​在所有黑洞相關的問題中，最令理論物理學家頭痛的或許是黑洞資訊悖論。這是霍金證明黑洞存在熱輻射後誕生的一個麻煩的問題，也是霍金生前最後一篇論文研究的問題：黑洞蒸發後，所有與之相關的資訊都丟失了，因而違反了資訊守恆律。數十年來，為了解決這一問題物理學家提出了許多猜想和模型，如今終見曙光——黑洞資訊沒丟！那麼黑洞資訊悖論要被終結了嗎？究竟有何神秘武器有如此威力？這篇科普文章將帶你領略黑洞資訊悖論突破之旅。

撰文 | 董唯元

最近關於黑洞的話題實在太熱門了。今年除了諾貝爾物理學獎頒給了黑洞方面的成果，還有一個專為青年研究者而設立的“新視野獎”（New Horizons Prizes），其中一位研究黑洞熱力學的女科學家Netta Engelhardt榮獲殊榮。這位來自麻省理工學院的教授，是近幾年黑洞資訊悖論方面取得進展的主要貢獻者之一。

粗略地說，她的成果是以一種“隔空取物”的方法，神奇地計算出黑洞演化過程中的熵變，從而得出宇宙總體資訊守恆的結論。這一結論雖然在某種程度上解答了霍金提出的黑洞資訊悖論，但卻並未給這個問題畫上最終句號。相反，由此所產生的更多有趣問題，正在激發起更多研究熱情。

在介紹這些最新進展之前，讓我們先簡要回顧一些與這個悖論有關的理論發展過程。

無毛的黑洞卻有熵

最早與黑洞產生矛盾的並不是資訊守恆律，而是熱力學第二定律。

惠勒這位好事兒的物理學家曾異想天開地想請黑洞喝下一杯熱咖啡，然後宣稱宇宙中的熵總量減少了，熱力學第二定律被打破了。因為依照惠勒的“黑洞無毛”理論，黑洞只有質量、電荷和角動量這三個指標，沒有任何微觀狀態差異，似乎不該有熵的容身之地。於是一杯含著許多熵的熱咖啡被黑洞喝下之後，這些熵就從宇宙中永遠地消失了。

當然，這個略帶諧謔的詰問並沒有引起物理學家們認真對待，至少許多人會覺得那些落入黑洞的熵並沒有徹底消失，只是換做一種我們尚未知悉的神秘形式而已。換句話說，包括惠勒自己在內的幾乎所有物理學家，對熱力學第二定律的信心都遠勝過“黑洞無毛定律”，大家只是需要時間去發現那個既無毛又有熵的理論模型。

接下來就是眾所周知的故事了。經過霍金和貝肯斯坦等人的一番努力之後，人們認識到原來黑洞是個五臟俱全的熱力學系統，有溫度，會向外輻射能量，而且黑洞視界表面積正是黑洞的熵。於是，一個既無毛又有熵的黑洞就這樣搞定了。熱咖啡落入黑洞之後，視界表面積會增加，也就是黑洞的熵會增加，從而熱力學第二定律得以保全。

一切看似完美，可很快大家就發現，真正的麻煩才剛剛開始。

絕望的拉普拉斯妖

霍金計算出的黑洞輻射與普通火堆散發的輻射有一個顯著的不同，那就是黑洞輻射無法攜帶資訊。如果我們將一本書丟入火堆，物理學四大神獸之一——拉普拉斯妖，這個觀察能力和計算能力都無比強大的妖怪，可以僅憑火焰的細微變化，就推算出那本書上的文字。但是如果我們把一本書丟入黑洞，拉普拉斯妖卻無法透過黑洞輻射施展同樣的推算。更麻煩的是，黑洞向外輻射的同時自身會逐漸萎縮並在有限時間內蒸發殆盡，這樣書中所記錄的資訊會在宇宙中徹底消失。這是篤信因果律的物理學家所不能容忍的情況。

拉普拉斯妖所守護的，是宇宙在演化過程中的資訊守恆。更直白地說，就是確定性的因果關係，這是幾乎所有物理學的基礎。即使面對到處是機率的量子力學時，其波函式演化仍然是完全確定的，可以精確地用微分方程描述。機率只在對某個物理量具體測量時才出現，而測量動作使被測量的物件與外界產生了資訊和能量交換，所以被測量的物件此時不是個封閉系統。如果把被測量的物件和所有環境作為一個整體考察，其演化仍然是確定性的。

用稍微專業點的術語來說，一個封閉系統的演化過程就是其相空間裡的一條線，這些線必須嚴格遵循劉維爾定理，既不能交匯也不能分叉，否則就意味著因果律的崩潰。縱使抱持多世界詮釋觀點的物理學家，也得承認在每一個宇宙中資訊都必須守恆。宇宙的分叉並不會造成相空間裡演化流的分叉。

