讓我們從簡單的開始。我們知道地球的形狀，它近似一個球形；銀河系是棒螺旋形的，也就是帶旋臂的圓盤形狀；那可觀測宇宙呢？是球形嗎？看起來確實如此，因為它正在向外擴張。那麼在我們可以觀測到的範圍之外的整個宇宙呢？
答案是，我們不知道，但我們可以猜想。它可能是有限的或無限的，有邊界或沒有邊界，有曲率或沒有曲率。我們所知道的是，它似乎在擴張。但擴張到哪裡？我們不知道。但是我們可以推測一下。
介紹宇宙過去的形狀，現在的形狀，以及將來可能的形狀，我們很難憑經驗來辨別。愛因斯坦在某種程度上幫助了我們，他向我們展示了物質和能量實際上可能與四維——時間——相互作用。在這種相互作用中，時空可能因質量（能量）的存在而發生扭曲。就我們所知，我們生活在一個四維宇宙中，這個宇宙易受變形的影響，比如拉伸、扭曲和彎曲。這就是拓撲學發明的由來。
讓我們來看看最基本的。我們都知道，平面上的圓是二維圓盤的一維周長（嵌在二維空間中的一維等價物是一條直線）。增加一個維度，我們也能直觀地知道，一個三維球的二維表面叫做球面（嵌在三維空間中的二維等價物是一個面）。然而，再增加一個維度，我們的直覺已經完全失效了。嵌在四維空間中的物體的三維等價物是什麼？在四維歐幾里得空間中，四維球的三維邊界在數學上被稱為三維球面（ glome）。我們無法在大腦中形成三維球面的直觀印象。
在數學中，這三個物體（圓、球、三維球面）是密切相關的，被稱為一維球、二維球和三維球。n維球是一維球在任意維空間中的推廣。在拓撲學中，n維球被視為n維流形，這些流形是在每個點附近區域性類似歐幾里德（平坦）空間的拓撲空間。更準確地說應該是：
流行的定義：
n維流形的每個點都有一個同胚的鄰域與維數為n的歐幾里得空間。（在拓撲學中，同胚是兩個拓撲空間之間的雙連續函式。同胚是拓撲空間範疇中的同構。）
關於流形的概念，作家西爾維亞·納薩爾在她的《美麗心靈》一書中提供了一個很好的描述：
想象一下，你縮小到一個小點的大小，坐在一個甜甜圈的表面上。看看你的周圍，你好像坐在一個扁平的圓盤上。降低一個維度，你坐在一條曲線上，附近的一段就像一條直線。如果你置身於一個三維流形上（四維空間），你的周圍看起來就像一個球的內部。
拓撲之前（1752 - 1895）約翰·斯蒂威爾在他的著作《論拓撲》中聲稱，在亨利龐加萊之前，只有一個拓撲概念被定義。這一概念是由尤拉多面體公式V - E + F = χ給出的著名尤拉數（χ），其中V代表頂點，E代表邊，F代表面。球面和凸多面體的尤拉數都是2，如柏拉圖固體。1863年，在對這種表面的拓撲分類的研究中，莫比烏斯指出，R³中的所有閉合曲面，即可定向曲面，都是根據其尤拉數進行分類的。
尤拉數為0（χ = 0）的兩個著名的不可定向曲面。左圖，著名的莫比烏斯帶。右圖，克萊因瓶，以數學家費利克斯·克萊因的名字命名。高斯以及黎曼等人也對拓補學的發展做出了一定的貢獻，但直到貝蒂在研究任意維度的概念方面取得了實質性進展，拓補學 才逐漸發展成一門獨立的、系統的學科。
貝蒂定義了後來被稱為貝蒂數的數字P₀，P₁，P₂…。在代數拓撲中，第k個貝蒂數是指拓補表面上k維孔的數量，或者用另一種說法，“在不把一個表面分成兩部分的情況下所能切割的最大次數”。對於0維，1維和2維的單純復形（指由點、線段、三角形等單純形“粘合”而得的拓撲物件），貝蒂數的定義如下：
