算術動力學利用數論中的物件（如橢圓曲線）和動態系統中的物件（如朱利亞集合）之間的相似性，對這兩者產生新的見解。
數學家約翰·米爾諾研究課題是一個叫做複雜動力學的領域，而布朗大學的數學家西爾弗曼對這個領域知之甚少。但是，當西爾弗曼瞭解了一些複雜動力學的基本概念後，他發現，這與數論領域具有驚人的相似性。
乍一看，這兩者就像是數學中不相關的分支。但西爾弗曼認識到，它們在某種特定的方面相互補充。數論尋找的是數字序列的模式，而動力系統實際上產生的是數字序列（就像在有規律的時間間隔內定義行星在空間中的位置的序列）。當數學家們尋找隱藏在這些序列中的數字理論模式時，兩者就會合並。
經過幾十年的研究，數學家們戲劇性地加強了數學兩個分支（動力系統與數論）之間的聯絡，並建立了一個全新的領域，即算術動力學。
這個領域的範圍還在繼續擴大。在去年發表在《數學年鑑》上的一篇論文中，三位數學家將數論與動力系統的聯絡發展到了一個全新的高度。這樣，他們解決了數論中一個存在了幾十年的問題的一部分，這個問題以前似乎與動力系統沒有任何明確的聯絡。
新的證明量化了一種曲線在周圍空間中與特殊點相交的次數。數論學家以前想知道，對於交集的數量是否有上限。證明的作者利用算術動力學證明了某一特定曲線集合有一個上限值。
他們的出發點是數論的中心物件之一，橢圓曲線。就像圓和線一樣，橢圓曲線既是數字又是形狀。它們是一對數字（x和y），可以作為一個代數方程的解，比如 y^2 = x^3 − 2x。這些解的圖形建立了一個幾何形狀，看起來有點像一條垂直的線擠出了一個氣泡。
橢圓曲線，橢圓曲線具有豐富的結構。它們是數論研究的一個重要物件。數學家們一直對量化和分類這些曲線的各種性質很感興趣。到目前為止，最著名的是安德魯·懷爾斯在1994年對費馬大定理的著名證明，這是一個關於哪些方程的解是整數的問題。這個證明很大程度上依賴於對橢圓曲線的研究。一般來說，數學家們關注橢圓曲線，是因為它們即不是微不足道不值得研究，也不是難到無法研究。
佐治亞理工學院的數學家馬特·貝克說：
橢圓曲線仍然非常神秘，它們一直在產生新的數學結果。
數學家們對橢圓曲線上的點特別感興趣，這些點在曲線上以一種特殊的方式移動。在橢圓曲線上，你可以用標準加法將點彼此相加，但這種方法不是很有用，因為和不太可能是曲線上的另一個點。
不同的起點會產生不同的序列。“大本營點（home base）”是具有非常獨特屬性的起點。如果你反覆地把這些點相加，它不會產生無限的新點序列。相反，它建立了一個迴圈，最終回到開始時的點。
扭轉點，當一個扭轉點被反覆加到自身上時，結果最終會回到起始點。這些產生迴圈的特殊起始點稱為扭轉點。他們是數字理論家們最感興趣的。它們也與動力系統的某一特定型別的點有驚人的對應關係，正是這種對應關係真正讓算術動力學成為可能。
重複模式動力系統經常被用來描述現實世界的現象，根據一個重複的規則向前移動，就像一個球根據牛頓定律的反彈。將一個初始值插入到一個函式中，然後得到一個輸出，這個輸出將成為新的輸入。
一些最有趣的動力系統是由像 f(x) = x^2 − 1這樣的函式驅動的，這些函式與被稱為茱莉亞集的複雜分形圖有關。如果你使用複數反覆應用這個函式（將每個輸出返回到函式中作為下一個輸入），在複平面中生成一系列點。
這是茱莉亞集合的一個例子。這只是二次多項式的一個例子。二次多項式是動力系統研究的基礎，正如橢圓曲線是數論研究的基礎一樣。
動力系統在進化過程中產生一系列的數字。以二次函式f(x) = x^2−1為例。如果從值x = 2開始，會得到無窮序列2，3，8，63等等。
但是，並不是所有的起始值都會生成一個不斷變大的序列。如果從x = 0開始，同樣的函式會生成不同型別的序列：0，−1，0，−1，0等等。
在動力系統的世界中，其序列最終重複的起點稱為有限軌道點。它們是橢圓曲線上的扭轉點的直接類比。在這兩種情況下，都是從一個值開始，應用系統或曲線的規則，並以迴圈結束。這是三位數學家在他們的新證明中所利用的類比。
這個簡單的觀察（橢圓曲線上的扭轉點與某一動力系統的有限軌道點相同）是我們在論文中反覆使用的——研究者，德馬科
設定一個上限三位數學家（克里格、葉都和德馬科）設想一種方法來擴充套件橢圓曲線的扭轉點與動力系統的有限軌道點之間的關鍵類比。他們把一個看似無關的問題轉化成一個可以直接應用類比的問題。這個問題源於曼寧-芒福德猜想。