可是霍金的計算卻表明，黑洞的蒸發消失會造成“多因對應一果”的局面出現。無論當初丟入黑洞的是一部《道德經》，還是一部《聖經》，亦或是一隻活蹦亂跳的小白鼠，最終當黑洞蒸發殆盡之後，宇宙整體都回復到完全相同的樣貌。相空間裡的多條演化線在此處匯聚為一條線，歷史變得不可追溯了。

火牆和黑洞互補原理

自20世紀70年代起，解決霍金提出的黑洞資訊悖論就成了挑戰理論物理學家的大型智力競賽。為了挽救絕望的拉普拉斯妖，各種腦洞大開的解決方案都被提了出來。

有人猜測黑洞蒸發過程會在某個時間點停止，也有人猜測即使黑洞完全蒸發之後仍會留下含有資訊的殘渣。最為有趣的是黑洞火牆理論，這個理論認為黑洞周圍有一層高能火牆，任何落入黑洞的物質都會先被這堵火牆燒成不含資訊的碎渣。這樣火牆就像一面反彈資訊的鏡子，在允許物質落入黑洞的同時，卻將其中的資訊反彈回來。

所有第一眼看到火牆理論的人，都會立即感覺這明顯違背了相對性原理。物理學明明告訴我們，對自由落向黑洞的觀者來說，視界處的時空依然是連續且平坦的，如果觀者的尺寸小到足以抵禦潮汐力，就完全可以一路吃著火鍋唱著歌平安穿過視界。通往黑洞的道路又不是過南天門上天宮，怎麼會無厘頭地憑空出現火牆呢？

能夠使火牆理論邏輯自洽的，是一個腦洞更大的“黑洞互補性原理”。設想小A是不幸落入黑洞的觀者，小B是站在遠處的觀者。在小A的旅途中其實並沒有遭遇火牆，而小B雖然看到了火牆，可是在有限時間內二人根本無法再次坐下來對質，所以在同一個宇宙中這兩個貌似相互矛盾的劇本，居然就這樣相安無事地分別安撫了二者對相對性原理的擔憂。

這些理論探索並非實錘驗證的物理事實，提及這些只是供讀者賞鑑理論物理學家們的神奇腦洞。不過物理學研究畢竟不是純粹的創意比拼，在黑洞資訊悖論這場智力競賽中，最終反倒是一些相對不那麼燒腦的理論逐漸佔據了上風。

難以計算的佩奇曲線

霍金的學生唐·佩奇猜測，黑洞蒸發過程應該一直被資訊守恆律所制約。霍金的計算結果只反映黑洞輻射早期階段的熵變情況，而在後期階段，資訊會以某種方式從黑洞中跑出來，並在最終黑洞蒸發殆盡的時候，從總體上保證宇宙資訊守恆。從第一階段向第二階段轉變的時間點就被稱為“佩奇時間”，這條先升後降的曲線就是“佩奇曲線”。

這根看起來清晰易懂的佩奇曲線似乎已經給出了問題的答案，但其實這裡只是定性地描述在佩奇時間之後資訊開始從黑洞中洩露出來，卻不能對具體過程提供定量刻畫。實際上，物理學家無奈地發現，這條曲線上除了首尾兩點之外，中間的部分還不知道該如何下手計算。

於是，這場智力競賽又轉變成了計算模型的比拼，各種武器紛紛被搬了出來。最近幾年裡，經過全息對偶、糾纏熵、量子引力的路徑積分等等一眾新型武器的不斷狂轟濫炸，終於取得了明顯進展。最終由本文開頭所提到的Netta Engelhardt教授以及其他幾位物理學家一起，宣告佩奇曲線終於可以計算了。

資訊=糾纏

相信許多人在試圖理解黑洞資訊悖論的時候，第一個感到困惑的問題就是“資訊”這個概念究竟指什麼？與黑洞熵又到底存在怎樣的聯絡？那我們就先從這個問題開始，談一些略具體的物理內容。

在相關文獻中，出於精確性的考慮，大多會將悖論中“資訊丟失”的含義解釋為“系統演化失去么正性”。這種闡述當然是正確的，但未必便於直觀理解。其實有種略顯粗糙的直觀解讀，就是乾脆將“資訊”等價於“糾纏關係”，那麼“資訊丟失”的含義就可以簡單地理解為“糾纏關係的丟失”。

讓我們設想一個簡單的遊戲，在桌上拋三枚硬幣並記錄結果，正面記為“1”反面記為“0”。如果硬幣之間相互獨立，那麼拋擲結果是一個3位二進位制數字，可能的情況一共有8種，所以這個系統的熵是ln8。而如果用膠水把硬幣粘連起來，正反面分別是1和0，可能的結果就只剩下2種，這時系統的熵是ln2。而這塊粘成坨的“硬幣餅”就可以當做暗號標記，用來記錄和傳遞資訊，其所承載的資訊量就被定義為ln8-ln2。

