前段時間收到一位熱心讀者的郵件。信中提到，如果認定1-1+1-1……=1/2為事實，就會得出1+2+3+……=-1/12這樣難以令人理解的結論。這位讀者所提及的自然數求和問題，恰巧在量子理論和絃理論中都起到頗為重要的作用。從真空的能量，到時空的維度數量，都與自然數之和有著微妙的聯絡。在這個小小的數學魔術裡面，甚至還隱含著時空不連續的秘密。
撰文 | 董唯元
數學老師曾告訴我們，只有收斂的級數才能求解無窮項之和，然而在一些科普書中，卻會遇到一個神奇的求和：
所有自然數之和怎麼會是負數，而且還是個分數？這到底是人性的扭曲，還是道德的淪喪？
把對稱軸當作級數和
想要理解這個古怪的結論，我們先來看一個簡單的例子：1, -1, 1, -1, ……這個序列可以求無窮項之和嗎？義大利數學家格蘭迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就開始認真琢磨這個問題，可以說，這是所有發散級數求和研究的起點，這個序列後來就被命名為“格蘭迪級數”。
也許有小夥伴猜測，這個序列中1和-1的數量既然同樣多，那麼總和就應該等於0。可惜這樣的猜測是錯誤的。無窮集就像個再生能力很強的變形蟲，部分與整體同樣多。我們從序列中拿走任意個1或者-1之後，剩下的1和-1數量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和為零的話，那麼豈不是總的求和僅由先取出的1或-1的數量決定——也就是任意整數。這顯然太不靠譜了，看來壓根不能依靠比較1和-1的數量來求和。
還有個辦法，就是藉助收斂的級數尋找線索。我們知道，在|q|<1時，
現在我們粗暴地讓q=-1，於是就出現了
這個結果似乎還能令人接受，可是，q=-1畢竟是個“不合法”的條件，我們需要更合理的途徑來安撫內心的不安。如果把這個級數的前n項和記做A(n)，我們現在動手來求 A(∞)。
哈！根據這個等式，我們又一次得到了 A(∞)=½ 的結果。這回貌似沒有明顯違法的地方了，警察來了也不怕。可是，總還是感覺哪裡不對。
A(1)=1
A(2)=1-1=0
A(3)=1-1+1=1
…
可以看出A(n)在1和0之間來回跳動，按照極限的定義，
這個極限不存在。當我們寫下A(∞)這個符號時，它究竟指代什麼，還沒有清楚的定義。其實這也是發散級數求和的基礎問題：如何定義發散級數的和。
相關的定義不止一種。大體來說，主要有切薩羅求和與阿貝爾求和兩類，另外拉馬努金和黎曼等人也發展出許多更一般性的理論，中間還摻有源自尤拉的諸多貢獻。那些數學語言雖嚴格，但催眠和勸退的副作用也不小，所以本文不打算糾結於那些從集合論談起的基礎定義，只使用非常“物理”的視角來定義： A(∞)表示所有 A(n)的平均值。
以“平均值”定義的求和方式，使許多發散級數都可以進行求和。例如
1-2+3-4…
這個級數，也可以用同樣的方法直接用眼睛瞪出結果。我們用B(n)表示前n項和，即
那麼
B(0)=0
B(1)=1
B(2)=1-2=-1
B(3)=1-2+3=2
…
把這些B(n)所對應的點畫在圖上之後，完全不需要動筆計算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。
如果只看圖還不放心，我們也可以藉助前面 A(∞)=½ 的結論來推算 B(∞)：
稍微調整等式右邊的計算順序，先讓前面括號內第n項減去後面括號內第n項，然後再做加和。
即
A(∞)-B(∞)=B(∞)
所以
B(∞)=½A(∞)=¼
把自然數之和變成-1/12的魔術
當然，畫出點來再用眼睛直接瞪出結果的方法，有時候也需要一些技巧。就以全體自然數之和為例，我們同樣地令C(n)代表前n項和
麻煩出現了！顯然C(n)對應的點都分佈在一根上揚的拋物線上，沒辦法直接看出平均值，而且看起來壓根就不存在有限的平均值！別急，我們可以繼續變形。
這樣我們就把每個C(n)對應的點，都拆成上式中綠色項和紫色項所對應的兩個“半點”分別畫出來，居然又可以湊成兩條對稱的曲線。
當我們把無限個“半點”都辛苦畫完之後。就可以指著兩根曲線中間的對稱軸宣佈：
因為所有C(n)的平均值就等於所有“半點”的平均值，而兩根曲線上的“半點”分佈完全對稱，只在綠色曲線的開頭位置差了一個無關緊要的0。
除了看圖猜值，我們也可以藉助剛才的 B(∞)=¼ 那個結果，再來計算一遍 C(∞)。
