應用拉普拉斯運算元：

流體的基本物理學

變形是使一個物質體的所有組成粒子發生位移的過程。這裡，我們感興趣的是連續變形。在這種變形中，物質體不會被分離成不相交的部分。在這種變形之前，粒子之間的距離是無窮小的，在變形之後，粒子之間的距離仍然是無窮小的。

物體的變形是由表面的應力引起的，表面應力有兩種型別。正應力的方向垂直於表面，剪應力的方向平行於表面。應力等於力除以面積。

流體被定義為不能抵抗剪應力的物質體。只要對某一流體體施加剪應力，該流體就會不斷地變形。這就引出了流體的流行定義，即流體總是以其容器的形狀存在。牛頓體是一種變形的變化率與應力成線性關係的流體。

在上面的例子中，“容器”只是一個平坦的表面，水體開始是一個立方體。由於重力，在頂部和底部存在法嚮應力，還有來自檯面的法向力和由重力引起的側面剪應力。流體無法抵抗剪應力，因此為了達到平衡，它將透過使其側邊儘可能小來消除剪應力。液體會在平面上散開，呈現出與它的“容器”相同的形狀。表面張力最終會佔主導地位，阻止液體自身無限擴散。唯一剩下的應力將是由於頂部重力和底部法向力而產生的法嚮應力，當流體處於平衡狀態時，法向力會相互抵消。

現在讓我們考慮一個面垂直於軸線的流體的立方體。應力分量Pᵢⱼ是垂直於i∊{x,y,z}面，在j∊{x,y,z}方向上的應力，如果它指向+j方向，則為正。例如，Pₓₓ是在x方向上垂直於x面上的應力。假設Pᵢⱼ在一個流體正方體的表面上是恆定的。

Pᵢⱼ可以排列成一個數組，稱為應力二元陣列：

因此，牛頓體的定義可以理解為，變形的變化率用並矢E表示，稱為應變速率並矢，與P有關，用P=aE+bI表示，其中a和b為常數，I為單位並矢：

我們將在推導部分精確地確定E。

ρ的密度是一個無限小的流體團的質量。不可壓縮流體是密度在空間和時間上都是恆定的流體。當流體速度小於流體中音速的30%時，不可壓縮性是液體和氣體的精確近似。由於在液體中很難達到如此高的速度，對可壓縮流動的研究主要與氣體有關。

流體中的聲速是馬赫數1

“不可壓縮流體（incompressible fluid）”和“不可壓縮流（incompressible flow）”這兩個術語有不同的含義。不可壓縮流體是不能被強迫改變其密度的流體，而不可壓縮流是流體密度不變的流體。雖然所有涉及不可壓縮流體的流動都是不可壓縮的，在適當的條件下，不可壓縮流動可以準確地描述可壓縮流體的流動。這是有道理的，因為在現實中，所有的流體都是可壓縮的。

粘度μ測量流體的抗變形能力。對於μ較高的流體，與μ較低的流體相比，需要更大的應力才能在相同的時間內產生相同的變形。例如，當水倒在一個表面上時，它會很快擴散，但同樣體積的焦油要花很長時間才能覆蓋同樣的面積。

納維爾-斯托克斯方程中的最後一項是靜水壓力p。根據定義，流體在封閉表面上的靜水壓力是該表面上法嚮應力的平均值。當流體壓縮正方體時，流體靜壓被定義為正。由於正方體表面的Pᵢⱼ是恆定的，故正方體上的靜水壓力為：

流體服從連續性方程：

V的散度告訴我們流入或流出每個點的流體的淨流量，當有淨流出時是正的，連續性方程說的是某一點流體質量的變化率等於流體流入這一點的速率。不可壓縮流無散度是因為∂ρ/∂t=0。

題外話：張量

並矢是屬於一類被稱為張量的“東西”。張量編碼了幾何關係，可以認為與向量相似，但更一般。例如，位置向量是一個張量，它告訴你一個點相對於原點的位置。向量積A✕B是一個張量，它告訴你包含向量A和B的平面的法向量。

P和E張量的精確幾何性質在這篇文章中我們不需要知道。這個題外話的目的是解釋如何用並矢來求向量的點積。

作為助記符，我們可以考慮以以下形式擴充套件並矢：

物體xx, xy等等，可以認為是單位向量的乘積。每個因子都遵循單位向量點積的規則，但是它們是不可交換的。如：x⋅xz=（x⋅x）z=z，但xz⋅x=x(z⋅x)=0，因此：

推導納維爾-斯托克斯方程

對於一個無限小的流體，我們從牛頓第二定律F=ρa開始，我們先寫下加速度。

設u=f（x，y，z，t）為浸沒在流體中的測試粒子沿著路徑（x（t）， y（t）， z（t））時速度的x分量。假設速度在 Δt內從u變化為u+Δu。然後u +Δu = f （x +Δx， y +Δy，z +Δz，t +Δt）。對點（x₀，y₀，z₀）在時間t₀處，作線性逼近：

下標0表示在（x₀，y₀，z₀，t₀）處求值

把u代回f，並從兩邊約掉u₀，然後除以 Δt：

取極限為 Δt→0，回想一下u=dx/dt，v=dy/dy，w=dz/dt，v= (ux+vy+wz)，那麼下面的結論在任何地方都成立：

對速度的其他分量做同樣的處理，我們發現：

這給了我們牛頓定律方程的一邊。現在我們需要找出力。

作用於流體的力有兩種，體力和麵力（表明力）。體力直接作用於液體中的每個粒子。在實際中，體力幾乎都是引力，所以總體力為：

面力與流體表面相互作用。根據定義，總面力為應力張量的表面積分：

幸運的是，高斯散度定理仍然適用於並矢，所以：

因此：

透過消去積分，我們得到柯西運動方程：

現在我們需要計算 ∇⋅P。回想一下，P=aE+bI，其中a和b是常數。斯托克斯透過實驗發現a=2μ。現在我們需要找到應變速率並矢。

我們以流體團的運動有三個分量這一經驗事實開始我們的研究：

一個平移分量，表示流團從一點移動到另一點；一個表示流團剛性旋轉的分量；變形分量表示流團中兩個測試粒子的相對運動。

考慮測試粒子的速度V（x，y，z），在（x，y，z）點靠近一個位於（x₀，y₀，z₀）處且具有速度V₀的粒子。我們將V（x，y，z）的分量表示成（x₀，y₀，z₀）附近的線性近似。

透過加減相同的導數，我們把它們展開成更有用的形式：

透過重新排列，我們發現：

v和w也一樣：

如果我們賦值如下，我們可以把它寫成簡化的向量形式：

然後我們發現：

第一項是常量，所以它表示平移。第二項的叉乘和ω向量的形式表明第二項是旋轉部分。這意味著最後一部分一定是變形部分，它告訴我們位於r處的粒子相對於r₀，因包含r和r₀的流體包的變形所引起的位置的變化率。因此，我們可以用應變率並矢來識別A：

剩下的就是求b的值了。雖然並矢矩陣並不是真正的矩陣，但我們可以暫時假設它們是矩陣，並對P=2μE+bI的兩邊進行求跡：

不可壓縮流體不發散，所以b=-p。因此， P=2μE-pI。現在我們可以根據柯西方程計算∇⋅P 。利用前一節的程式計算並矢與向量的點積，我們發現 ∇⋅P=μ∇²V-∇p。現在我們透過把所有東西代回柯西方程得到納維爾-斯托克斯方程：