四面體是最簡單的多面體，在漫長的歲月裡，這種看似簡單的三維形狀延伸出了許多能引發那些偉大頭腦為之苦思的問題。2020年11月，四名數學家在學術預印網站arXiv上提交了一篇長達30頁的論文，他們用數論方法證明了一個與四面體有關的古老問題。

這個問題最早可追溯到2000多年前的柏拉圖與亞里士多德，它旨在確定能夠完美填充（或者說“密鋪”）三維空間的多面體。柏拉圖認為，世界是由水、氣、火、土和以太這5種“物質”構成的，每種“物質”都與一種特定的多面體形狀對應，這些有著相等邊長的三維形狀後來被成為柏拉圖多面體。

但是，柏拉圖的學生亞里士多德並不認同這種假設，他認為如果世界果真是由這些物質構成的，那麼這些與之對應的形狀必須能夠完全填充空間才對。他認為，雖然與土和火對應的立方體和正四面體可以鋪滿空間，但與水和氣對應的正二十面體和正八面體是無法做到這一點的。

當然，亞里士多德在這個問題上的判斷也不完全正確。自15世紀起，就有科學家就開始質疑正四面體可填充空間的可能性。17世紀的科學家已經確認正四面體無法做到這一點。這其實很容易被證實，你只需將若干個正四面體模型邊對邊的擺放好，就會發現在五個正四面體之內，必然會出現一個無法填補的缺口。

事實上，大多數三維形狀都無法密鋪空間。那麼，一個新的問題產生了：如果正四面體無法密鋪空間，其他四面體能做到嗎？

答案是肯定的。1923年，數學家Duncan Sommerville證明了第一個可以密鋪空間的四面體。那麼，這樣的四面體有多少個呢？然而，尋找這樣的四面體是非常困難的。但好在數學家發現，尋找可密鋪三維空間的四面體問題，與另外兩個問題有關。

第一個問題是大衛·希爾伯特（David Hilbert）在1900年提出的23個問題的第三問：對於任意兩個等體積的多面體，是否總能將其中一個多面體切割成有限多個多面體，再重組成另一個多面體？

換種說法，這個問題可被表述為：是否任何一對具有相同體積的多面體，都是剪刀全等的？一個形狀與另一個形狀剪刀全等，指的就是其中一個可以透過直線切割，重組成另一個形狀。

同年，馬克斯·德恩（Max Dehn）為解答這個問題提出了一個關鍵概念，他證明了這個問題與多面體的角度和邊長有關。他發現，從多面體的角度可以計算出一個現在被稱為德恩不變數的量，當兩個形狀剪刀全等時，那麼它們的德恩不變數必須相等。

1980年，Hans Debrunner證明了任何可能密鋪空間的四面體，其德恩不變數都必須與立方體一樣——等於0。這意味著與立方體剪刀全等的四面體才有可能密鋪空間。而數學家們繼而發現，與立方體剪刀全等的那類四面體，其所有二面角的度數均為有理數。

到這裡，另一個與之相關的問題也出現了。

1976年，約翰·康威（John H. Conway）和安東尼婭·瓊斯（Antonia JJones）發表了一篇論文，在論文中他們提出了這樣一個問題：是否有可能識別出所有其二面角的度數全部為有理數的四面體？

他們想到可以透過求解一個特定的多項式方程來尋找這種有理四面體。他們的方程中存在六個變數，對應於一個四面體的6個二面角；它有105項，反映的是這6個二面角之間的相互關係。這個多項式方程有無窮多個解，對應著無窮多個不同的四面體構型。

康威和瓊斯認為，要透過求解方程找到所有二面角都為有理度數的解，必須找到方程的一類與有理四面體完全對應的特殊解。但他們並不知道應該如何做到這一點。

1995年，數學家Bjorn Poonen、Michael Rubinstein以及其他數學家透過計算機，搜尋並發現了這些特殊的有理四面體。他們的結果表明，滿足這些條件的四面體有59個，加上兩個無窮族中的四面體。無窮族中的四面體都具有一個可以被無限調整的角度引數，使這些四面體不管經歷了怎樣的調整都能維持密鋪空間的能力。

但是，Poonen等人無法證明已找到的這些四面體就是所有能夠密鋪空間的四面體。直到現在，4位數學家在一篇新論文中闡明的方法，證實了25年前所發現的就是所有的有理四面體，不存在尚未被發現的其他例子。

在新研究所提供的方法中，數學家首先證明了那個用來表示四面體的複雜多項式方程可以被表述成許多更簡單的多項式。他們將一個複雜的6變數方程轉變成為了數百個相對簡單的方程，並對這些方程進行求解。接著，他們根據對方程解的一些性質的預判，在求解過程進行了更有針對性的設定，從而得到了一個能夠快速高效地搜尋方程解的演算法。

最終，他們找到的正是那59個獨立的四面體，以及兩個無窮族的四面體。並且，這些具有有理二面角的四面體都有一個為零的德恩不變數，這意味著它們都與立方體剪刀全等，有可能密鋪空間。

現在，麻省理工學院的一群本科生們在繼續研究這個問題，他們試圖找出其中的哪些能做到三維密鋪。2021年1月，他們找到了一個反例，證明了其中一個獨立的有理四面體不能密鋪空間，這是數學家首次發現的一個與立方體剪刀全等，但又不能密鋪空間的四面體例子。

編譯：佐佑

圖片：雯雯子

https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/

http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/press_release.pdf

https://arxiv.org/pdf/2011.14232.pdf

封面圖：Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton

多面體：Wikipedia Commons