調整順序後
於是得到
所以
其實，能夠得到 -1/12 這個結果的途徑還有許多。例如神奇的Zeta函式
這個以複數s為變數的函式，因著名的黎曼猜想及其與數論的緊密聯絡而被反覆研究。數學家們可以寫出這個函式的許多種變化形式，其中一種解析延拓到全部複平面的形式是
用這個形式也可以計算出
既然經過這麼多五花八門的方式，都殊途同歸到 -1/12 這個結果，我們是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 這個式子堂而皇之地寫進中學課本中呢？相信許多人會跟我一樣，對此仍惶恐不安。因為在前述所有推演過程中，都埋藏著一個頗為隱蔽的問題，那就是等號的意義。將
或
直接寫成
似乎理所當然，但其實兩個式子中，前面的“=”代表的是“定義為”，而不是量值相等。所以，更清楚的寫法應該是
和
這樣就能看出，-1/12 這個數值，並不像1+1=2那樣自然天成理所應當，而是需要事先假定“全體自然數之和是一個確定的數”，然後再精心挑選出一個邏輯自洽性最好的數值，指定其為全體自然數之和。只不過當邏輯自洽性和直覺發生明顯衝突的時候，我們都會感覺驚詫，這在數學發展的道路上已經不是什麼新鮮事了。
伸向無窮大的剪刀
對 C(n) 這個發散級數，我們可以引入某個剪刀函式 f(x) 來壓制那些趨向無窮大的項，從而使發散的趨勢在某個特定的位置N附近停下來，並最終收斂到某個極限S(N)。這樣我們就用標準的極限概念構造出一個S(N)，當N有限時，S(N)是個有限值，而當N趨於無窮大時，S(N)就對應著全體自然數之和。
可以充當剪刀的函式有許多，比如我們取
此時
透過數值計算，我們發現S(N)隨著N的增加而奔向正無窮。這倒是符合我們先前的直覺了，可是說好的-1/12呢？別急，我們再把S(N)用1/N展開看看。我們發現S(N)在大N的數值結果，可以被下面的展開式很好的擬合
哈！居然又看到了這個-1/12，它是S(N)展開式中的常數項。也就是說，在S(N)中與N的變化無關的成分，就是-1/12。當N足夠大時，那些含1/N的項都可以忽略，S(N)可以被看做一根最低點在-1/12處的拋物線。
我們再取剪刀函式 f(x)=e^（-x） 試試。此時
這個求和可以嚴格計算出來。我們先對下面的等式兩邊求β的導數
可以得到
同樣在大N條件下做1/N展開，就得到
取β=1就得到
同樣也出現了常數項-1/12，而且也是根下垂到-1/12處的拋物線
如果 f(x) 直接取為跳變函式，也就是在 n=N 處突然截斷，那麼
就不會有-1/12這個常數項。
看起來，除了跳變函式的突然截斷，其他平滑的截斷方式都能得到
這個有趣的結果。這似乎是告訴我們，全體自然數之和即使註定無法擺脫走向無窮大的宿命，卻出於某種神秘的理由一直對-1/12情有獨衷。亦或可以說，
發散項只是平庸無奇的底色，而-1/12才是刻寫在底色上的性格核心。
真空的能量
站在實用的視角來說，我們有時候需要像使用收斂級數一樣處理自然數之和，所以就不得不找到某個確定的“韁繩”來駕馭。比如在研究真空能量的時候，物理學家就遇到了全體自然數之和，而且非常希望這個和是個確定的數。
在量子場論的理論模型中，真空就像一張立體彈簧網，由無數小彈簧橫縱交織而成。而所謂粒子，就是其中某些小彈簧的振動足夠劇烈，以至於遠遠望去以為彈簧網中出現了什麼異物似的，但只要湊到近處就會看出，那裡除了振動本身別無他物。也就是說，粒子本質上就是真空的振動。因此，當能量變化時，粒子的數量不必受任何守恆律的約束，可以憑空增加或者減少。不過，粒子能否產生或消失卻與小彈簧的振動頻率有關。在振動頻率為ω時，粒子數n與場的能量E之間存在這樣的關係：
從關係式可以看出，真空每攢夠一份ћω大小的能量，就會產生出一個粒子；反之每減少一份就會擦除一個粒子。或者乾脆說，每個粒子其實就是個ћω大小的能量包。有趣的是n=0時，它對應著真空裡沒有粒子的情況，此時能量是½ћω。也就是說，當真空的能量低到不能再低的時候，能量仍然不是0，這就是真空零點能。下面我們來具體計算一個有限空間內的真空能量，看看它與全體自然數求和到底是什麼關係。
將所有頻率的零點能累加起來，真空中總能量就是
瞧，自然數之和
就這樣出現了，現在你應該能夠理解，物理學家們是多麼希望
是個確定數值了吧。更有意思的是，如果姑且憨憨地認為自然數之和就是-1/12的話，我們甚至可以設計一個物理實驗來驗證這個結論。
