23道重要的數學問題的提出者——希爾伯特

1990年在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，23道重要的數學問題被提出。這些問題涵蓋了數學基礎，數論，代數，幾何與數學分析，猶如黑夜中的燈塔啟迪了那個時代的數學家們。對20世紀的數學發展產生了深遠的影響。其餘威至今仍攪動著整個數學界。而提出者23個問題的就是德國著名數學大師——希爾伯特。

1861年希爾伯特降生在康德的故鄉柯尼斯堡。這座城市與數學的淵源頗深，圖論中著名的七橋問題原型就是柯尼斯堡的七座大橋。這個問題在希爾伯特降生前的一個世紀被大數學家尤拉解決了。彼時的德國數學界也是大師雲集，高斯、克萊因、黎曼、戴德金、魏爾斯特拉斯、康托爾，日後希爾伯特也會加入這個行列。

尚在年少的他，卻不是“別人家的孩子”，因為柯尼斯堡匯聚了一大批學霸。首先就是希爾伯特一生的摯友，未來四維時空理論的創立者——赫爾曼閔可夫斯基。還有赫爾曼的二哥，未來被稱為“胰島素之父”的奧斯卡閔可夫斯基，此外還有阿諾爾德索莫非——未來量子力學與原子物理學的開山鼻祖之一。與這些早慧的孩子相比，希爾伯特回憶自己的少年時期就是個“笨孩子”。他無法接受普魯士填鴨式的教育，沒辦法刻板的死記硬背，對知識喜歡刨根問底搞清楚才能消化。他雖然可以給數學老師上課，卻需要母親給他學好作文。與這位數學大師類似，多年後一位物理學宗師也飽受普魯士刻板教育的荼毒（他自己認為）。

雖然一路上磕磕絆絆但希爾伯特還是考上大學，即便父親想讓他成為一名律師，但數學偏科的希爾伯特卻好似約翰伯努利附體一般選擇了進入柯尼斯堡大學攻讀數學。希爾伯特一生對數學都懷有一種天然的樂觀，認為一切問題都是可以被解答的，他的名言“我們必須知道，我們必將知道”，便詮釋了這種樂觀。這與他年少時的數學環境不無關係。彼時林德曼剛證明了π的超越性，以此為突破解決了困擾人們千年的作圖難題“化圓為方”，克萊因也整合了菲歐幾何與歐式幾何打開了一個全新的世界。在這段學習生涯中他結識了一生的摯友閔可夫斯基和赫維茨。在柯尼斯堡任教的赫維茨是大數學家克萊因的弟子，每天五點他會和這兩位年輕的學者相約蘋果樹下討論當代數學的實際問題。據說這些討論啟發了後來希爾伯特提出23個著名問題。隨著希爾伯特嶄露頭角，他的社交圈也擴大到了柯尼斯堡之外，並結識了法國數學天才亨利龐加萊，正與龐加萊鬥法的克萊因，鬥倒康托爾的克羅內克，還有保羅果爾丹。

果爾丹研究的方向是代數不變數，這正是希爾伯特的博士課題，也是19世紀下半葉最熱門的研究課題之一。什麼是代數不變數？比如有一個向量，它由起點和終點確定，在向量移動時雖然起點和終點都發生了變化，但向量的長度卻沒有變化。如果我們把向量的變化抽象成矩陣，那麼這個代數變化中模長是不變的，這種量就是不變數。果爾丹被時人稱為不變數之王，該領域著名的問題就是以他的名字命名的“果爾丹問題”。希爾伯特很快在這個領域展現出他驚人的天賦。1888年他先是將“果爾丹”一個著名的證明從原來20頁的長度簡化為不到4頁紙，同年9月他又解開了“果爾丹問題”，這一波操作讓學界瞠目結舌。正當大家認為希爾伯特“不變數”領域搞的天翻地覆之時，希爾伯特卻頭也不回地和不變數分手了。