曼-芒福德猜想是關於比橢圓曲線更復雜的曲線，比如y^2 = x^6 + x^4 + x^2−1。每條曲線都有一個與之相關的更大的幾何物件，稱為雅可比矩陣（它模擬了曲線的某些特性，對於數學家來說通常比曲線本身更容易研究）。曲線在雅可比矩陣中的位置就像拼圖中的一塊一樣。
與橢圓曲線不同，這些更復雜的曲線沒有這樣的群結構，即使曲線上的點相加的結果仍在曲線上。但是相關的雅可比矩陣可以。雅可比矩陣也有扭轉點，就像橢圓曲線一樣，在反覆的內加法下，會回到起始點。
曼寧-芒福德猜想是關於這些隱藏在雅可比矩陣中的複雜曲線與雅可比矩陣的扭轉點相交的次數。它預測這些交點只會出現有限的次數。這個猜想反映了曲線的代數性質（扭轉點是定義曲線的方程的特殊解）和它作為幾何物件之間的相互關係（反映了曲線是如何嵌入雅可比矩陣的，就像一個形狀嵌入另一個形狀）。扭轉點在雅可比矩陣的每個區域都是存在的。如果你放大它的任何一小部分，你都會找到它們。
1983年，米歇爾·雷諾證明了這個猜想是正確的。從那以後，數學家們一直在嘗試改進他的結果。既然知道它們只有有限的共同點，那麼每個數學家都會問，有多少個？
但是，由於缺乏一個清晰的框架來定義這些點的複數，計算交點的努力受到了阻礙。算術動力學最終起了作用。
轉換問題在他們2020年的論文中，三位數學家證明了曲線的交點數有一個上界（並沒有準確地確定這一上限）。雷諾之前的結果證明了交集的數量是有限的，但它為這個有限的數留出了空間，讓它儘可能大。
它們的證明依賴於與這個特殊曲線族相關的雅可比矩陣的一個獨特性質，它們可以被分成兩條橢圓曲線。
組成雅可比矩陣的橢圓曲線的解為複數。它們不是彎曲的線條，而是像甜甜圈的表面。德馬科、克里格和葉研究的特定曲線族的雅可比矩陣看起來像具有兩個洞的甜甜圈。它們很好地分解成兩個規則的甜甜圈，每一個都是兩個組成橢圓曲線之一的圖形。
新工作的重點是這些橢圓曲線的扭轉點。三個數學家對複雜曲線的交點個數及其雅可比矩陣的扭轉點感興趣，這可以用其中一條橢圓曲線上的扭轉點與另一條橢圓曲線上的扭轉點重疊的次數來表示。因此，要給曼寧-芒福德猜想設定一個界限，所有的研究者需要做的就是計算這些扭轉點之間的交點。
這不能直接完成。這兩條橢圓曲線和它們的扭轉點不能直接比較，因為它們不一定重疊。扭轉點散佈在橢圓曲線的表面上，但這兩條曲線可能有非常不同的形狀。這就像比較球體表面上的點和立方體表面上的點一樣（這些點可以有相似的相對位置，但實際上沒有重疊）。
但是，儘管扭轉點實際上不一定是重疊的，但可以把它們看成是在每個甜甜圈上相同的相對位置上的一對。在它們各自的甜甜圈上佔據相同相對位置的一對扭轉點可以認為是相交的。
為了精確地確定這些交點的位置，作者們不得不將扭轉點從各自的曲線上移開，並將它們放在彼此的位置上（就像你將一張星圖與夜空相匹配一樣）。
數學家們知道這些“星圖”，但他們沒有一個好的視角來計算重疊的點。德馬科、克里格和葉利用算術動力學做到了這一點。他們把兩條橢圓曲線轉換成兩種不同的動力系統。這兩個動力系統在複平面上生成點。
我們更容易想到一個空間包含兩個獨立的動力系統，而不是兩個獨立的空間包含一個動力系統。——德馬科
兩個動力系統的有限軌道點對應於橢圓曲線的扭轉點。現在，為了給曼-芒福德猜想設定一個界限，數學家們只需要計算這些有限軌道點重疊的次數。他們使用動力系統的技術來解決這個問題。
計算重疊橢圓曲線上的扭轉點沒有增長，因為它們會繞回自身。數學家們用“高度函式”來衡量這種增長。當作用於橢圓曲線的扭轉點時，它等於零。同樣，當應用於動力系統的有限軌道點時，它等於零。高度函式是算術動力學中必不可少的工具，因為它們可以在兩個分支之間的分界的任何一邊使用。
作者研究了代表橢圓曲線的動力系統的零高度點重合的頻率。他們證明了這些點在複平面上分散得足夠多，所以它們不太可能重合（事實上，重合次數不可能超過特定的次數）。
這個數字很難計算，而且可能比實際重合點的數量要大得多，但作者證明了這個上限確實存在。然後，他們將這個問題重新轉化為數論的語言，以確定兩條橢圓曲線上共享扭轉點的最大數目，這是問題的關鍵，也是算術動力學一個引人注目的地方。
它們能夠回答一個已經存在於數論中的特定問題，而沒有人認為它與動力系統有任何關係。
在德馬科、克里格和葉第一次發表了他們對曼寧-芒福德猜想一致的證明後不久，他們又發表了第二篇相關論文，是關於動力系統的問題，而不是數論，但它使用類似的方法。這兩篇論文綜合了過去三十年來從事算術動力學的數學家們所發展的許多思想，同時也添加了全新的技術。但西爾弗曼認為這些論文不僅是結論性的，更具有啟發性，暗示著這一新學科將產生更廣泛的影響。