P₀是連通分量的數目（0維洞的數量）P₁是圓形孔的數量P₂ 是指二維“孔洞”的數量例如，一個環面有一個相連的表面分量，所以 P₀ = 1；兩個“圓”孔（一個赤道孔和一個子午孔），所以P₁ = 2；還有一個封閉在表面內的空腔，所以 P₂ = 1。
拓補學中還有一個重要的概念叫“虧格”，非正式地說，是一維孔的數量，它等於尤拉數χ。正如約翰·米爾諾在克雷數學研究所千年獎龐加萊猜想的官方宣告中所寫：
二維流形或曲面的拓撲學在19世紀就得到了很好的理解…任何這樣的曲面都有一個明確的虧格g≥0，可以直觀地描述為孔的數量。
米爾諾用虧格0、1和2的三個圖形的簡單草圖來介紹流形和拓撲結構。
虧格（尤拉數）分別為0（球面）、1（環面）和2（雙環面）的光滑曲面在龐加萊之前，正如米爾諾和斯蒂威爾所爭論的那樣，唯一定義得很好的拓撲概念確實是閉合曲面的理論，也就是所謂的維2流形。它們的性質是緊密的，沒有邊界。閉曲面的分類定理表明，任何連通的閉曲面與這三個族中的某個成員是同胚的：
球面g≥1時g環的連通和k≥1時k個實射影平面的連通和亨利龐加萊是第一個試圖進行類似研究的人，就像對1維流形和2維流形所做的那樣，他研究三維流行是否可以被證明是同胚的。
亨利·龐加萊（1854 - 1912）亨利龐加萊於1854年4月29日出生在法國。他的父親是醫學教授，他的母親是一位家庭主婦。他的天賦最早被一位數學老師所發現，這位老師稱他為“數學怪獸”。除了數學之外，他還擅長寫作文。1871年，他從大學畢業，獲得文學和科學學士學位，並加入父親的前線，參加普法戰爭，在救護隊服役。
戰爭結束後，1873年龐加萊進入巴黎綜合理工學院，他在查爾斯·埃爾米特手下學習數學，在22歲時發表了他的第一篇論文，題為“表面指標性質的新證明”。1875年，除了學習數學之外，他還進入了礦業學院，並於1879年畢業，獲得了工程師學位。他立即利用了他的新學位，加入了美國陸軍地雷部隊。與此同時，他正在索邦大學攻讀數學博士學位，研究微分方程。
博士畢業後，龐加萊繼續從事採礦工程師的工作，從1881年到1885年，負責北方鐵路的發展。同時，他也開始在他的母校索邦大學教授數學，並繼續進行研究，發展了一個新的數學分支，名為“微分方程的定性理論”。除此之外，還有他後來在拓撲學上的研究，在其職業生涯中龐加萊還從事過復變解析函式、阿貝爾函式、代數幾何、雙曲幾何、數論、三體問題、丟番圖方程、電磁學、相對論、哲學和群論的理論研究。
龐加萊的拓撲學研究龐加萊在19世紀90年代開始從事現在被認為是拓撲學和代數拓撲學基礎的工作。“拓撲”一詞的靈感來自於戈特弗裡德·萊布尼茨在其1672-76年的著作中提到的這個詞。
拓撲學是研究幾何物體在連續變形下的特性，如拉伸、扭曲、彎曲，但不撕裂。
《拓補分析》（1892）在他關於拓撲學的第一篇論文中，龐加萊開始著手於拓撲學的第一本真正的入門書《拓補分析》。他引用了貝蒂數。他提出，貝蒂數是否足以確定流形的拓撲分類？為此，他引入了基本群π₁的概念。一個基本群體可以用以下方式來理解：
從一個空間（例如一個曲面）開始，其中的某個點，所有的迴圈都從這個點開始並結束——從這個點開始的路徑，徘徊並最終返回到起始點。兩個迴圈可以以一種顯而易見的方式組合在一起，即先沿著第一個迴圈行進，然後再沿著第二個迴圈行進。如果一個圓環可以變形成另一個圓環而不斷裂，則認為兩個圓環是相等的。所有這樣的環的集合加上這種組合的方法以及它們之間的等價性就是那個特定空間的基本群。