把這個例子對應到物理語言，每個硬幣就相當於一個自由度，膠水就是自由度之間的糾纏。例子中的ln8是僅從自由度出發得到的粗粒化熵，其實大多數情況下基本就等於熱力學熵；ln2則是考慮糾纏關係約束的精細化熵，也稱為馮諾依曼熵。可以看出，一個存在糾纏關係的系統內，其粗粒化熵與精細化熵之差，就可以視作資訊的度量，如果把硬幣看做位元，這其實就等價於夏農的資訊熵。

而黑洞造成資訊丟失的原理，也可以藉助這個類比來理解。我們知道黑洞輻射的形成機制，是將一對糾纏的粒子掰開併吞下其中一個，被放生的另一個粒子就成了霍金輻射。注意，糾纏關係不受時空距離限制，所以黑洞的吞噬動作本身並沒有切斷糾纏關係，資訊也就沒有丟失，只是被黑洞視界掩藏了起來。站在黑洞外面無論怎麼拼命研究那剩下的一半，也不可能獲知原本糾纏關係所包含的資訊。最終真正造成資訊丟失的，是黑洞的蒸發消失。隨著黑洞壽終正寢，始終被掩藏著的糾纏關係所對應的資訊也就從宇宙中消失了。

順便提一句，前文說到的火牆理論，之所以能在黑洞視界處將資訊反彈，其實就是物理學家設想了一種機制，在產生霍金輻射的同時使糾纏關係也斷裂，從而保證資訊不會掉入黑洞。

火牆理論雖然有趣，卻不是本文要介紹的重點，我們還是把話題回到最近剛剛取得進展的佩奇曲線計算問題上來。

量子化的黑洞

物理學家們很早就知道，黑洞的熱力學熵與黑洞視界的表面積成正比，而且比例係數剛好是普朗克面積的4倍。這啟示他們猜測，黑洞的粗粒化熵應該與熱力學熵差不多，也與面積成正比。而粗粒化熵又只對應著自由度的個數，所以每個4倍普朗克面積的“熵單元”，就對應著一個黑洞的自由度。這樣，整個黑洞就可以被看做一個有限自由度的量子系統，其自由度數就等於“熵單元”的個數。

這樣不僅意味著黑洞能容納的熵總量有限，同時也說明黑洞作為儲存資訊的容器，其資訊容量也存在上限。還是類比那個拋擲硬幣的例子，黑洞的表面積對應著硬幣總數。而每產生一個霍金輻射粒子時，都相當於將一小點資訊寫入黑洞這個儲存器中，結果就是使某兩個硬幣粘連起來以記錄這個資訊。可以想象，有限個硬幣最終徹底粘成一整坨的時候，整個黑洞就是一個純態系統，所記錄的資訊量也就達到了上限。別忘了，伴隨著向外輻射，黑洞自身質量和視界表面積在不斷縮小，也就是硬幣總數在減少。所以必然在徹底蒸發消失之前，就先遇到這個資訊飽和的狀態。這個時刻，就是佩奇曲線上的佩奇時間。

讀到此處，也許有讀者會有種“原來不過如此”的感覺，看起來佩奇曲線似乎應該不難計算。無非就是桌上有一堆硬幣，旁邊有兩個淘氣鬼，一個淘氣鬼不斷從桌上拿走硬幣，另一個把桌上的硬幣用膠水粘來粘去。感覺難度不會超過小學數學應用題的水平。然而當把這個看似簡單的過程套用在黑洞上時，兩個困難的挑戰就同時出現了。

首先是武器短缺。著手處理量子化黑洞，就必然需要彎曲時空背景下的量子場論，而且最好是非微擾形式的理論模型。因為黑洞視界處時空已經被極限扭曲，用微擾形式恐怕難以揭示有價值的物理內容。然而這方面的既有武器儲備還非常有限，事實上人們本來就是指望著黑洞熱力學的研究，能夠幫助推動量子引力理論的發展。

其次是物理影象不夠清晰。佩奇曲線只是概略地指出結論，黑洞作為一個巨型隨身碟，儲存資訊的容量有上限，當容量被佔滿之後資訊就會從黑洞裡溢位來。可是在佩奇時間之後一個純態的黑洞具體該如何演化？已經儲存在裡面的資訊又是具體如何溢位的？這些問題都沒有答案，甚至連資訊的具體承載形式也遠沒有定論可依。

