尤拉定律

Euler law

定義：晶體或晶粒自發形成規則幾何多面體時均遵循瑞士數學家尤拉（Euler）創立的一個定律：規則多面體的面數（F）、稜邊數（E）和頂角數（C）服從F-E+C=2的關係。

學科：材料科學技術_材料科學技術基礎_材料科學基礎_材料組織結構

相關名詞：幾何學 晶體 尤拉公式

【延伸閱讀】

作為人類歷史上最偉大的數學家之一，萊昂哈德·尤拉一生的著作可謂汗牛充棟，而尤拉定律（或稱尤拉公式）則是他最為大眾所熟知的研究之一。相較於其他數學結論的艱深晦澀，尤拉定律所描述的現象可以用小學數學的概念加以描述：規則多面體的面數（F）、稜邊數（E）和頂角數（C）服從F-E+C=2。其中，數字2被稱為尤拉示性數。具有相同的尤拉示性數的幾何體具有相類似的幾何性質。

這裡需要澄清一個廣泛存在的誤區，即不是所有的“三維”幾何體的尤拉示性數都等於2，或者說F-E+C=2的關係並不總是成立。考慮幾何體“十二面體”，一般來說我們會下意識地聯想到“正十二面體”（如下圖所示）。正十二面體由12個正五邊形組成，它共有20個頂點、30條稜。顯然12-30+20=2，尤拉定律成立。

但如果“十二面體”是下圖中兩種“不規則”的形狀：小星形十二面體（左）和大十二面體（右），那麼尤拉定律就不再成立。小星形十二面體共有12個頂點、30條稜，12-30+12=-6；大十二面體共有12個頂點、30條稜，12-30+12=-6。

事實上，尤拉示性數相同的小星形十二面體和大十二面體之間有十分密切的聯絡——小星形十二面體的每個頂點均能對應到大十二面體上每個面的中心，反之亦然，二者互為對偶多面體。

尤拉定律最早由法國數學家笛卡爾於1635年前後證明，但笛卡爾這一成果並不為人所知。尤拉於1750年獨立證明了這個公式。因此在有的文獻中，也將這一公式稱為尤拉—笛卡爾公式。

尤拉定律（尤拉示性數）具有十分廣泛的應用。從純數學的角度而言，尤拉示性數是很多問題和解法的根源所在，對幾何學有著根本性的影響。而在化工、冶金、材料學等領域，科學家可以利用尤拉示性數所揭示的面數、稜數和頂點數之間的關係，預測未知晶體的形態。