原計劃做個科普影片，講解音訊和影片素材都準備好了，但由於時間原因暫時擱置，因此改成文章。建議大家聽著音訊看圖，免去閱讀的辛苦。

狹義相對論於1905年由愛因斯坦提出，目前已為物理學界廣泛接受，成為現代物理的基礎理論之一。但儘管如此，普通大眾對它的瞭解卻少之又少，一是因為相對論效應對我們生活的影響實在太小，雖然周圍有一些應用它的裝置，比如GPS，但還是難以感受到它的存在；再就是因為相對論與常識有些格格不入，尤其是對時間的描述，導致人們很難在腦海中建立直觀的印象，造成了理解上的困難。

今天我嘗試做一期影片，透過影片把燒腦的問題直觀展現出來，降低理解上的難度，讓你“看見”狹義相對論中的時間。

這是狹義相對論中的洛倫茲變換公式，描述了同一個事件在兩個不同參考系中的發生時刻與位置的關係，其中 c 是真空中的光速。我們來看看公式的具體含義。

有兩個慣性參考系，其中一個相對另一個以速度 v 沿著 x 方向做勻速直線運動，初始時刻兩個參考系原點重合，如果在第一個參考系的 t 時刻 x 位置發生了一個事件，對於第二個參考系，這個事件發生的時刻和位置分別是什麼？

在伽利略和牛頓時代，這個問題很簡單：對於第二個參考系，這個事件發生時刻還是 t，發生位置是 x-vt。

這個公式看上去不復雜，但應用到實際例子的分析中卻非常困難，相信每一位學習狹義相對論的朋友都有所體會。即使已經把這個公式玩得滾瓜爛熟，但每次用它來做題時，都會有點兒懵，在草稿紙上倒騰一會兒才能理清思路。

解決這個問題的辦法之一就是圖形化，因為圖形更加直觀，容易記憶，可以大大降低理解上的難度。

那麼，如何進行圖形化？我們先從分析一種最簡單的情況入手。

還是使用前面說到的那兩個參考系。我們在第二個參考系的原點放置一個時鐘，初始時刻時鐘顯示的時間為0，時鐘隨著參考系以速度 v 運動，那麼當我們描述“時鐘到達到某個位置”這個事件時，顯然對於第一個參考系，時鐘在 t 時刻到達 vt 處。

怎麼用圖來表示“時鐘在 t 時刻到達 vt 處”這個事件呢？我們先畫出一個直角座標系，縱座標是時間 t，橫座標是距離 x，我們稱這個直角座標為時空座標。為方便計算，取時間單位為“年”，距離單位為“光年”，也就是光在真空中一年走過的距離。這樣，任何事件都可以表示為座標系中的一個點。

例如，在第一個參考系中，設時鐘運動速度為0.6倍光速，那麼從初始時刻開始1年後，時鐘到達0.6光年位置。時鐘到達這個位置的事件，表示在這個時空圖中，就是位於座標（0.6，1）的一個點，如果把時鐘到達各個位置的事件都標在時空圖中，這些點將連成一條斜率為1/0.6的直線。

如果小明同學坐在第一個參考系的原點發呆，那麼將小明在各個時刻發呆的事件在時空圖中連起來將是一條豎直向上與縱座標軸重合的直線。

基於第二個參考系的時空圖該怎麼畫呢？由於時鐘一直位於原點，所以 x' 始終為0，因此時鐘到達各個位置的事件都將位於時空圖的縱座標軸上，這些點連成一條由原點豎直向上的直線，並且根據公式可知，每個事件的發生時刻 t'=0.8t，時鐘到達第一參考系的 0.6光年位置時 t'=0.8年，也就是說時鐘將顯示0.8年，而不是1年。

是不是感覺有些不合常理？別急，更不合常理的還在後面，等我結合圖講給你聽。但我可以向你保證，所有我講的都是基於狹義相對論的“光速不變原理”的合理推導結果，在邏輯上是完全自洽的，如果有感到疑惑的地方，請把影片倒回去再看幾遍，用筆和紙算一算，我相信你一定會明白我說的是正確的。但如果你覺得“光速不變原理”這個假設本身就是胡扯，那麼對不起，這個影片不適合你，我也沒有能力向你證明光速確實不變，我只能說至今沒有任何例項能夠證明光速不變原理是錯誤的，信不信由你。