接下來，他描述了一組三維流形，並說明其中某些流形具有相同的貝蒂數，但屬於不同的基本群。由此，他提出，如果基本群是拓撲不變的，僅憑貝蒂數無法區分三維流形。
拓撲學後來的龐加萊猜想（1904）實際上在1895年並不存在。根據斯蒂威爾的說法，龐加萊認為這是顯而易見的，即所有單連通的n維閉流形都是同胚的n維球。也就是說，所有這樣的流形如果在n維中變形為一個球體的形狀，將保持它們的拓撲性質。畢竟，自黎曼時代以來，對於一維和二維流形，同樣的結果是已知的。
拓撲分析，相反地，是對貝蒂數進行修正和補充，以尋找一個更堅實的基礎，基於他自己三年前的論證。本文通過幾種途徑來實現這一目標。正如研究中經常出現的情況一樣，他首先介紹了為什麼這項工作是有價值的，他說：“n維幾何是一個真實的物件，現在沒有人懷疑這一點。”超維空間中的圖形和普通空間中的圖形一樣，都容易被精確的定義，即使我們無法想象它們，但我們可以研究它們。
在拓撲分析的眾多重大發現中，龐加萊為後來被稱為同調論的理論奠定了基礎，這是一種將一系列代數結構（如交換群或模組）與其他數學物件（如拓撲空間）聯絡起來的方法。他建立了一個計算貝蒂數的系統，假設每個流形都可以分解成與單形同胚的“包”，寫出他稱為同胚的線性方程，並透過線性代數計算相應的貝蒂數，從而達到這個目的。
利用他的新同調理論，龐加萊下一步透過考慮“包”分解的對偶，提供了n維流形的貝蒂數的龐加萊對偶性定理。對偶定理指出，從“兩端”距離相同的貝蒂數，即上維和下維，是相等的。特別是，對於一個3維流形，二維的貝蒂數等於一維的貝蒂數。
在同一篇論文的後面，龐加萊還將尤拉多面體公式推廣到任意維數，並將其與他的同調理論聯絡起來。他還給出了新的基本群的例子，證明了π₁是比貝蒂數更強的不變式，因為它識別的八面體的相對面與3維球具有相同的貝蒂數，但又是不同的基本群。從他的發現中可以看出，對於0維、1維和2維流形，貝蒂數足以區分它們，但對於三維流形，基本群就變得很重要了。
回顧過去，由於龐加萊對同調理論和基礎群的建立，《拓撲分析》被視為代數拓撲的起源。對於同調理論，其建立的重要性在於它揭示了產生貝蒂數的代數結構。基本群的發現突出了用貝蒂數來指示流形性質的能力的不足。
龐加萊猜想每一個單連通封閉的3維流形都同胚於3維球面。
這是由龐加萊在他1904年的《拓撲分析》補編的末尾所作的猜想，他認為三維流形的表徵是同胚於3維球面的。準確地說，龐加萊猜想表明：
如果一個光滑的緊緻三維流形M³具有流形內的每一條簡單閉曲線都可以連續變形為一點的性質，那麼M³與球面S³是同胚的嗎？
這個猜想認為，如果流形內的每一條簡單的閉合曲線，如環路，都可以變形（收緊）為一個點，那麼它一定是一個三維球體。不幸的是，我們不能有效地視覺化三維流形，下面的圖中顯示了類似的2形流形，其中有藍色和綠色的環。正如我們所看到的，在球體上的任何環都可以被收縮，並透過滑動它們而離開表面。然而，在環面上，雖然藍色環可以被收緊和滑脫，但綠色環不能，除非切割環面。因此，環面與球面不是同胚的。
球體上的藍色和綠色環可以收縮到單個點，而圓環上的綠色環則不能。因此，環面與球面不是同胚的龐加萊猜想的意義正如你現在可能已經發現的，龐加萊的猜想和宇宙形狀之間的聯絡是非常明顯的。簡單地說，如果宇宙是一個單連通、封閉的3維流形，它與球體是同胚的。這意味著，儘管宇宙可能確實是一個3維環面的形狀，如果是這樣，我們知道它永遠不可能擴充套件成3維球的形狀，反之亦然。