金融市場的量化密碼系列文章（7）

美好的不確定性（科學篇）

「德國數學家希爾伯特」

1900年8月8日，德國數學家希爾伯特（David Hilbert ）在巴黎第二屆國際數學家大會上提出新世紀數學家應當解決的23個問題，給整個20世紀的數學研究指引了方向。希爾伯特本人被稱為“數學界最後一個全才”，對數學的各個子分支都有程度不同的貢獻（以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。有一次希爾伯特問系裡的同事：“請問一下，什麼叫做希爾伯特空間？”）。他在1930年退休演講中說了一句著名的話：我們必須知道，我們必將知道 （Wir müssen wissen, wir werden wissen.） 。

希爾伯特想為整個數學建立一個堅實的確定性的基礎。在對平面幾何學進行了嚴格的公理化之後，他制定了著名的希爾伯特計劃，希望將整個數學體系嚴格公理化，然後用元數學，也就是可以證明數學的數學，來證明整個數學體系是堅實的。

這個計劃很宏偉，如果成功的話，就可以由機器來代替人做數學的推導和證明了。希爾伯特的計劃是先將所有的數學形式化，讓每一個數學陳述都能用符號表示出來，讓數學語言可以脫離自然語言的模糊性。第二步，證明數學是完備的，也就是說從公理裡面可以推匯出所有真的陳述。第三步，證明數學是自洽的，也就是說不會推出自相矛盾的陳述。最後，可以找到一個演算法得到數學的可判定性，就是可以機械化地判定數學陳述的對錯。

希爾伯特1930年退休時說的“we must know, we will know”就是在這樣的背景下產生的。他認為假以時日，這個目標並不難實現，之後數學根基就很紮實，可以支援所有的其它學科，變成科學研究最堅實的基礎，並且可以以此來建立自動推理體系，讓機器代替人推理所有的數學定理。現代數學有非常多的分支，但是這些分支都有一個共同的基礎，就是集合論（set theory）。在集合論之上才有分析和代數兩個分支。包括量化金融賴以生存的機率論、實分析、線性代數、微積分、微分方程都可以歸結到集合論的基礎上。希爾伯特認為有了集合論這個基礎，他的大一統計劃一定可以實現。

然而，恰恰是集合論出了問題。

「和愛因斯坦在一起的哥德爾」

希爾伯特剛剛退休，答案就揭曉了。1931年，哥德爾（Kurt Gödel）發表了論文，證明了數學形式系統（formal system）中，不可能做到既完備（complete）又自洽（consistent）。也就是說，要麼數學系統裡面有自相矛盾，要麼沒有自相矛盾，但一定有些為真的陳述我們無法證明。哥德爾還證明了不能在算術體系內證明自洽性。

哥德爾的證明是建構在1903年羅素（Bertrand Russell）提出了一個悖論上的：如果一個集合由一切不是自身元素的集合所組成，那這個集合包含它自身嗎？和蘇格拉底悖論、羅素理髮師悖論一樣，這個悖論推導一步就出現了矛盾。

哥德爾的不完備定理給數學這個理應嚴謹的工具帶來了巨大的危機，這個定理告訴我們“真”與“可證”是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。希爾伯特試圖建立數學大廈的構想完全破滅了。哥德爾之後，人們只能在巨大的不確定性的基礎上使用數學，小心翼翼地希望數學的邏輯不要壞了，導致數學的結果失效。

哥德爾是愛因斯坦的好朋友，從1942年到1955年愛因斯坦去世，他們兩個人常常一起散步。愛因斯坦曾對經濟學家奧斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）說，他每天到高等研究院來上班，就是為了和哥德爾一起散步回家。

愛因斯坦非常不喜歡不確定性，他1926年12月4日給玻恩（Born）的一封信裡說過一句很著名的話：上帝不會擲骰子（God does not play dice with the universe）。意思是上帝會制定確定的物理定律，而不會用機率來生成任何規則。對此，物理學家波爾（Niels Bohr）回答到：請不要告訴上帝他什麼可以做，什麼不能做。這兩位大師的對話不禁讓人想起莊子和惠子的對話：

莊子與惠子游於濠梁之上。

莊子曰：“鰷（鰷：讀音同“條”）魚出遊從容，是魚之樂也。”

惠子曰：“子非魚，安知魚之樂？”

莊子曰：“子非吾，安知吾不知魚之樂？”

但是那時物理裡面已經出現了海森堡測不準原理，加上薛定諤（Erwin Schrödinger）基於機率分佈的方程，有越來越多的研究把物理學指向了一個充滿不確定性的未來。愛因斯坦和另外的兩位同事（Boris Podolsky和Nathan Rosen）於是寫了一篇著名的論文批評量子力學，這就是用三個人姓氏首字母命名的EPR佯謬。

「A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen」

這篇論文的本意是用反證法推匯出矛盾，就是假設量子力學是對的，接著往下推導，最後希望得到荒謬的結論，從而證偽量子力學的模型。基於量子力學的假設，EPR的結論是，對兩個糾纏態的粒子中的一個做觀測，則它們就會從疊加態坍塌，另一個粒子也會坍塌，但是無論這兩個粒子距離多遠，坍塌是同時發生的。也就是說，這違背了愛因斯坦相對論中的光速是宇宙速度的極限。EPR把這種兩個糾纏態粒子之間的資訊傳遞叫做“幽靈般的遠距效應”（spooky action at a distance）。