為了方便描述，我們管第一個參考系叫本地系，第二個參考系叫時鐘系，小明坐在本地系原點不動，懷裡揣著一塊懷錶；小紅坐在時鐘系原點，口袋裡放著那個時鐘，隨著時鐘系以0.6倍光速的速度v向右遠行。

請注意一下，由於我們的座標系使用的單位為年和光年，將速度表達多少倍光速，因此在這個座標系中光速可以表達為1，任何物體運動速度可以簡化表示為-1到1之間的一個數值，我們在後面的描述中都按這個進行簡化。

小明和小紅自身經歷的事件表示在本地系時空圖中是這個樣子，一條向上的直線和一條向右上的斜線，斜率等於1/v。

小紅的時鐘走得比小明的懷錶慢，顯示的時間由起始時刻的都為0，逐漸拉開差距，比例是：

因為 v=0.6，所以這個比例是0.8，也就是當小明的懷錶顯示1年時，小紅的時鐘顯示0.8年。時鐘運動速度越快，慢得越厲害。圖裡我們把速度設成0.8倍光速，可以看到，小紅的時鐘顯示變成了0.6年，正好等於 √(1-0.8^2)。

下面引入一個非常重要的概念——等時線，也叫同時線，這個概念對於理解狹義相對論非常重要。很多人覺得狹義相對論自相矛盾，存在錯誤，就是因為沒有正確理解狹義相對論中說的“同時”是什麼含義。

在本地系中，我們畫一條經過小明當前正在經歷的事件時空座標點的水平輔助線，就是這條藍色的虛線，這條線把本地系中與小明當前事件同時發生的所有事件都連在了一起，再說一遍，它把本地系中與小明當前事件同時發生的所有事件都連在了一起。就是說，在本地系中，這些事件是同時發生的。這個應該好理解吧，在本地系時空圖這個直角座標系上，位於同一條水平線的事件都是同時發生的，這由它們在時空圖中的座標所決定的。這條線就叫等時線。

需要注意：在這個“同時”概念中，不考慮事件的光訊號傳遞到小明眼中所需要的時間。我們知道，光速是有限的，不同距離遠近的事件發出的光訊號傳達到觀察者眼中所需時間長短是不同的。但我們這裡說的“同時”是不考慮光訊號傳輸時間的，也就是說等時線上的這些“同時”，不是指小明同時看見，而是不受觀察者位置影響的，只由這個參考系和事件本身座標決定的“同時”，再說一遍，這些“同時”是不受觀察者位置影響，只由這個參考系和事件本身座標決定的“同時”，它是一個客觀的，與觀察者主觀觀察無關的定義。

可能有人說，不對啊，我學過的中學課本以及很多講狹義相對論的文章都提到了那個實驗：我坐在一列疾馳的火車上，小明站在站臺上，我看到雷電同時擊中火車兩端，而小明看到的卻是先後擊中......我要告訴你，這個思想實驗本身沒有問題，但很遺憾，它誤導了很多人。這個實驗的本意是想引導人們對“同時”這個概念進行思考，並沒有對狹義相對論中的“同時”概念進行定義，它對狹義相對論的推導也沒有多少幫助，真正有關鍵作用的是愛因斯坦為解釋實驗觀測結果而提出的“光速不變原理”。

現代物理學的發展過程中，儘管觀測至關重要，但在物理規律的描述上一定會排除掉主觀內容，能簡潔的一定簡潔。前面例子，如果把同時發生的事件定義為觀察者同時看到的事件，那麼對各個事件的描述將無比麻煩，因為你需要先說清觀察者位於哪個位置，需要計算事件與觀察者的距離，計算光訊號傳輸的時間，然後才能得出客觀的結論。

由於表達習慣，很多文章在講述狹義相對論時，會不知不覺地使用“看到”、“發現”等與人們的主觀觀察密切相關的詞語，這時需要注意作者想表達的原意。我一般會強調一下：除非單獨說明，我講狹義相對論時提到的“看到”、“發現”等都是指前面所定義的等時線上的事件，是不考慮光訊號傳播時間的，你可以理解為上帝看見的正在發生的事件，簡稱上帝視角，因為上帝是全能的，它不需要等待光訊號就可以“看見”。

