圓周率π,我們都知道它是一個無理數。何為無理數?就是無限不迴圈小數,既然是無限不迴圈,當然是不可能被完全算出來的,不可能用小數準確地表示出來。
其實問題中“被完全算出來”的說法本身就是不嚴謹的,帶有強烈的主觀色彩。何為“被完全算出來”?不一定非得用小數寫出來才是“完全被算出來”,其實圓周率π早已經“被算出來”了,它就是π,就好比“1就是1”一樣,π和1在數學概念是上平等的,就是無理數和有理數之分而已,是確確實實存在的數,而且是非常固定的數。
由於π不能用小數完全算出來,總會讓一些人產生錯覺,會認為π是一個不固定的數。事實上π當然是一個固定的數,還是那句話,π就是π,就如同“1就是1”一樣。
如果π不是固定的數,那麼1/3也不是固定的數,因為1/3也不能完全用小數算出來。
任何無理數都可以在數軸上用線段的形式表示出來,比如說你可以非常輕鬆地畫出π釐米的線段,或者√2釐米長的線段。數軸上的每一個點都對應著一個實數,而實數包括有理數和無理數。雖然有理數和無理數都有無窮多個,但無理數的無窮比有理數的無窮要大得多!
下面重點說說無理數π。
π,其實很簡單,它就是圓周長與直徑的比值。有一個非常簡單的方法來理解圓周率派為什麼是無理數,為什麼永遠算不出來。
這個方法是由圓的定義來決定的,你永遠找不到也畫不出來一個真正的圓形。
比方說,如果圓的直徑是1,那麼很容易計算出圓周長就是π。這說明什麼?說明了一個無限的概念,圓的周長永遠會無限地逼近一個值,但是永遠到不了這個值,也就是說不存在真正意義上的圓。
人類歷史上對於圓周率的計算一直沒有停止過,可以追溯到兩千多年前。古希臘數學家阿基米德能夠比較精確地計算出π在3.1408-3.1419之間,這已經相當精確了。我國古代數學家劉徽計算出來更精確的圓周率π,他利用的是割圓術,通俗地講,就是不斷地在圓內部做內接多邊形,讓多邊形周長不斷逼近圓周長,多邊形的邊數越多就越接近圓形。
劉輝用這種方法將圓周率π精確到了小數點後四位。
而著名數學家祖沖之繼承了劉徽的割圓法,更是將π精確到3.1415926到3.1415927之間,這個成就非常難得。
不過割圓術這種方法也有自己的缺陷,這種幾何方法有一定的缺陷,隨著多邊形邊數不斷變大,會變得越來越難以操作,因為尺度會越變越小,精細度要求越來越高。
而現代超級計算機的出現,讓人類計算圓周率π的位數有一個質的突破,如今已經計算到了31.4萬億位。當然計算機之所以算這麼多位數,並不是驗證π到底是不是無理數,更多的是驗證計算機的效能。
π,是一個數學概念。不過對於熟悉物理的人來講,可能還有另外一個疑問。物理學上,確實存在最小的長度單位,普朗克長度。
雖然普朗克長度很小,約等於1.616229×10^-35m,但再小也是一個數值。普朗克長度的存在告訴我們,在現實中,事物並不是無限可分的,當把一種事物分割到普朗克長度,再分下去就沒有意義了。普朗克長度有有意義的最小長度單位。
普朗克長度的存在是不是與無理數π相矛盾呢?
當然不矛盾!
我們需要明白一點,數學和物理的區別,兩者並不是同一概念,並不能畫等號。說白了,數學只是人類認知世界的一個工具罷了,是一個抽象概念。嚴格來講,數學並不屬於科學範疇。有些數學上的概念在物理和現實中並不成立。
我們都聽說過這種觀點:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。什麼意思?將一根木棍無限分割下去,永遠都分不完。
其實這種思想就是一種無限思想,我國古代對無限概念的理解和描述,在數學概念上確實是對的,但在現實和物理領域是不成立的。
那麼如果圓周率被完全算出來會怎麼樣?
簡單講,我們如今所知的所有數學體系都將崩塌。而很多物理學知識,都與圓周率π有非常緊密的聯絡,這也意味著物理學大廈也將倒塌,人類幾千年來學些總結下來的知識幾乎全部需要修改。
說白了,我們需要從零甚至周圍的世界!
如果圓周率被完全計算出來,意味著圓其實就是一個“正多邊形”,意味著劉徽的割圓術在分割到一定程度將無法繼續分割。
同時,也意味著微積分概念是錯誤的,那麼現代人類利用微積分只是製造出來的積體電路也將不復存在,幾乎所有電子元件都將失效。
往大了說,組成物質的分子原子的電子軌道可能變得不穩定,物質難以凝聚形成,整個宇宙都會被牽連,我們的宇宙將徹底崩塌!
這也太可怕了!
好在這種假設是沒有意義的,科學家早就證明了圓周率π的的確確是無理數,有多種方法可以證明,感興趣的朋友可以自行搜尋下,並不難理解。