如下圖這樣放置三塊相互平行的金屬板，使甲乙之間距離為a，乙丙之間距離為b。
根據剛才的結論，我們知道甲乙之間的真空能量是
乙丙之間的真空能量是
現在我們想知道，當a＜b時，中間位置的金屬板乙會受到哪個方向的力。根據能量對位置的偏導可以求解受力情況。結果發現：如果
的話，金屬板乙會受到一個向右的力；反之則受到向左的力。
其實，實驗裝置還可以進一步簡化，我們可以把最右邊的丙拿到無窮遠處，只留下甲和乙，然後測量甲乙之間是吸引還是排斥，如果相互排斥，就說明
反之則說明
這個實驗設想最早由荷蘭物理學家卡西米爾（Hendrik Casimir，1909-2000）在1948年提出，當然提出實驗的目的才不是測量自然數之和，而是為了驗證真空零點能的存在。事實上，卡西米爾當年在提出這個實驗的時候，就已經預言兩金屬板之間相互吸引，也就是對應
的情況，因為他的理論推算過程已然採用瞭解析延拓後的黎曼Zeta函式。1996年，華盛頓大學的Lamoreaux用實驗證實了卡西米爾效應的存在，論文發表在1997年1月的《物理評論快報》（PRL）上。
需要澄清的是，卡西米爾效應的實驗證實，只能說明真空零點能的存在，但是並不能真的用來驗證數學意義上的所有自然數之和。其實，現實中的金屬板只能阻攔有限頻率範圍內的電磁波，當頻率大過某個數值時，金屬板就無法阻攔這種極高頻率的波。所以從更精確的角度計算卡西米爾效應時，需要考慮這種高頻截斷。不過具體計算會用到尤拉-麥克勞林公式和伯努利數這些催眠的內容，本文就不再涉及了。
下面我們轉到弦理論，看看所有自然數之和是如何與維度的數量產生關係的。
時空的緯度
前面提到，兩端固定的一根彈簧之上只能存在駐波，所有振動頻率只能是最低頻率的整數倍。對一根兩端完全自由的弦來說，結論同樣成立。兩端固定意味著端點速度為零，而兩端自由則意味著端點的加速度為零。二者之間的差別，無非就是傅立葉分解時該寫成
還是
而已。也就是說，長度為L的弦，肯定有個像自然數序列一樣的離散頻率譜
另外，弦理論中的量子化方式與量子場論所使用的技術手段如出一轍，所以同樣存在
關係。這意味著能量最低的弦並不是完全靜止，而是具有
的能量，而且在每一個可以振動的維度上，都有這些能量。
假設空間維度數是d，那麼一個被激發成光子的弦所具有的最低總能量就是
妥妥的又出現了
相對論告訴我們，光子的最低能量應該是零，所以跟相對論相容的弦理論必須滿足
推演到這裡，我們就要祭出
這個大招，求解出d=25，也就是空間維數必須是25維，加上時間，總共26維時空。
在超弦理論中，由於超對稱因素的引入，弦的基態能量提升為3倍，光子能量約束條件變成了
由此求出d=9，加上一個時間維度，總共湊成10維的時空。
以上就是玻色弦理論要求25+1維時空，以及超弦理論要求9+1維時空的故事梗概，希望讀者能借助這些例項，對自然數之和在物理中的作用建立一些具像理解。
離散的時空
為了保持話題的收斂性，前文論述中刻意略過了許多有趣的細節。例如在弦的基態振動模式中，如果存在
的成分，那麼必然有
這就意味著僅在弦的一個振動模式裡，就包含了無窮大的能量。同樣的，真空零點能的計算中，也會不可避免地含有能量無窮大的成分。這顯然都太不合適，我們的理論模型需要有個邊界，來防止這種在極高頻率方向“紫外災難”的發生。
之所以能產生無限大的頻率，就是因為我們允許存在無限小的波長。那麼自然就會意識到，可以消除“紫外災難”的理論模型中，空間必然存在有限的最小尺度。更直白地說，就是空間不可能是連續的舞臺，而必須是離散的梅花樁。這個最小尺度究竟是多少呢？一個天然的候選者，當然就是普朗克長度。
如果某個粒子的波長比普朗克長度還要短，那麼這個粒子就會由於具備了太高的能量而把自己就地變成黑洞，而且這個黑洞所覆蓋的區域又會超出普朗克長度。於是，普朗克長度就成了現有理論中最為自然的時空基本畫素。
於是，先前的
就變成了
顯然，呈正比的那部分能量，在乙板左右產生的作用力始終相互抵消，只有第二部分呈反比的能量，才對乙板產生了作用力。由此可見，卡西米爾效應是在兩個巨大的首項恰好相互抵消之後，在第二項上顯現出的效應，所以這種力異常微弱，只有把兩個面積達平方米量級的金屬板靠近到微米距離時，才能產生可供測量的吸引力。
現在我們才算真正解釋了卡西米爾效應與自然數之和的關係，如果未來再遇到有民科企圖用這個實驗來證明自然數之和是個負數，儘可以毫不猶豫地送他一個白眼。