很多朋友就是糾結在“同時”這個概念上，這個概念如果理解並且認可了，我們就接著往下看。

前面為本地系中的小明畫了等時線，那麼時鐘系中小紅的等時線該怎麼畫呢？是不是也是一條水平的虛線呢？不是！答案是這樣一條斜率等於 √(1-v^2) 的斜線，就是這條紅色的虛線。我們來看看為什麼。

我們先回到本地系觀察一下光在時空圖中的軌跡，我們把時鐘看做光子，將它的運動速度改為一倍光速，這條紅線就是光的軌跡，它是一條45度的斜線，軌跡上的任何點到縱座標軸和橫座標軸的距離都是相等的，這是由光速不變原理決定的。本地系的時空圖中，小明的等時線與橫座標軸平行，小明自身軌跡與縱座標軸重疊。

那麼同樣的，在時鐘系的時空圖中，光的軌跡依然是斜率45度的直線，小紅的等時線和小紅自身軌跡夾角的角平分線應與光的軌跡平行，這樣才能保證光的軌跡到時鐘系時空圖兩個座標軸距離相等。計算可知小紅的等時線斜率等於 √(1-v^2) 。

我們切換一下視角，把時鐘系時空圖切換成直角座標系，是不是就看出來了？這個事件發生在時鐘系的0.8年時刻，她的紅色等時線是一條水平線。

有了上面的基礎，我們看看狹義相對論中反常識的“鐘慢尺縮”實質是怎麼回事。

1.為什麼會互相看到對方的時間變慢？

注意，按照我前面說的，這裡的“看到”是上帝視角的“看到”，不考慮光訊號傳播速度。後面只要沒有單獨說明，都是這個意思。

從公式上好計算，兩人相對速度是 0.6倍光速，將（v=0.6 ， x=0 ）和 （v=0.6 ， x'=0 ）分別代入公式，將算得 t=0.8t' 和 t'=0.8t。

在時空圖中怎麼理解？對於小明來說，他看到的小紅是這條藍色虛線上的小紅，但小紅看到的小明是這條紅色虛線上的小明，因為在時鐘參考系看來，紅色虛線上的小紅、小明經歷的事件才是同時發生的事件。紅色虛線上的小明是藍色虛線上小明0.36年前的樣子，這時的小明懷錶顯示的是0.64年，正好是小紅時鐘顯示的0.8年的0.8倍。

這就是他倆互相看見對方時間變慢的本質，小紅看見的小明不是正在看著自己的小明！小紅什麼時候才能看到此時正在看她的小明呢？要再等0.45年，當她的時鐘顯示1.25年的時候！

2.是什麼原因造成了“尺縮”？

在這個視角下（本地系直角座標檢視），小明看見小紅以0.6c速度用1年時間到達了0.6光年處。

但在下面視角下（時鐘系直角座標檢視），小紅認為自己以0.6倍光速走了0.8年，也就是走出了0.48光年，這一點從她對小明位置的觀察中也得到了驗證：紅線上小明距離她正好是0.48光年。

是不是感覺很困惑？雖然困惑，但這些都是基於狹義相對論的合理推導結果，這些圖是對推導結果的展現，理解了這些圖，你就對“鐘慢”和“尺縮”有了直觀的印象。但這些圖只是工具，具體怎麼理解狹義相對論，還要靠你自己去思考。

今天給大家分析了狹義相對論中最簡單的情況——兩個做相對勻速直線運動的慣性參考系中時間與空間的關係，講了如何建立時空圖，描述了等時線的概念，並用時空圖和等時線對“鐘慢尺縮”進行了解釋。

影片中這個工具名叫 Geogebra ，是一個非常好用、功能強大的圖形計算工具，我把這個工具和我製作的 ggb 檔案放在網盤中，按音訊中的提示獲取下載連結。

用這個工具開啟ggb檔案，你可以隨意設定時鐘運動速度和本地時間，切換視角，觀察事件時刻和位置如何變化，幫助你理解狹義相對論。

今天這集算是一個熱身，下一集將分析雙生子佯謬，讓你“看見”速度變化情況下的時間，敬請期待！