但是這個著名的EPR論文最後卻提供了給量子力學最有用的證明之一，因為在幾十年後，有實驗物理學家證明了，這種“幽靈般的遠距效應”確實是存在的。也就是說，雖然愛因斯坦他們寫這篇論文的本意是挑戰量子力學，但是論文卻給出了一種驗證量子力學的方法，最終是一系列的實驗證明了EPR的結論是可以驗證的，也就是說愛因斯坦想要的確定性並不存在，宇宙最終極的規則是隨機性，上帝就是在擲骰子！

「第五屆索爾維會議參會的大咖們」

「後排左起：皮卡爾德（A. Piccard）亨利厄特（E. Henriot）埃倫費斯特（P. Ehrenfest）赫爾岑（Ed. Herzen） 頓德爾（德康德）（Th. de Donder）薛定諤（E. Schrödinger） 費爾夏費爾德（E. Verschaffelt） 泡利（W. Pauli）海森堡（W. Heisenberg） 否勒（R.H. Fowler） 布里淵（L. Brillouin ）

中排左起：德拜（P. Debye） 克努森（M. Knudsen） 布拉格（W.L. Bragg）克萊默（H.A. Kramers） 狄拉克（P.A.M. Dirac） 康普頓（A.H. Compton ） 德布羅意（L. de Broglie） 波恩（M. Born） 玻爾（N.Bohr ）

前排左起：朗繆爾（I. Langmuir） 普朗克（M. Planck） 居里夫人（Mme Curie ） 洛倫茲（H.A. Lorentz ） 愛因斯坦（A. Einstein） 朗之萬（P. Langevin）古伊（Ch.E. Guye） 威爾遜（C.T.R. Wilson）裡查遜（O.W. Richardson）」

在這場世紀大論戰中，無數物理學家加入了戰隊，波爾（Bohr）為首的哥本哈根學派這邊有玻爾、海森堡、泡利（W. Pauli）、玻恩（M. Born）。而愛因斯坦這邊有愛因斯坦、薛定諤、德布羅意（L. de Broglie）。他們在幾次索爾維會議（Solvay Conference）中各自用盡渾身解數，讓人類對微觀世界的粒子有一次次的思維升級和飛躍。

就像泊松亮斑的本意和它最後的得到的結果正好相反一樣，EPR徉謬也是一個很經典的出發點和結論相反的例子。另外一個“事與願違”的例子就是薛定諤的貓了。它是本專欄中提到的另外一隻科學神獸。薛定諤是愛因斯坦戰隊的成員，他提出薛定諤的貓這個思想實驗的本意也是為了證明量子力學的理論有缺陷。

「薛定諤的貓」

中文的量子這個詞是從英文“quantum”意譯過來的。因為中文的“量”可以是離散的，也可以是連續的，所以中國人看到“量子”這個詞很難從中領會quantum說的離散的概念。對“量子”最直接的理解其實是我們能測量的最小的能量。在物理學裡面，quantum是一個離散的能量的衡量，其大小與它所代表的輻射頻率成正比。如果把能量想象成是一堆微小的能量顆粒組成的，量子指的就是最小的能量塊。換句話說，在量子力學裡，沒有連續的概念，我們在宏觀世界裡習以為常的連續的時間和距離都有顆粒度，有最小的單位。

量子這個概念是普朗克（Max Planck）提出的。是能量的最小單位。和能量單位對應的，還有長度和時間等的最小單位。一個普朗克距離的定義是米。一個普朗克單位時間是秒。這兩個單位都足夠小，以至於討論小於它們的單位都沒有任何物理意義了。通俗的理解就是不會有比這些單位更小的量了。

量子物理中認為微觀粒子在沒有被觀測到的時候可以由波函式描述，符合一個機率分佈，處於“疊加態（super-position）”。而一旦被觀測，這個波函式就“坍塌”了，變成一個確定的值。

疊加態的意思是同一個粒子在沒有觀測的時候可以即是左旋的，也是右旋的。但是一旦對它做了測量，它就“坍塌”成了其中一種狀態。薛定諤想把微觀和宏觀世界聯絡起來，他說可以想象一個盒子，裡面有一隻貓和一個處於疊加態的粒子，這個微觀粒子會連線在一個探測器上，如果探測到左旋就什麼都不會發生，如果探測到右旋就會打碎一個放了毒藥的瓶子，貓就會被毒死。但是因為微觀粒子在疊加態，就是說既左旋又右旋，於是毒藥瓶子就是既被打破又沒有被打破，於是貓就既是死了又是活著。

「經典位元與量子位元的區別」

對於既是死了又是活著的理解很重要，它並不是說沒有看的時候50%機率活著50%機率死了，而是說同時活著並且死了，因為兩個狀態“疊加”了。

薛定諤的貓這個思想實驗試圖把微觀的量子力學裡才有的“疊加態”對映到我們的宏觀世界裡來。一隻既活著又死了的貓看上去是荒謬的，但是後來有了多重宇宙詮釋，也許世界最基礎的規則就是機率。

19世紀末到20世紀初這神奇的幾十年開啟了一個全新的時代，從繪畫、音樂到物理和數學，各個領域都走出了對確定性的追求，之後人們不再滿足於確定的結果，因為世界和宇宙本身就是不確定的。

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