物理學家的魔術毯

一部分研究者直面挑戰迎難而上，發展出許多構思精確的理論模型，並一步步向著目標艱難靠近；也有一部分研究者索性繞開中間問題，直奔最後的目標。Netta Engelhardt的研究方式主要屬於後者，她藉助一種“體”與“邊界”之間的對偶關係，巧妙地規避了許多具體問題。

這種對偶關係是指，一個房間內部的所有物理現象和演化規律，可以毫無偏差或遺漏地編碼到房間的牆壁上。這非常像我們把一個3維立體形象記錄在2維平面上的全息攝影技術，所以物理學家乾脆稱之為“宇宙全息理論”。與全息照片不同的是，宇宙全息理論中“體”與“邊界”在真實性方面完全等效，我們可以主觀地任意選擇一種觀念當做我們生活的真實背景，但並沒有客觀的角度告訴我們究竟二者中哪個是真實哪個是幻象。也就是說，我們既可以認為自己真實地生活在4維時空中，也可以同時認為我們都是投影幻象，所謂真實都只存在於3維的宇宙邊界內。秉持不同觀念的人，完全可以溝通無障礙地討論同一種物理現象，並作出相同的推算和預測，只是各自手中的數學計算公式有所差異罷了。

愛因斯坦曾認為時空是一切物理研究的基礎，脫離了時空就無從談論物理學。然而“宇宙全息理論”卻暗示我們，時空的基礎性地位似乎也沒有那麼牢固，我們完全可以擺脫某種特定時空的視角，而且不會影響對物理本質的探尋。

黑洞熱力學的研究者們主要採用的是一種Ads/CFT對偶，其中Ads（反德西特空間）是“體”，CFT（共形場理論）是“邊界”。透過對偶關係，將“體”中的黑洞連同黑洞之外的全部空間，都對偶到“邊界”上進行研究。透過這樣一番轉換，Ads空間中難以處理的量子引力問題，就在CFT中變成了相對容易處理的純場論問題，可以使用的數學武器立刻豐富了很多。這種操作就像在量子黑洞上蒙了一層魔術毯，許多棘手的問題都被魔術般變走了。

雖說Ads空間並不是我們事實所處的真實宇宙空間，具體計算中所採用的2+1維Ads空間中的黑洞也不會自發產生輻射，而是需要靠一些附加技術手段把輻射從黑洞裡拽出來，不過這些細節問題並不妨礙我們從這個理論模型的計算結果中初步窺得黑洞演化的奧秘。至少我們現在可以比較篤定地說，在Ads空間中的黑洞從始至終都完全遵從資訊守恆律。

未來的研究

目前的理論進展使我們對黑洞演化的認識又前進了一步，但關於黑洞資訊的問題還遠未到畫上句號的時刻，甚至可以說，物理學家們只是否定了霍金的計算結論，但至今仍然不知道他當初的計算過程到底錯在哪裡。

還有一個最容易想到的問題就是，資訊究竟是怎樣從黑洞中流出的？

依照相對論，資訊的傳播速度不會超過光速；依照黑洞的定義，亞光速的任何物質或輻射都無法逃脫出視界。

佩奇曲線的計算中並沒有違背上述兩條前提，那麼資訊到底是如何成功越獄就變得非常蹊蹺詭異。幾乎所有定域性的途徑都不可能，那麼非定域性的機制呢？

物理學家最熟悉的非定域性機制就是量子糾纏，而且黑洞內外確實存在糾纏關係，但僅靠糾纏關係本身不能作為資訊傳遞的管道，這早已為人所熟知。那麼幾乎就只剩下一種可能，那就是跨越黑洞視界的時空蟲洞。事實上，在佩奇曲線的計算過程中，確實也間接涉及到了時空蟲洞。當研究者仿照量子場的路徑積分方式，處理“引力路徑積分”時，需要對所有可能的時空幾何進行積分，其中自然就包括了各種滿足愛因斯坦方程的蟲洞。

需要說明的是，“引力路徑積分”中所包含的蟲洞，與大名鼎鼎的ER=EPR中所指的蟲洞還不是一回事。前者是時空蟲洞，至少在邏輯上似乎具有傳遞資訊的能力；而後者只是空間蟲洞，以目前的認知應該跟糾纏關係一樣不能傳遞資訊。

不過現在就做出斷言還為時太早，倘若某天我們揭開這個謎團，也許就能發現一種新的超光速傳遞資訊的技術手段。

當然理論物理學家們探究黑洞資訊悖論的動力，才不是發明什麼新通訊手段，而是旨在獲知更多關乎量子引力乃至時空本源的宇宙奧秘。從這個角度上說，黑洞資訊悖論問題不僅是一個內涵豐富的研究目標，更是理論物理向前延伸發展的重要階梯。

致謝：感謝中國科學院院士、中科院理論物理所學術所長蔡榮根研究員曾對本文做出的指導和稽核。